精品解析：北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年 高三上学期开学检测数学试卷 一、选择题共10题，每题4分，共40分． 1. 已知集合，，则= A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 6. 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 7. 设和的夹角为，是为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 9. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为_________． 12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则_________，________． 13. 能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是___________. 14. 已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________． 15. 已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是___________． ①；②；③；④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若△的面积为，求边上的中线的长． 17. 设函数．若在区间上具有单调性，且．再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：为奇函数；条件②：；条件③：． 18. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 20. 已知函数，且曲线在处与轴相切． （1）求的值； （2）令，证明函数在上单调递增； （3）求的极值点个数． 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年 高三上学期开学检测数学试卷 一、选择题共10题，每题4分，共40分． 1. 已知集合，，则= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，或，所以，故选D. 考点：集合的运算 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断. 【详解】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误， 对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误， 对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误， 对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确， 故选：D 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的正余弦的定义可求得，，利用二倍角的正弦公式可求值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，，所以. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数和正弦函数的性质易得结论. 【详解】因为，，又， 所以. 故选：C. 5. 在中，，则（ ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出. 【详解】由，即，， 又，所以，化简得， 则，故在中，， 故选：C 6. 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，结合直接求解. 【详解】因为为奇函数， 所以， 令，得，所以. 故选：A. 7. 设和的夹角为，是为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是为锐角的非充分条件，再证明是为锐角的必要条件，即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以 所以向量和的夹角为锐角或者零度角. 所以是为锐角的非充分条件. 当为锐角时， 可以得到. 所以是为锐角的必要条件. 故选：B 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，， 因为为的中点，所以，， 当伞完全收拢时，，所以，， 在中，， 所以，. 故选：A. 9. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 10. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中，作出函数的图象，即可根据交点个数列不等式求解. 【详解】由可得， 在同一坐标系中作出的图象如下： 要使在上恰有4个不同的零点，则 且，解得， 故选：B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则_________，________． 【答案】 ①. 0 ②. 3 【解析】 【分析】建立坐标系，写出每个向量坐标，转化为坐标运算从而便于求解. 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0；3. 13. 能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是___________. 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据题意得或，进而只需使得即可. 【详解】解：因为在中，，， 所以或， 所以或， 所以要使“若，则为等腰三角形”为假命题，则需. 所以的值可以是：，此时满足，但不为等腰三角形 故答案为： 14. 已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点； 第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围. 【详解】第一空：当时，可知有一个零点； 当时，有一个零点； 当时，可知有一个零点； 综上函数的零点个数为1个. 第二空：如图所示， 当时，若要满足题意需，得； 当时，不符题意； 如图所示，当时，若要满足题意需，得； 综上的取值范围是：. 故答案为：1；. 15. 已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是___________． ①；②；③；④. 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解. 【详解】对于①，若，由余弦定理可知， 即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误； 对于②，因为，则， 由正弦定理得，设，，，， 可得为最大边，为三角形最大角， 根据余弦定理得， 则为锐角，可得一定是锐角三角形，故②正确； 对于③，因为， 则，整理可得， 由正弦定理可得，可得为直角，故③错误； 对于④，因为由于， 则， 故， 由于，故， 故，，均为锐角，为锐角三角形，故④正确． 故答案为：②④． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若△的面积为，求边上的中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，因为， 由余弦定理得：， 又，所以． 【小问2详解】 由，所以， 由（1），所以， 因为为边上的中线，所以， 则 ，即. 故边上的中线的长为. 17. 设函数．若在区间上具有单调性，且．再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：为奇函数；条件②：；条件③：． 【答案】（1）选条件①，不符合题意；选条件②或选条件③，； （2），． 【解析】 【分析】（1）选条件①：可得的图象关于，成中心对称，结合已知，出现矛盾；选条件②：可得的图象关于直线对称，结合已知，可求得的解析式；选条件③：可得的图象关于直线对称，结合已知，可求得的解析式； （2）当，时，，，利用正弦函数的性质可得答案． 【小问1详解】 设的最小正周期为， 在区间上具有单调性， ，解得； ，在区间，上单调， ，即的图象关于，成中心对称，（1） 若选条件①：为奇函数，则的图象关于，成中心对称， 因为，这是不可能的，故条件①不成立； 若选条件②：，， 则的图象关于直线对称，（2） 由（1）（2），得和，为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ，， ， ，又， ，． 若选条件③：，则的图象关于直线对称， 由（1）（2），得和，为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ， ， ， ，又， ， ． 【小问2详解】 ∵，∴，当，即时，， 当，即时， ． 18. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）分的分布列为： 0 1 2 ； （Ⅲ）2016年. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”， 由图表数据计算出基本事件总数，以及满足条件的基本事件数，再由古典概型的概率公式计算可得； （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2. 求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可； （Ⅲ）根据数据波动性越大方差越大即可判断； 【详解】解：（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能， 由图表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”. 所以. （Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年. 随机变量的所有可能取值为0，1，2. ，， . 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以. （Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 【点睛】思路点晴： 求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤： （1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X的分布列； （3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 （3）或 【解析】 【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最小值； （2），求导，根据函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性； （3）根据（2）将问题转化为在上存在，使得，讨论极值点与定义域的关系，分，，三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1，函数没有极大值， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ， ， ①时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． 【小问3详解】 由题意可知在上存在，使得成立， 即在上存在，使得， 即函数在上的最小值，由第（2）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴， ③当，即时，∴， ∵，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或． 20. 已知函数，且曲线在处与轴相切． （1）求的值； （2）令，证明函数在上单调递增； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）由（1）知，所以， 所以， 令， 当单调递增，当单调递减， 因此在单调递增，故， 所以函数在上单调递增 （3）1个 【解析】 【分析】（1）求导，利用且即可求解， （2）求导，由导数即可得函数的单调性， （3）求导，根据到导函数的单调性，结合极值点的定义即可求解. 【小问1详解】 ， 由题意可知是在处的切线方程， 所以且，故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知: 当单调递增，当单调递减， 所以当时，取最小值，且，故存在，使得 因此当和当 因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减， 由于，， 因此存在使得， 故当时， ，此时单调递减，当时，，单调递增， 故在时取极小值， 故有1个极值点. 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 【答案】（1） （2） 证明：必要性：对，有，因此， 对任意，且，有，两式作差，得， 即，因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以， 综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解， （2）根据前项和为的定义可得，即可求证必要性，根据，利用求和即可求解充分性， （3）构造数列，则由，结合（2）的结论可得，对进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 构造数列， 则对任意且，有，结合（2）知， ，又，因此， 设中有项为0， 则 ，即， 若，则与中有0项为0，即矛盾，不符题意， 若，则，所以当中有1项为0， 其余项为时，数列满足条件． 中有一项为0，共种取法，其余项每项有1或两种取法，所以满足条件的数列的个数为． 【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $