3.2 代数式的概念 讲义 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版（2024） · 代数式的概念 · 第3章 代数式 3.2代数式的概念 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 第3章 代数式 第2课时 本专题打破教材顺序，按易错原因重新聚合51道代数式易错题，聚焦七类典型错因：平方和与和的平方混淆、实际情境列式错译、书写规范失当、整体代入不会变形、多解漏解、程序框图读错、规律通项找偏。每类错因配精讲例题与即时巩固，文末设综合检测题组检验掌握情况。 目录 易错点1：混淆平方和与和的平方 易错点2：实际情境与代数式互译错 易错点3：代数式书写规范失当 易错点4：整体代入不会变形 易错点5：绝对值开方漏解 易错点6：程序流程读错 易错点7：数字图形规律找偏 易错点8：新定义运算转化错 易错点9：列代数式等量错 易错点10：规律等式裂项错 易错点1：混淆平方和与和的平方 学习目标 · 能区分平方和与和的平方 · 能正确列写差的平方式 纠错指引 看到“x与y的差的平方”先写括号(x−y)再平方；x²+y²是两数平方和，绝不等于(x+y)²。 精讲例题 例题1．（2025•上海）·【基础】下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2 【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分”的平方”，即可得出答案． 【解答】解：根据题目可列出（x﹣y）2， 故选B． 教学提示：先写“x与y的差”=x−y，再平方得(x−y)²；对比x²−y²，用具体数(如x=3,y=1)验证两者不同。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把(x−y)²误写成x²−y² · 混淆平方和与和的平方 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•大连期末）·【提升】代数式2a+3的意义可以是（　　） A．a的2倍与3的和 B．a的2倍与3的差 C．a的2倍与3的积 D．a与3的和的2倍 【分析】将代数式2a+3用语言描述出来即可． 【解答】解：数式2a+3的意义可以是a的2倍与3的和， ∴A符合题意． 故选：A． 教学提示：让学生用语言读出2a+3，对比“a的2倍与3的和”和“a与3和的2倍”，区分+与括号的位置。 即时巩固2．（2024秋•滨城区期末）·【提升】下列代数式用语言叙述错误的是（　　） A．x2﹣2xy+y2表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．a+5b表示a与b的5倍的和 C．x2+y2表示x与y和的平方 D．（x﹣y）（x+y）表示x，y两数的和与差的积 【分析】分别将各代数式用语言描述出来即可． 【解答】解：x2﹣2xy+y2表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍， ∴A正确，不符合题意； a+5b表示a与b的5倍的和， ∴B正确，不符合题意； x2+y2表示x与y的平方和， ∴C错误，符合题意； （x﹣y）（x+y）表示x，y两数的和与差的积， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 教学提示：让学生逐项错误朗读，点明x²+y²是平方和、(x+y)²才是和的平方，a+5b是a与b的5倍的和。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：实际情境与代数式互译错 学习目标 · 能将实际情境正确列成代数式 · 能辨别错配的实际意义 纠错指引 列式前先找等量关系：长方形另一边长=(周长−2×边长)/2；两位数=10×十位+个位，不是4a。 精讲例题 例题2．（2025秋•凤城市期末）·【基础】同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为_____ B．图2中长方形的周长为_____ C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为_____ D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有_____只 【分析】根据各选项内容分别列出对应的代数式，再进行辨别、求解． 【解答】解：∵图1中动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为4a+8， ∴选项A不符合题意； ∵图2中长方形的周长为：2（4a+2）＝8a+4， ∴选项B符合题意； ∵若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为4a+8， ∴选项C不符合题意； ∵分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有（4a+8）只， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 教学提示：用4a+8反推各选项，重点讲长方形周长=2(长+宽)，B项另一边长应为(100−2x)/2而非100−2x，让学生先画线段图再列式。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 长方形另一边长漏除以2 · 两位数误作4a而非40+a 即时巩固 即时巩固3．（2025秋•红塔区校级期中）·【基础】请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元/kg，则4a表示买akg葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利100%，则销售两双的销售额为4a元 【分析】根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得． 【解答】解：A．若葡萄的价格是4元/kg，则4a表示买akg葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则40+a表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利100%，则销售两双的销售额为4a元，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 教学提示：用数位概念讲清“十位4、个位a的两位数=40+a”，不是4a；可举43例：4×10+3=43。 即时巩固4．（2025秋•清苑区期末）·【提升】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 【分析】A．根据“剩余金额＝100﹣单价×数量”列代数式即可； B．根据“男生人数＝学生总数﹣女生人数”列代数式即可； C．根据“长方形的另一边长”列代数式即可； D．根据“去年的产量﹣前年的产量”列代数式即可． 【解答】解：用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元， ∴A正确，不符合题意； 在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数， ∴B正确，不符合题意； 周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为， ∴C不正确，符合题意； 某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 教学提示：让学生逐选项复述列式过程，重点纠正C项“长方形另一边长=100−2x”的错误，强化周长公式逆用。 即时巩固5．（2025秋•阿城区期末）·【提升】如图所示，以下数量中能用2a+6表示的是（　　） A．线段EF的长度 B．线段MN的长度 C．长方形EFGH的周长 D．长方形MNPQ的面积 【分析】分别写出各选项中的代数式即可． 【解答】解：线段EF的长度为2+a+6＝a+8， ∴线段EF的长度用a+8表示， ∴A不符合题意； 线段MN的长度为a+3+3＝a+6， ∴线段MN的长度用a+6表示， ∴B不符合题意； 长方形EFGH的周长为2（a+3）＝2a+6， ∴长方形EFGH的周长用2a+6表示， ∴C符合题意； 长方形MNPQ的面积为（2+6）a＝8a， ∴长方形MNPQ的面积用8a表示， ∴D不符合题意． 故选：C． 教学提示：让学生分别写出各图形代数式，对比2(a+3)=2a+6，讲清“周长=2(长+宽)”与“面积=长×宽”的区别。 即时巩固6．（2025秋•云岩区期末）·【基础】在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为y＝0.3x+12，则其常数项12的实际意义是　 　 ． 【分析】根据实际问题和函数解析式的意义进行求解． 【解答】解：由题意得， y表示该弹簧的长度，x表示所挂物体质量，0.3表示每挂1kg物体该弹簧伸长的长度，y表示该弹簧不挂重物时的长度， 故答案为：该弹簧不挂重物时的长度． 教学提示：结合y=0.3x+12讲常数项是x=0时的y值，即不挂重物时弹簧长度，用“代入x=0”帮助理解。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：代数式书写规范失当 学习目标 · 掌握乘号省略与数字前置 · 会用分数表示除法运算 纠错指引 数字与字母相乘乘号省略且数字在前(18b非18×b)；除法写成分数(m/2n非m÷2n)；带分数化假分数；系数为1省略1(−m非−1m)。 精讲例题 例题3．（2024秋•合江县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C．xy÷3 D．x×y 【分析】根据代数式的书写规则分别判断即可． 【解答】解：（A）该代数式的书写符合要求， ∴A符合题意； （B）带分数应写成假分数的形式， ∴B不符合题意； （C）除法运算要写成分数的形式， ∴C不符合题意； （D）字母与字母相乘时，乘号一般要省略， ∴D不符合题意； 故选：A． 教学提示：让学生逐个判断并说理由，强化“字母相乘省乘号、除写分数、带分数化假分数”三条规则。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 乘号不省略或数字后置 · 除号未写成分数形式 即时巩固 即时巩固7．（2025秋•永定区期中）·【基础】下列含有字母的式子，符合书写规范要求的是（　　） A．﹣1m B． C． D．（x+y）÷z 【分析】根据代数式的书写要求判断各项得出答案即可． 【解答】解：A、﹣1m应该写成﹣m，故选项不符合题意； B、带分数要写成假分数，故选项不符合题意； C、符合代数式书写要求，故选项符合题意； D、应写成分式的形式，故选项不符合题意． 故选：C． 教学提示：讲清−1m应写−m、带分数化假分数、(x+y)÷z写成分式，让学生口述三条书写规则。 即时巩固8．（2024秋•博罗县期末）·【基础】下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．18×b B． C． D．m÷2n 【分析】根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案． 【解答】解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意； B、正确书写格式为：x，故此选项不符合题意； C、是正确的书写格式，故此选项符合题意； D、正确书写格式为：，故此选项不符合题意． 故选：C． 教学提示：逐项错误示范：18×b→18b，m÷2n→m/(2n)，强调数字在前、除号写分数。 即时巩固9．（2024秋•榆中县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：A、正确的书写格式是，原书写错误，故此选项不符合题意； B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意； C、原书写是正确，故此选项符合题意； D、正确的书写格式是x，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：C． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 教学提示：对比a÷c→a/c、a×5→5a，让学生归纳“乘号省略、数字前置、除写分数”三条。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：整体代入不会变形 学习目标 · 能将已知式整体代入求值 · 会对多项式提公因式变形 纠错指引 把已知等式变形为“整体=常数”，对目标式提公因式凑出该整体再代入，避免先解方程求单个字母。 精讲例题 例题4．（2025秋•涟源市期末）·【基础】已知a2+2a﹣1＝0，则3a2+6a﹣2＝　 　 ． 【分析】先求得a2+2a＝1，再将该代数式变形为3（a2+2a）﹣2后，整体代入求解． 【解答】解：∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1， ∴3a2+6a﹣2 ＝3（a2+2a）﹣2 ＝3×1﹣2 ＝3﹣2 ＝1， 故答案为：1． 教学提示：由a²+2a−1=0得a²+2a=1，把3a²+6a−2提3凑成3(a²+2a)−2，整体代入得1。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 未提公因式凑不出整体 · 忽略奇偶项整体对称性 即时巩固 即时巩固10．（2025秋•和平区期末）·【基础】甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg．现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg，若x＝5，则y的值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【分析】根据甲物品每个质量×甲物品数量+乙物品每个质量×乙物品数量＝总重量，可以列出二元一次方程，然后代入x值即可求得y值． 【解答】解：由题意知4x+7y＝76， ∴当x＝5时，y＝8； 故选：B． 教学提示：列等式4x+7y=76，强调“代入已知x求未知y”是列方程求值的入门，提醒先移项再除以7。 即时巩固11．（2024秋•武威期末）·【基础】已知a﹣3b＝3，则6b+2（4﹣a）的值是（　　） A．14 B．﹣14 C．1 D．2 【分析】将6b+2（4﹣a）化简并把a﹣3b＝3代入求值即可． 【解答】解：当a﹣3b＝3时， 6b+2（4﹣a） ＝﹣2a+6b+8 ＝﹣2（a﹣3b）+8 ＝﹣2×3+8 ＝﹣6+8 ＝2． 故选：D． 教学提示：把6b+2(4−a)化为−2(a−3b)+8，整体代入3；强调“逆用分配律凑出已知整体”。 即时巩固12．（2025秋•丰泽区校级期末）·【提升】若，则a0+2026的值为（　　） A．2010 B．2018 C．2034 D．2042 【分析】把特殊值x＝0代入后，进行计算求解． 【解答】解：当x＝0时， （3x﹣2）4 ＝（3×0﹣2）4 ＝（﹣2）4 ＝16， ∴a0＝16， ∴a0+2026＝16+2026＝2042， 故选：D． 教学提示：点明“特殊值法”——令x=0直接得常数项a0，比展开整式快得多，鼓励遇到高次整式求值先试x=0。 即时巩固13．（2024秋•东坡区期末）·【提升】已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 【分析】将x＝7代入ax3+bx+2，得到a与b的关系式，再将x＝﹣7代入ax3+bx﹣5并利用a与b的关系式求值即可． 【解答】解：当x＝7时，73a+7b+2＝14， 解得73a+7b＝12， 则当x＝﹣7时， ax3+bx﹣5 ＝﹣（73a+7b）﹣5 ＝﹣12﹣5 ＝﹣17． 故选：A． 教学提示：抓住ax³+bx的奇偶对称性，令x=7得73a+7b=12，再代x=−7用整体−(73a+7b)，避免分别求a、b。 即时巩固14．（2025•青白江区模拟）·【基础】若4﹣3a﹣a2＝0，则2a2+6a﹣5＝ 　 　 ． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 【分析】由4﹣3a﹣a2＝0得a2+3a＝4，将2a2+6a﹣5前两项提取公因式2并将a2+3a＝4代入计算即可． 【解答】解：∵4﹣3a﹣a2＝0， ∴a2+3a＝4， ∴2a2+6a﹣5 ＝2（a2+3a）﹣5 ＝2×4﹣5 ＝3． 故答案为：3． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 教学提示：由4−3a−a²=0得a²+3a=4，2a²+6a−5提2成2(a²+3a)−5，代入得3；强调移项变号。 即时巩固15．（2024秋•天府新区期末）·【基础】若a﹣2b+3＝0，则代数式2a﹣4b﹣3的值为 　 　 ． 【分析】先把2a﹣4b﹣3化为2（a﹣2b）﹣3的形式，再把（a﹣2b）看作一个整体代入化简后的式子，计算即可． 【解答】解：∵a﹣2b+3＝0， ∴a﹣2b＝﹣3， ∴2a﹣4b﹣3 ＝2（a﹣2b）﹣3 ＝2×（﹣3）﹣3 ＝﹣6﹣3 ＝﹣9， 故答案为：﹣9． 教学提示：由a−2b+3=0得a−2b=−3，把2a−4b−3提2成2(a−2b)−3，整体代入−9。 即时巩固16．（2026春•晋江市校级月考）·【提升】已知x1，x2，x3，⋯，x55中每个数只能取﹣1，0，2中的一个，且满足，则　 　 ． 【分析】依据题意，设有m个﹣1，n个2，则有（55﹣m﹣n）个0，根据，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之可求出m、n的值，再将其代入（﹣m+8n）中，即可求解． 【解答】解：由题意，∵x1，x2，x3，⋯，x55中每个数只能取﹣1，0，2中的一个， ∴可设有m个﹣1，n个2， ∴ ∴． ∴这55个数中，有31个﹣1，6个2， ∴． 故答案为：17． 三角形个数 1 2 3 4 … n 小木棍根数 3 5 7 9 … 2n+1 教学提示：设m个−1、n个2，列二元方程组解m=31,n=6，再算−m+8n=17；强调“每个数只能取三值之一”的约束。 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 即时巩固17．（2025春•江都区期中）·【提升】已知x（x﹣2）﹣2＝0，则3（x+1）（x﹣3）+2的值为 　 　 ． 【分析】由x（x﹣2）﹣2＝0，得x2﹣2x＝2，将3（x+1）（x﹣3）+2展开并将x2﹣2x＝2代入计算即可． 【解答】解：由x（x﹣2）﹣2＝0，得x2﹣2x＝2， 3（x+1）（x﹣3）+2 ＝3（x2﹣2x）﹣7 ＝3×2﹣7 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 教学提示：由x(x−2)−2=0得x²−2x=2，展开3(x+1)(x−3)+2=3(x²−2x)−7，整体代入−1。 即时巩固18．（2024秋•兴平市期末）·【提升】已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则 　 　 ． 【分析】分别求出a和b、c和d的数量关系及m的值并代入代数式求值即可． 【解答】解：∵a和b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c和d互为倒数， ∴cd＝1， ∵M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3， ∴m＝﹣3， ∴（a+b）﹣5cd+m20﹣5×1+（﹣3）2＝﹣5+9＝4． 故答案为：4． 教学提示：由相反数a+b=0、倒数cd=1、m=−3，代入(a+b)−5cd+m²=0−5+9=4；提醒负数平方得正。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：绝对值开方漏解 学习目标 · 知绝对值与平方有两解 · 会用符号条件筛选解 纠错指引 |x−1|=3得x=4或−2，y²=4得y=±2；再用xy<0排除异号组合，逐组代入，切忌只取一组。 精讲例题 例题5．（2025秋•九龙坡区校级期末）·【基础】若|x﹣1|＝3，y2＝4，且xy＜0，则代数式x﹣2y的值为（　　） A．8或﹣6 B．0或﹣6 C．8或2 D．0或2 【分析】先运用绝对值、平方和有理数的运算知识求得x，y的值，再分别代入、计算． 【解答】解：由题意得， x﹣1＝±3，y＝±2， 解得x＝4或﹣2，y＝±2， ∵xy＜0， ∴x＝4，y＝﹣2或x＝﹣2，y＝2， 当x＝4，y＝﹣2时， x﹣2y ＝4﹣2×（﹣2） ＝4+4 ＝8； 当x＝﹣2，y＝2时， x﹣2y ＝﹣2﹣2×2 ＝﹣2﹣4 ＝﹣6， 故选：A． 教学提示：板书|x−1|=3与y²=4各得两解，用xy<0筛选异号组合，强调“两解都要验、符号条件不能丢”。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 绝对值只取正解漏负解 · 忽略xy<0筛选条件 易错点6：程序流程读错 学习目标 · 能读懂分支与循环程序 · 按流程正确代入求值 纠错指引 先判分支条件(a>b?)再算；循环类(如5x+1)反复代入直到满足退出条件(>50)才输出，别只算一轮。 精讲例题 例题6．（2025秋•黔南州期末）·【基础】按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（　　） A．10 B．11 C．56 D．112 【分析】将x＝2代入5x+1并计算，若结果大于50，则直接输出，否则将结果作x重新计算5x+1，直至结果大于50为止． 【解答】解：当x＝2时，5x+1＝5×2+1＝11， 11＜50； 当x＝11时，5x+1＝5×11+1＝56， 56＞50， ∴输出结果为56． 故选：C． 教学提示：在黑板上模拟程序：x=2→11(<50)→再代入→56(>50)输出，强调循环退出条件“大于50才停”。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 循环未跑到退出条件 · 分支符号代入出错 即时巩固 即时巩固19．（2025春•明水县期末）·【基础】按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（　　） A．﹣3 B．1 C．5 D．9 【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算． 【解答】解：∵输入a＝1，b＝﹣2，a＞b， ∴a2+b2＝1+4＝5， 输出结果为5． 故选：C． 教学提示：强调先判分支a>b成立，再算a²+b²=1+4=5；提醒负数平方得正，符号别错。 即时巩固20．（2025秋•无锡期末）·【基础】按如图的程序计算，输出的代数式为 　 　 ． 【分析】根据程序列式计算即可． 【解答】解：（n3﹣n）÷n+1 ＝（n2﹣1）n÷n+1 ＝n2． 故答案为：n2． 教学提示：按程序列式(n³−n)÷n+1，提醒先因式分解(n³−n)=n(n²−1)再除以n得n²，避免直接除。 即时巩固21．（2025春•五华区期末）·【基础】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ． 【分析】运用算术平方根和立方根知识，根据运算程序进行计算、求解． 【解答】解：由题意得， 64的算术平方根是8， 8是有理数， 8的立方根是2， 2的算术平方根是， 是无理数， ∴此题的最后结果是， 故答案为：． 教学提示：按流程逐层算：64→√64=8(有理)→∛8=2(有理)→√2(无理)停止；强调“无理数才输出”的判断。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：数字图形规律找偏 学习目标 · 能归纳数列通项公式 · 会判断周期与奇偶项 纠错指引 先写前几项找相邻关系：等比类看(−2)^n+2，周期类先定周期再取余；图形类数清每层个数求和。 精讲例题 例题7．（2025秋•大祥区期末）·【基础】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 【分析】通过观察、计算，归纳出每行数字的个数和每行最后数字的规律． 【解答】解：由题意得， 第1行数字个数为：2×1﹣1＝1， 第2行数字个数为：2×2﹣1＝3， 第3行数字个数为：2×3﹣1＝5， …， ∴第m行数字个数为：2m﹣1； 且第1行最后数字为：1＝12， 第2行最后数字为：4＝22， 第3行最后数字为：9＝32， …， ∴第m行最后数字为m2， ∵442＝1936，452＝2025， ∴442＜2024＜452， ∴2024在第45行， ∵第45行最后一个数字是2025，共有2×45﹣1＝89个数字， ∴2024是第45行第88个数， ∴m＝45，n＝88， ∴m+n＝45+88＝133． 故答案为：133． 教学提示：归纳第m行有2m−1个数、末位=m²，由44²<2024<45²定位第45行第88个，强调平方数边界。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 通项符号或底数找错 · 周期取余定位偏差 即时巩固 即时巩固22．（2026•双城区一模）·【基础】已知，若（都为正a，b整数），则a+b的结果为（　　） A．91 B．100 C．109 D．110 【分析】观察题目给出的几个式子发现，a＝10，将其代入并解方程求出b的值，最后将a，b的值代入求解即可． 【解答】解：由题意得，a＝10， ∴． ∴b＝99， 经检验，b＝99是方程的解， ∴a+b＝10+99＝109． 故选：C． 教学提示：引导学生观察已知式得a=10，再解方程求b；强调“观察前几个式子的结构”比死算更高效。 即时巩固23．（2025秋•南康区期中）·【提升】观察下列一行数： 0，6，﹣6，18，﹣30，66，..． 按照上述规律，则第n个数是（　　） A．6（n﹣1） B．﹣9n2+33n﹣27 C． D．（﹣2）n+2 【分析】根据数列得出第1个数0＝（﹣2）1+2，第2个数6＝（﹣2）2+2，第3个数﹣6＝（﹣2）3+2，…，据此求解即可． 【解答】解：∵第1个数0＝（﹣2）1+2， 第2个数6＝（﹣2）2+2， 第3个数﹣6＝（﹣2）3+2， 第4个数18＝（﹣2）4+2， 第4个数﹣30＝（﹣2）5+2， …， ∴按照上述规律，第n个数是（﹣2）n+2， 故选：D． 教学提示：引导学生写第1、2、3项并归纳(−2)^n+2，强调符号随n奇偶交替，避免把底数写成2。 即时巩固24．（2025春•九龙坡区期中）·【提升】将二次根式（n≥3且为整数）输入到一个二次根式程序里进行运行，得到以下结果：运行1次得到，运行2次得到，运行3次得到，…，运行k次得到，…，以此运行下去，下列说法： ①当n＝3时，A4＝10； ②若A100＝2025，则n＝1826； ③若Ak＝2025，则运行次数k的值有1012种情况． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先对题中的Ak进行化简得到规律Ak＝n+2k﹣1，再根据不同说法，代值验证即可得到答案． 【解答】解：， ∵n≥3且为整数， ∴A0＝n﹣1，则A1nn+1， A2n+3， A3n+5， … ∴， 当n＝3时，A4＝n+7＝3+7＝10，故①正确； 若A100＝2025，则n+199＝2025，解得n＝1826，故②正确； 若Ak＝2025，则n+2k﹣1＝2025，则， ∵n≥3且为整数，k为非负整数， ∴，解得3≤n≤2026，且n为偶数， 则运行次数k的值有种情况，故③正确； 综上所述，说法正确的是①②③，共3个， 故选：D． 教学提示：先化简A_k=n+2k−1，再逐条代值验证①②③；提醒n≥3且为整数的隐含条件对③的限制。 即时巩固25．（2025秋•花都区校级期中）·【提升】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 【分析】根据图形得到规律进行相加计算即可． 【解答】解：2+3+4+⋯+8+9＝44（个）， 故选：B． 教学提示：引导学生数第n个图形正方形个数=2+3+…+(n+1)，用等差数列求和算第8个=44。 即时巩固26．（2026•辽宁竞赛）·【基础】数列1，0，﹣1，1，0，﹣1，…的第2026个数是　 　 ． 【分析】依据题意，由数列：1，0，﹣1，1，0，﹣1，…则周期为3，结合2026÷3＝675余1，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵数列：1，0，﹣1，1，0，﹣1，… ∴周期为3， ∵2026÷3＝675余1， ∴对应循环里第1个数字：1． 答案：1． 教学提示：先定周期3，再算2026÷3余1对应循环第1个数；提醒“余1取第1、余2取第2、整除取末”。 即时巩固27．（2026•辽宁竞赛）·【提升】计算：　 　 ． 【分析】依据题意，原式可以化为2027×（）＝2027×（）＝20272026，即可得解． 【解答】解：由题意，原式＝2027×（） ＝2027×（） ＝2027 ＝2026． 故答案为：2026． 教学提示：示范拆项1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)，前后相消只剩首尾，提醒2027×(1−1/2027)=2026。 即时巩固28．（2026春•道外区期末）·【提升】观察数的规律并填空：，则第6个数是 　 　 ． 【分析】根据规律写出第n个数的表达式，当n＝6时求出这个数即可． 【解答】解：根据规律，第n个数为（﹣1）n•（n为正整数）， 当n＝6时，（﹣1）6•1． 故答案为：． 教学提示：引导学生写第n项=(−1)^n·1/n²，强调符号随奇偶交替、分母随n²增长。 即时巩固29．（2026•萨尔图区校级三模）·【提升】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形系列，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如图2长方形记为①、②、③、④、⑤…，若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长是　 　 ． 【分析】这组数中13后面的数是8与13的和，序号为n的长方形的宽是数列中第（n+1）个数，长是数列中第（n+2）个数，即序号为⑩的长方形的宽是89，长是144，最后根据长方形周长可解答． 【解答】解：由已知可得：斐波那契数列的每一个数是前两个数的和， ∴斐波那契数列的前12个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 可知序号为⑩的长方形的宽是89，长是144， 那么序号为⑩的长方形的周长是2×（89+144）＝466． 故答案为：466． 教学提示：先列斐波那契前12项，再讲序号⑩长方形宽=第11项89、长=第12项144，用周长公式算466。 即时巩固30．（2025秋•江阴市校级月考）·【提升】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2025＝　 　 ． 【分析】根据题意可以发现题目中的数据都是奇数，从第一组开始，每组中的奇数都是奇数个．再根据2025是第1013个奇数，从而得出2025是第32组第52个数，即得出答案． 【解答】解：由题意可知：第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…， ∴第n组有（2n﹣1）个奇数， ∴前n组共有个奇数． ∵2025是第个奇数， ∴可令n2＝1013， ∴31＜n＜32， ∴2025在第32组，即i＝32． ∵前31组共有312＝961个奇数， ∴2025是第32组第1013﹣961＝52个数，即j＝52． ∴A2025＝（32，52）． 故答案为：（32，52）． 教学提示：先求2025是第1013个奇数，由前n组共n²个奇数定位第32组第52个；提醒带分数化假分数、除法写分数。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点8：新定义运算转化错 学习目标 · 能按定义展开新运算 · 会找递推中的周期 纠错指引 除方先化乘再约简成幂；递推题(F运算、a_n)逐项算到出现循环，再按奇偶次数取对应值。 精讲例题 例题8．（2025秋•桐城市月考）·【提升】定义新运算型题定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正垫数），两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（　　） A． B．37 C．1 D．4 【分析】根据题意，依次求出每次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知，∵n＝12， ∴第1次“F”运算的结果是：； 第2次“F”运算的结果是：3×3+1＝10； 第3次“F”运算的结果是：； 第4次“F”运算的结果是：3×5+1＝16； 第5次“F”运算的结果是：； 第6次“F”运算的结果是：3×1+1＝4； 第7次“F”运算的结果是：， 由此可见，从第5次“F”运算的结果开始，后面所有的奇数次“F”运算的结果都是1，偶数次“F”运算的结果都是4． 又∵2024是偶数， ∴第2024次“F”运算的结果是4． 故选：D． 教学提示：带学生算前6次F运算，发现从第5次起奇次得1、偶次得4的循环，再用2024是偶数取4。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 除方未转乘方直接算 · 递推周期定位错误 即时巩固 即时巩固31．（2026•温县模拟）·【提升】已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（　　） A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009 【分析】根据前几个数可以发现：从第2个数开始，如果顺序数为偶数，最后的数值为，如果顺序数为奇数，最后的数值为，再根据规律求解即可． 【解答】解：a1＝0， a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2， a6＝﹣|a5+5|＝﹣3， a7＝﹣|a6+6|＝﹣3， …， ∴当n为偶数时，，当n为奇数时，， ∴， 故选：C． 教学提示：带学生逐项算a1…a7，发现偶数项与n/2相关、奇数项与(n+1)/2相关，再用奇偶分类讨论，避免硬代2022。 即时巩固32．（2026春•宝安区校级期中）·【提升】【阅读与运用】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）5，读作“﹣3的5次商”，一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”． （1）初步探究：直接写出结果：23＝　 　 ；（﹣4）4＝　 　 ； （2）理解概念：关于除方，下列说法正确的是　 　 ； A．负数的2次商都等于﹣1 B． C．34＝43 D．（﹣1）n＝﹣1，其中n为正整数 （3）探究应用： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：（﹣3）2． ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： （﹣3）5＝　 　 ；　 　 ； ②算一算： 【分析】（1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义分别进行分析判断即可； （3）①根据除方定义可以转化为乘方运算即可得解； ①根据除方定义可以转化为乘方运算即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，； （﹣4）4＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）＝（﹣4）×（）×（）×（）； 故答案为：；； （2）由题意，A．任何非零数的2次商都等于1，故A错误； B．由题意，（）5＝（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝（）×（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）×（﹣4） ＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4） ＝（﹣4）3，故B正确； C.34＝3÷3÷3÷3＝3，43＝4÷4÷4， ∴34≠43，故C错误； D．由题意，当n为奇数时，（﹣1）n＝﹣1，当n是偶数时，（﹣1）n＝1，故D错误． 故选：B； （3）①由题意，（﹣3）5＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3） ＝（﹣3）×（）×（）×（）×（） ＝（）3； （）4＝（）÷（）÷（）÷（） ＝（）×（﹣6）×（﹣6）×（﹣6） ＝（﹣6）2． 故答案为：（）3；（﹣6）2； ②52÷（）4×（）5+（）3×（） ＝1÷4×（﹣3）3+（﹣4）×（） ＝1（﹣27）+1 1 教学提示：除方先连续除再化乘约简成幂，如(−3)⁵=(−1/3)³；提醒“非零数的2次商=1”排除A。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点9：列代数式等量错 学习目标 · 能找等量关系列代数式 · 会表示几何图形周长面积 纠错指引 先写“总量=每排数×排数”等等式；图形类用已知线段表示未知量，周长=2(长+宽)化简到底。 精讲例题 例题9．（2025秋•凉州区校级期中）·【提升】某班的全班同学排成一个长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学人数是　 　 ． 【分析】此题可根据等式“全班同学数＝每排的同学数×排数”即可用代数式列出全班同学数． 【解答】解：根据题意可得：全班同学数＝a（3a+2）． 故答案为：a（3a+2）． 教学提示：等量关系“全班=每排数×排数”，排数=3a+2，故全班=a(3a+2)；提醒排数是“3倍每排多2”。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 等量关系列反或漏乘 · 几何量未化简到底 即时巩固 即时巩固33．（2025秋•百色期中）·【基础】某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付 　 　 元． 【分析】根据5千克以内部分的收费+超过5千克部分的收费计算即可． 【解答】解：a+3×（8﹣5）＝（a+9）（元）， ∴需要支付（a+9）元． 故答案为：（a+9）． 教学提示：分段计费：5kg内a元+超出3kg×3元=a+9；强调“超出部分=8−5=3千克”再乘单价。 即时巩固34．（2024秋•息县期末）·【基础】钢笔每支m元，圆珠笔每支n元，小明同学买5支钢笔和6支圆珠笔，共需 　 　 元． 【分析】根据“钢笔的总价+圆珠笔的总价”列式计算即可． 【解答】解：钢笔每支m元，圆珠笔每支n元，小明同学买5支钢笔和6支圆珠笔，共需（5m+6n）元． 故答案为：（5m+6n）． 教学提示：总价=5支钢笔+6支圆珠笔=5m+6n；提醒单价×数量再相加，含义要清。 即时巩固35．（2025秋•自贡期末）·【提升】如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长l1与“下圆弧”长l2的差为 　 　 （用含π，d的式子表示）． 【分析】计算出扇形圆心角的度数，根据弧长公式分别将l1和l2表示出来再相减即可． 【解答】解：如图： 设OB＝x． 扇形圆心角的度数为15°， 则l12π（x+d），l22πx， l1﹣l22π（x+d）2πx2πd． 故答案为：． 教学提示：用弧长公式l=θ/360·2πr，分别写出l1、l2再相减，提醒扇形圆心角15°、π保留不近似。 即时巩固36．（2025秋•凤城市期末）·【提升】完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是 　 　 ．（用含a，b的式子表示） 【分析】阴影部分的周长等于两个阴影部分长方形周长之和，分别设小长方形长和宽为未知数，利用公式长方形的周长＝2×（长+宽）列式并化简即可． 【解答】解：设空白小长方形的长和宽分别是m和n（m＞n），那么m+3n＝b， 阴影部分的周长为2×3n+2（a﹣m）+2m+2（a﹣3n）＝4a， 故答案为：4a． 教学提示：设小长方形长m宽n，由m+3n=b表示大长方形，阴影周长化简后m、n抵消得4a，强调“未知量会消去”。 即时巩固37．（2024秋•成都期末）·【提升】某公司办公大楼共5层，公司要召开会议，如果从1层到5层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在 　 　 层，如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11，会议应设在 　 　 层． 【分析】设每层楼高为x，分别求出在每层楼开会时是距离的和，再比较大小． 【解答】解：设每层的高度为x， 如果从1层到5层参会人数分别为2，1，2，1，1， 如果设在1层：x+2×2x+3x+4x＝12x， 如果设在2层：2x+2x+2x+3x＝9x， 如果设在3层：2×2x+x+x+2x＝8x， 如果设在4层：2×3x+2x+2x+x＝11x， 如果设在5层：2×4x+3x+2×2x+x＝16x， ∵16x＞12x＞11x＞9x＞8x， ∴会议应设在3层； 如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11， 如果设在1层：14x+2×10x+3×10x+4×11x＝108x， 如果设在2层：18x+10x+2×10x+3×11x＝81x 如果设在3层：2×18x+14x+10x+2×11x＝82x， 如果设在4层：3×18x+2×14x+10x+11x＝103x， 如果设在5层：4×18x+3×14x+2×10x+10x＝144x， ∵144x＞108x＞103x＞82x＞81x， ∴会议应设在2层； 故答案为：3，2． 教学提示：设层高x，逐层算总爬行距离比较取最小；强调“加权距离和最小”用试算或中位数思想。 即时巩固38．（2026春•江都区期末）·【基础】科学表明，健康饮水的适宜温度是35℃～40℃（含35℃和40℃．如图是某品牌饮水机的相关信息： （1）若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为　 　 ℃； （2）若用甲杯在温水出口接水a秒、开水出口接水b秒，用乙杯在温水出口接水b秒、开水出口接水a秒（0＜a＜b）．用含a和b的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； （3）若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间t（秒）的范围　 　 ． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 【分析】（1）先根据水的体积等于时间乘以水流速度算出开水和温水的体积，再代入题中给出的公式即可； （2）根据接水时间与流速之间的关系求分别出甲杯水、乙杯水的开水和温水的体积，代入公式即可求出甲杯水和乙杯水的混合温度，再将混合温度作差即可比较温度大小； （3）根据接水的总时间可以设开水水出口接水时间为t秒，温水出口接水的时间为（15﹣t）秒，根据公式即可列出混合后的温度T，由于健康饮水的适宜温度是35℃～40℃，因此可知35℃≤T≤40℃，即可计算出t范围． 【解答】解：（1）由题意得，开水的体积＝2×15＝30ml，温水的体积＝6×20＝120ml， ∴图中的公式可得：开水和温水混合后的温度为44℃，故答案为：44； （2）由题意得，甲杯水的温度为：， 乙杯水的温度为：， 甲杯水的温度大于乙杯水的温度， 理由：T甲﹣T乙 ∵0＜a＜b， ∴b2﹣a2＞0，（3b+4a）（3a+4b）＞0， ∴T甲﹣T乙＞0，即T甲＞T乙， ∴甲杯水的温度大于乙杯水的温度； （3）设开水出口接水时间为t秒，则温水出口接水的时间为（15﹣t）秒， 由题意可得混合后的水温为T， ∵健康饮水的适宜温度是35℃～40℃， ∴3540，解得：， 故答案为：． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 教学提示：用混合温度公式T=(20·V温+100·V开)/(V温+V开)，分别算甲、乙杯体积再比较；提醒15秒总时限约束t范围。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点10：规律等式裂项错 学习目标 · 能猜想并证明规律等式 · 会用裂项相消求和 纠错指引 先写前几个等式归纳第n式再平方验证；裂项类把1/[k(k+1)]拆成1/k−1/(k+1)，注意符号与首尾项。 精讲例题 例题10．（2026春•霍邱县期中）·【提升】数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 序号 表示结果 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 第5个等式 … 4×1×4+9＝（1+4）2 4×2×5+9＝（2+5）2 4×3×6+9＝（3+6）2 4×4×7+9＝（4+7）2 4×5×8+9＝（5+8）2 … （1）根据表中你发现的规律，写出第10个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）　 　 ，并通过计算说明其正确性． 【分析】（1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律进行验证即可． 【解答】解：（1）由题知，因为4×1×4+9＝（1+4）2； 4×2×5+9＝（2+5）2； 4×3×6+9＝（3+6）2； 4×4×7+9＝（4+7）2； 4×5×8+9＝（5+8）2； …， ∴第n个等式可表示为：4n（n+3）+9＝（n+n+3）2． 当n＝10时， 第10个等式为：4×10×13+9＝（10+13）2． 故答案为：4×10×13+9＝（10+13）2． （2）由（1）知， 第n个等式可表示为：4n（n+3）+9＝（n+n+3）2． 证明如下： 左边＝4n2+12n+9， 右边＝（2n+3）2＝4n2+12n+9， ∴左边＝右边， ∴此等式成立． 故答案为：4n（n+3）+9＝（n+n+3）2． 教学提示：写前5个等式归纳4n(n+3)+9=(n+n+3)²，再展开左右验证相等；鼓励用具体n检验猜想。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 裂项符号或首尾项错 · 规律等式未验证 即时巩固 即时巩固39．（2026春•裕安区校级期末）·【提升】观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 根据上述规律，解决下列问题： （1）写出第5个式子：　 　 ； （2）写出第n（n为正整数）个式子：　 　 ； 并说明：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜1． 【分析】第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， … 第n（n为正整数）个式子：； f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜111． 【解答】解：根据规律知：（1） （2） f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜111． 教学提示：归纳第n式=(−1)^(n+1)·1/[n(n+1)]，裂项相消得和<1；强调符号(−1)^(n+1)随奇偶变。 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 即时巩固40．（2026•安徽模拟）·【提升】【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子1+2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1的值，如图组成的整个图1形恰好是一个“菱形”．则1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝①（n为正整数）． 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2＝②（n为正整数）． 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： （1）填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3＝　 　 （n为正整数）． 【规律总结】 （2）猜想： m+（m+1）+（m+2）+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+m＝　 　 ，（m，n均为正整数，且m＜n），并证明你的猜想． 【分析】（1）①依据题意，根据所给图案可得，1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝n2，即可得解； ②依据题意，由（1）得1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝n2，从而2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2＝n2﹣2，即可得解； ③依据题意得，3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3＝n2﹣6，从而得解； （2）依据题意，由（1）得：[1+2+3+4+…+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1]＝n2+n，2（1+2+3+4+…+m﹣1）＝m2﹣m，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，根据所给图案可得，1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝n2． 故答案为：n2； ②由（1）∵1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝n2， ∴2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2＝n2﹣2． 故答案为：n2﹣2； ③由题意得，3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3＝n2﹣6． 故答案为：n2﹣6； （2）n2﹣m（m﹣1）． 证明：由（1）得： [1+2+3+4+…+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1]＝n2+n， 2（1+2+3+4+…+m﹣1）＝m2﹣m， m+（m+1）+（m+2）+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+m ＝（n2+n）﹣2（1+2+3+4+…+m﹣1）﹣n ＝n2+n﹣（m2﹣m）﹣n ＝n2﹣m（m﹣1）． 故答案为：n2﹣m（m﹣1）． 教学提示：由1+2+…+n+…+1=n²推广到m起对称和=n²−m(m−1)，用已知n²恒等式做差证明。 即时巩固41．（2026•巢湖市一模）·【提升】项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【任务二应用体验】 根据图表直接写出（a+b）5＝　 　 ． 【任条三拓属提升】 若（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7为各项系数，则a2+a5＝　 　 ； 若（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，其中a1，a2，⋯a2023，a2024，a2025为各项系数，则求a1+a2+a3+…+a2023+a2024+a2025＝　 　 ． 【分析】【任务二应用体验】依据题意得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，从而可以得解； 【任条三拓属提升】由题意，结合所给信息可得，（x﹣1）6＝x6﹣6x5+15x4﹣20x3+15x2﹣x+1，又（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，从而可得a2＝﹣6，a5＝15，进而计算可以得解；又（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，则当x＝1时，a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025+1＝22025，故a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025＝22025﹣1，即可得解． 【解答】解：【任务二应用体验】由题意得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 【任条三拓属提升】由题意，结合所给信息可得，（x﹣1）6＝x6﹣6x5+15x4﹣20x3+15x2﹣x+1， 又∵（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7， ∴a2＝﹣6，a5＝15． ∴a2+a5＝9； ∵（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1， ∴当x＝1时，a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025+1＝22025， ∴a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025＝22025﹣1． 故答案为：9；22025﹣1． 教学提示：由杨辉三角写(a+b)⁵系数1,5,10,10,5,1；用x=1代入(x+1)^2025求系数和=2^2025−1，提醒常数项1。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 7．（2025秋•黔南州期末）·【基础】按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（　　） A．10 B．11 C．56 D．112 9．（2025秋•和平区期末）·【基础】甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg．现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg，若x＝5，则y的值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 16．（2025秋•永定区期中）·【基础】下列含有字母的式子，符合书写规范要求的是（　　） A．﹣1m B． C． D．（x+y）÷z 19．（2025•上海）·【基础】下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2 20．（2025春•明水县期末）·【基础】按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（　　） A．﹣3 B．1 C．5 D．9 21．（2024秋•武威期末）·【基础】已知a﹣3b＝3，则6b+2（4﹣a）的值是（　　） A．14 B．﹣14 C．1 D．2 23．（2024秋•合江县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C．xy÷3 D．x×y 1．（2025秋•凤城市期末）·【基础】同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为_____ B．图2中长方形的周长为_____ C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为_____ D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有_____只 3．（2026•双城区一模）·【基础】已知，若（都为正a，b整数），则a+b的结果为（　　） A．91 B．100 C．109 D．110 12．（2025秋•红塔区校级期中）·【基础】请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元/kg，则4a表示买akg葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利100%，则销售两双的销售额为4a元 15．（2024秋•博罗县期末）·【基础】下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．18×b B． C． D．m÷2n 18．（2024秋•榆中县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 2．（2026•温县模拟）·【提升】已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（　　） A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009 4．（2025秋•丰泽区校级期末）·【提升】若，则a0+2026的值为（　　） A．2010 B．2018 C．2034 D．2042 5．（2025秋•清苑区期末）·【提升】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 8．（2025秋•阿城区期末）·【提升】如图所示，以下数量中能用2a+6表示的是（　　） A．线段EF的长度 B．线段MN的长度 C．长方形EFGH的周长 D．长方形MNPQ的面积 10．（2025秋•大连期末）·【提升】代数式2a+3的意义可以是（　　） A．a的2倍与3的和 B．a的2倍与3的差 C．a的2倍与3的积 D．a与3的和的2倍 11．（2024秋•东坡区期末）·【提升】已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 13．（2025秋•南康区期中）·【提升】观察下列一行数： 0，6，﹣6，18，﹣30，66，..． 按照上述规律，则第n个数是（　　） A．6（n﹣1） B．﹣9n2+33n﹣27 C． D．（﹣2）n+2 14．（2025春•九龙坡区期中）·【提升】将二次根式（n≥3且为整数）输入到一个二次根式程序里进行运行，得到以下结果：运行1次得到，运行2次得到，运行3次得到，…，运行k次得到，…，以此运行下去，下列说法： ①当n＝3时，A4＝10； ②若A100＝2025，则n＝1826； ③若Ak＝2025，则运行次数k的值有1012种情况． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2025秋•桐城市月考）·【提升】定义新运算型题定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正垫数），两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（　　） A． B．37 C．1 D．4 22．（2024秋•滨城区期末）·【提升】下列代数式用语言叙述错误的是（　　） A．x2﹣2xy+y2表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．a+5b表示a与b的5倍的和 C．x2+y2表示x与y和的平方 D．（x﹣y）（x+y）表示x，y两数的和与差的积 24．（2025秋•花都区校级期中）·【提升】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 34．（2025秋•无锡期末）·【基础】按如图的程序计算，输出的代数式为 　 　 ． 38．（2025秋•百色期中）·【基础】某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付 　 　 元． 40．（2025•青白江区模拟）·【基础】若4﹣3a﹣a2＝0，则2a2+6a﹣5＝ 　 　 ． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 45．（2024秋•息县期末）·【基础】钢笔每支m元，圆珠笔每支n元，小明同学买5支钢笔和6支圆珠笔，共需 　 　 元． 25．（2025秋•大祥区期末）·【基础】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 26．（2026•辽宁竞赛）·【基础】数列1，0，﹣1，1，0，﹣1，…的第2026个数是　 　 ． 32．（2025秋•涟源市期末）·【基础】已知a2+2a﹣1＝0，则3a2+6a﹣2＝　 　 ． 33．（2025秋•云岩区期末）·【基础】在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为y＝0.3x+12，则其常数项12的实际意义是　 　 ． 39．（2024秋•天府新区期末）·【基础】若a﹣2b+3＝0，则代数式2a﹣4b﹣3的值为 　 　 ． 42．（2025春•五华区期末）·【基础】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ． 27．（2026•辽宁竞赛）·【提升】计算：　 　 ． 28．（2026春•道外区期末）·【提升】观察数的规律并填空：，则第6个数是 　 　 ． 29．（2026•萨尔图区校级三模）·【提升】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形系列，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如图2长方形记为①、②、③、④、⑤…，若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长是　 　 ． 30．（2025秋•自贡期末）·【提升】如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长l1与“下圆弧”长l2的差为 　 　 （用含π，d的式子表示）． 31．（2026春•晋江市校级月考）·【提升】已知x1，x2，x3，⋯，x55中每个数只能取﹣1，0，2中的一个，且满足，则　 　 ． 35．（2025秋•凤城市期末）·【提升】完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是 　 　 ．（用含a，b的式子表示） 36．（2025秋•江阴市校级月考）·【提升】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2025＝　 　 ． 37．（2025秋•凉州区校级期中）·【提升】某班的全班同学排成一个长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学人数是　 　 ． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 41．（2025春•江都区期中）·【提升】已知x（x﹣2）﹣2＝0，则3（x+1）（x﹣3）+2的值为 　 　 ． 43．（2024秋•兴平市期末）·【提升】已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则 　 　 ． 44．（2024秋•成都期末）·【提升】某公司办公大楼共5层，公司要召开会议，如果从1层到5层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在 　 　 层，如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11，会议应设在 　 　 层． 49．（2026春•江都区期末）·【基础】科学表明，健康饮水的适宜温度是35℃～40℃（含35℃和40℃．如图是某品牌饮水机的相关信息： （1）若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为　 　 ℃； （2）若用甲杯在温水出口接水a秒、开水出口接水b秒，用乙杯在温水出口接水b秒、开水出口接水a秒（0＜a＜b）．用含a和b的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； （3）若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间t（秒）的范围　 　 ． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 46．（2026春•霍邱县期中）·【提升】数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 序号 表示结果 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 第5个等式 … 4×1×4+9＝（1+4）2 4×2×5+9＝（2+5）2 4×3×6+9＝（3+6）2 4×4×7+9＝（4+7）2 4×5×8+9＝（5+8）2 … （1）根据表中你发现的规律，写出第10个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）　 　 ，并通过计算说明其正确性． 47．（2026春•宝安区校级期中）·【提升】【阅读与运用】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）5，读作“﹣3的5次商”，一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”． （1）初步探究：直接写出结果：23＝　 　 ；（﹣4）4＝　 　 ； （2）理解概念：关于除方，下列说法正确的是　 　 ； A．负数的2次商都等于﹣1 B． C．34＝43 D．（﹣1）n＝﹣1，其中n为正整数 （3）探究应用： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：（﹣3）2． ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： （﹣3）5＝　 　 ；　 　 ； ②算一算： 48．（2026春•裕安区校级期末）·【提升】观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 根据上述规律，解决下列问题： （1）写出第5个式子：　 　 ； （2）写出第n（n为正整数）个式子：　 　 ； 并说明：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜1． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 50．（2026•安徽模拟）·【提升】【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子1+2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1的值，如图组成的整个图1形恰好是一个“菱形”．则1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝①（n为正整数）． 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2＝②（n为正整数）． 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： （1）填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3＝　 　 （n为正整数）． 【规律总结】 （2）猜想： m+（m+1）+（m+2）+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+m＝　 　 ，（m，n均为正整数，且m＜n），并证明你的猜想． 51．（2026•巢湖市一模）·【提升】项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【任务二应用体验】 根据图表直接写出（a+b）5＝　 　 ． 【任条三拓属提升】 若（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7为各项系数，则a2+a5＝　 　 ； 若（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，其中a1，a2，⋯a2023，a2024，a2025为各项系数，则求a1+a2+a3+…+a2023+a2024+a2025＝　 　 ． 苏科版（2024） · 代数式的概念 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 代数式的概念 · 第3章 代数式 3.2代数式的概念 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 第3章 代数式 第2课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题打破教材顺序，按易错原因重新聚合51道代数式易错题，聚焦七类典型错因：平方和与和的平方混淆、实际情境列式错译、书写规范失当、整体代入不会变形、多解漏解、程序框图读错、规律通项找偏。每类错因配精讲例题与即时巩固，文末设综合检测题组检验掌握情况。 目录 易错点1：混淆平方和与和的平方 易错点2：实际情境与代数式互译错 易错点3：代数式书写规范失当 易错点4：整体代入不会变形 易错点5：绝对值开方漏解 易错点6：程序流程读错 易错点7：数字图形规律找偏 易错点8：新定义运算转化错 易错点9：列代数式等量错 易错点10：规律等式裂项错 易错点1：混淆平方和与和的平方 学习目标 · 能区分平方和与和的平方 · 能正确列写差的平方式 纠错指引 看到“x与y的差的平方”先写括号(x−y)再平方；x²+y²是两数平方和，绝不等于(x+y)²。 精讲例题 例题1．（2025•上海）·【基础】下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把(x−y)²误写成x²−y² · 混淆平方和与和的平方 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•大连期末）·【提升】代数式2a+3的意义可以是（　　） A．a的2倍与3的和 B．a的2倍与3的差 C．a的2倍与3的积 D．a与3的和的2倍 即时巩固2．（2024秋•滨城区期末）·【提升】下列代数式用语言叙述错误的是（　　） A．x2﹣2xy+y2表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．a+5b表示a与b的5倍的和 C．x2+y2表示x与y和的平方 D．（x﹣y）（x+y）表示x，y两数的和与差的积 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：实际情境与代数式互译错 学习目标 · 能将实际情境正确列成代数式 · 能辨别错配的实际意义 纠错指引 列式前先找等量关系：长方形另一边长=(周长−2×边长)/2；两位数=10×十位+个位，不是4a。 精讲例题 例题2．（2025秋•凤城市期末）·【基础】同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为_____ B．图2中长方形的周长为_____ C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，⃯⃯，按此规律，第a个算式的表达式为_____ D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有_____只 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 长方形另一边长漏除以2 · 两位数误作4a而非40+a 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固3．（2025秋•红塔区校级期中）·【基础】请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元/kg，则4a表示买akg葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利100%，则销售两双的销售额为4a元 即时巩固4．（2025秋•清苑区期末）·【提升】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 即时巩固5．（2025秋•阿城区期末）·【提升】如图所示，以下数量中能用2a+6表示的是（　　） A．线段EF的长度 B．线段MN的长度 C．长方形EFGH的周长 D．长方形MNPQ的面积 即时巩固6．（2025秋•云岩区期末）·【基础】在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为y＝0.3x+12，则其常数项12的实际意义是　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：代数式书写规范失当 学习目标 · 掌握乘号省略与数字前置 · 会用分数表示除法运算 纠错指引 数字与字母相乘乘号省略且数字在前(18b非18×b)；除法写成分数(m/2n非m÷2n)；带分数化假分数；系数为1省略1(−m非−1m)。 精讲例题 例题3．（2024秋•合江县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C．xy÷3 D．x×y 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 乘号不省略或数字后置 · 除号未写成分数形式 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固7．（2025秋•永定区期中）·【基础】下列含有字母的式子，符合书写规范要求的是（　　） A．﹣1m B． C． D．（x+y）÷z 即时巩固8．（2024秋•博罗县期末）·【基础】下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．18×b B． C． D．m÷2n 即时巩固9．（2024秋•榆中县期末）·【基础】下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：整体代入不会变形 学习目标 · 能将已知式整体代入求值 · 会对多项式提公因式变形 纠错指引 把已知等式变形为“整体=常数”，对目标式提公因式凑出该整体再代入，避免先解方程求单个字母。 精讲例题 例题4．（2025秋•涟源市期末）·【基础】已知a2+2a﹣1＝0，则3a2+6a﹣2＝　 　 ． 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 未提公因式凑不出整体 · 忽略奇偶项整体对称性 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固10．（2025秋•和平区期末）·【基础】甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg．现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg，若x＝5，则y的值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 即时巩固11．（2024秋•武威期末）·【基础】已知a﹣3b＝3，则6b+2（4﹣a）的值是（　　） A．14 B．﹣14 C．1 D．2 即时巩固12．（2025秋•丰泽区校级期末）·【提升】若，则a0+2026的值为（　　） A．2010 B．2018 C．2034 D．2042 即时巩固13．（2024秋•东坡区期末）·【提升】已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 即时巩固14．（2025•青白江区模拟）·【基础】若4﹣3a﹣a2＝0，则2a2+6a﹣5＝ 　 　 ． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 即时巩固15．（2024秋•天府新区期末）·【基础】若a﹣2b+3＝0，则代数式2a﹣4b﹣3的值为 　 　 ． 即时巩固16．（2026春•晋江市校级月考）·【提升】已知x1，x2，x3，⋯，x55中每个数只能取﹣1，0，2中的一个，且满足，则　 　 ． 1 1 （a+b）1＝a+b 1 2 1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ...... 即时巩固17．（2025春•江都区期中）·【提升】已知x（x﹣2）﹣2＝0，则3（x+1）（x﹣3）+2的值为 　 　 ． 即时巩固18．（2024秋•兴平市期末）·【提升】已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：绝对值开方漏解 学习目标 · 知绝对值与平方有两解 · 会用符号条件筛选解 纠错指引 |x−1|=3得x=4或−2，y²=4得y=±2；再用xy<0排除异号组合，逐组代入，切忌只取一组。 精讲例题 例题5．（2025秋•九龙坡区校级期末）·【基础】若|x﹣1|＝3，y2＝4，且xy＜0，则代数式x﹣2y的值为（　　） A．8或﹣6 B．0或﹣6 C．8或2 D．0或2 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 绝对值只取正解漏负解 · 忽略xy<0筛选条件 错题复盘：我容易在哪里出错？ 易错点6：程序流程读错 学习目标 · 能读懂分支与循环程序 · 按流程正确代入求值 纠错指引 先判分支条件(a>b?)再算；循环类(如5x+1)反复代入直到满足退出条件(>50)才输出，别只算一轮。 精讲例题 例题6．（2025秋•黔南州期末）·【基础】按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（　　） A．10 B．11 C．56 D．112 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 循环未跑到退出条件 · 分支符号代入出错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固19．（2025春•明水县期末）·【基础】按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（　　） A．﹣3 B．1 C．5 D．9 即时巩固20．（2025秋•无锡期末）·【基础】按如图的程序计算，输出的代数式为 　 　 ． 即时巩固21．（2025春•五华区期末）·【基础】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：数字图形规律找偏 学习目标 · 能归纳数列通项公式 · 会判断周期与奇偶项 纠错指引 先写前几项找相邻关系：等比类看(−2)^n+2，周期类先定周期再取余；图形类数清每层个数求和。 精讲例题 例题7．（2025秋•大祥区期末）·【基础】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 通项符号或底数找错 · 周期取余定位偏差 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固22．（2026•双城区一模）·【基础】已知，若（都为正a，b整数），则a+b的结果为（　　） A．91 B．100 C．109 D．110 即时巩固23．（2025秋•南康区期中）·【提升】观察下列一行数： 0，6，﹣6，18，﹣30，66，..． 按照上述规律，则第n个数是（　　） A．6（n﹣1） B．﹣9n2+33n﹣27 C． D．（﹣2）n+2 即时巩固24．（2025春•九龙坡区期中）·【提升】将二次根式（n≥3且为整数）输入到一个二次根式程序里进行运行，得到以下结果：运行1次得到，运行2次得到，运行3次得到，…，运行k次得到，…，以此运行下去，下列说法： ①当n＝3时，A4＝10； ②若A100＝2025，则n＝1826； ③若Ak＝2025，则运行次数k的值有1012种情况． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 即时巩固25．（2025秋•花都区校级期中）·【提升】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 即时巩固26．（2026•辽宁竞赛）·【基础】数列1，0，﹣1，1，0，﹣1，…的第2026个数是　 　 ． 即时巩固27．（2026•辽宁竞赛）·【提升】计算：　 　 ． 即时巩固28．（2026春•道外区期末）·【提升】观察数的规律并填空：，则第6个数是 　 　 ． 即时巩固29．（2026•萨尔图区校级三模）·【提升】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形系列，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如图2长方形记为①、②、③、④、⑤…，若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长是　 　 ． 即时巩固30．（2025秋•江阴市校级月考）·【提升】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2025＝　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点8：新定义运算转化错 学习目标 · 能按定义展开新运算 · 会找递推中的周期 纠错指引 除方先化乘再约简成幂；递推题(F运算、a_n)逐项算到出现循环，再按奇偶次数取对应值。 精讲例题 例题8．（2025秋•桐城市月考）·【提升】定义新运算型题定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正垫数），两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（　　） A． B．37 C．1 D．4 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 除方未转乘方直接算 · 递推周期定位错误 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固31．（2026•温县模拟）·【提升】已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（　　） A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009 即时巩固32．（2026春•宝安区校级期中）·【提升】【阅读与运用】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）5，读作“﹣3的5次商”，一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”． （1）初步探究：直接写出结果：23＝　 　 ；（﹣4）4＝　 　 ； （2）理解概念：关于除方，下列说法正确的是　 　 ； A．负数的2次商都等于﹣1 B． C．34＝43 D．（﹣1）n＝﹣1，其中n为正整数 （3）探究应用： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：（﹣3）2． ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： （﹣3）5＝　 　 ；　 　 ； ②算一算： 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点9：列代数式等量错 学习目标 · 能找等量关系列代数式 · 会表示几何图形周长面积 纠错指引 先写“总量=每排数×排数”等等式；图形类用已知线段表示未知量，周长=2(长+宽)化简到底。 精讲例题 例题9．（2025秋•凉州区校级期中）·【提升】某班的全班同学排成一个长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学人数是　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 等量关系列反或漏乘 · 几何量未化简到底 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固33．（2025秋•百色期中）·【基础】某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付 　 　 元． 即时巩固34．（2024秋•息县期末）·【基础】钢笔每支m元，圆珠笔每支n元，小明同学买5支钢笔和6支圆珠笔，共需 　 　 元． 即时巩固35．（2025秋•自贡期末）·【提升】如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长l1与“下圆弧”长l2的差为 　 　 （用含π，d的式子表示）． 即时巩固36．（2025秋•凤城市期末）·【提升】完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是 　 　 ．（用含a，b的式子表示） 即时巩固37．（2024秋•成都期末）·【提升】某公司办公大楼共5层，公司要召开会议，如果从1层到5层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在 　 　 层，如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11，会议应设在 　 　 层． 即时巩固38．（2026春•江都区期末）·【基础】科学表明，健康饮水的适宜温度是35℃～40℃（含35℃和40℃．如图是某品牌饮水机的相关信息： （1）若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为　 　 ℃； （2）若用甲杯在温水出口接水a秒、开水出口接水b秒，用乙杯在温水出口接水b秒、开水出口接水a秒（0＜a＜b）．用含a和b的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； （3）若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间t（秒）的范围　 　 ． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点10：规律等式裂项错 学习目标 · 能猜想并证明规律等式 · 会用裂项相消求和 纠错指引 先写前几个等式归纳第n式再平方验证；裂项类把1/[k(k+1)]拆成1/k−1/(k+1)，注意符号与首尾项。 精讲例题 例题10．（2026春•霍邱县期中）·【提升】数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 序号 表示结果 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 第5个等式 … 4×1×4+9＝（1+4）2 4×2×5+9＝（2+5）2 4×3×6+9＝（3+6）2 4×4×7+9＝（4+7）2 4×5×8+9＝（5+8）2 … （1）根据表中你发现的规律，写出第10个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）　 　 ，并通过计算说明其正确性． 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 裂项符号或首尾项错 · 规律等式未验证 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固39．（2026春•裕安区校级期末）·【提升】观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 根据上述规律，解决下列问题： （1）写出第5个式子：　 　 ； （2）写出第n（n为正整数）个式子：　 　 ； 并说明：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜1． 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … 即时巩固40．（2026•安徽模拟）·【提升】【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子1+2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1的值，如图组成的整个图1形恰好是一个“菱形”．则1+2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝①（n为正整数）． 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，n个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为n﹣1，n﹣2，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子2+3+…（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则2+3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2＝②（n为正整数）． 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： （1）填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③3+4+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3＝　 　 （n为正整数）． 【规律总结】 （2）猜想： m+（m+1）+（m+2）+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+m＝　 　 ，（m，n均为正整数，且m＜n），并证明你的猜想． 即时巩固41．（2026•巢湖市一模）·【提升】项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【任务二应用体验】 根据图表直接写出（a+b）5＝　 　 ． 【任条三拓属提升】 若（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7为各项系数，则a2+a5＝　 　 ； 若（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，其中a1，a2，⋯a2023，a2024，a2025为各项系数，则求a1+a2+a3+…+a2023+a2024+a2025＝　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 本专题错因自查清单 ☐ 混淆(x−y)²与x²−y² ☐ 实际情境列式张冠李戴 ☐ 两位数写成4a而非40+a ☐ 乘号不省或除号不化分数 ☐ 整体代入前未提取公因式 ☐ 绝对值开方漏掉负号解 ☐ 程序分支与循环条件判断错 ☐ 数字规律通项找偏 ☐ 裂项相消符号出错 ☐ 列代数式等量关系找错 苏科版（2024） · 代数式的概念 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $