12.3.1一次函数与二元一次方程课件2026-2027学年沪科版数学八年级上册

一般地，二元一次方程\(ax+by=c\)（\(b≠0\)）可以变形为一次函数\(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\)。所以**任何一个二元一次方程都对应一个一次函数，对应一条直线**。 直线上任意一点的横、纵坐标\((x,y)\)，都是这个二元一次方程的一组解；反过来，二元一次方程的任意一组解，对应的点一定在这条直线上。 二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，把两个方程分别化成一次函数\(y=k_1x+b_1\)、\(y=k_2x+b_2\)。两个一次函数图象的**交点坐标\((x,y)\)，就是二元一次方程组的解**。 图象三种情况： 1. 两直线相交（\(k_1≠k_2\)）：方程组有唯一一组解； 2. 两直线平行（\(k_1=k_2,b_1≠b_2\)）：方程组无解； 3. 两直线重合（\(k_1=k_2,b_1=b_2\)）：方程组有无数组解。 核心思想：**数形结合**。方程的解对应点坐标，点组成直线；求方程组的解，可以转化为找两条直线交点坐标。本节重点：二元一次方程与一次函数的互相转化，利用函数图象求二元一次方程组的近似解，根据直线位置判断方程组解的个数。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 将二元一次方程\(2x+y=3\)化为\(y=kx+b\)形式，结果是（） A.\(y=2x+3\) B.\(y=-2x+3\) C.\(y=2x-3\) D.\(y=-2x-3\) 2. 二元一次方程\(3x-y=1\)对应的直线上一点坐标是（） A.\((0,1)\) B.\((1,2)\) C.\((-1,2)\) D.\((1,3)\) 3. 两个一次函数图象相交于一点，则对应的二元一次方程组（） A. 有唯一解 B. 无解 C. 无数组解 D. 无法判断 4. 直线\(y=x+1\)与\(y=-x+3\)交点\((1,2)\)，则方程组\(\begin{cases}y=x+1\\y=-x+3\end{cases}\)的解为（） A.\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\) B.\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) C.\(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) D.\(\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}\) 5. 两条直线\(y_1=2x+1\)，\(y_2=2x+3\)平行，则对应的方程组（） A. 唯一解 B. 无解 C. 无数组解 D.2 组解 ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 二元一次方程\(ax+by=c\)（\(b≠0\)）可转化为________的形式。 2. 二元一次方程的每一组解\((x,y)\)，对应直线上一个________。 3. 两个一次函数图象交点坐标，就是对应二元一次________的解。 4. 直线重合，对应的二元一次方程组有________组解。 5. 方程\(x-2y=4\)，当\(x=2\)时，\(y=\)________。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 把二元一次方程\(3x+2y=6\)转化为一次函数\(y=kx+b\)形式，并写出两组方程的解。 2. 已知一次函数\(y=2x-1\)。 （1）写出对应的二元一次方程； （2）判断点\((2,3)\)是否是这个方程的一组解。 3. 两个一次函数：\(y_1=-x+4\)，\(y_2=2x-2\)，图象交于点\((2,2)\)。 （1）写出对应的二元一次方程组； （2）直接写出方程组的解。 4. 在同一直角坐标系中画出直线\(y_1=2x-4\)与\(y_2=-x+2\)。 （1）求两条直线交点坐标； （2）写出对应的二元一次方程组及其解。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：移项\(y=-2x+3\)。 2. **B**。解析：代入\((1,2)\)，左边\(3\times1-2=1\)等于右边。 3. **A**。解析：相交，交点唯一，方程组唯一解。 4. **B**。解析：交点坐标就是方程组的解。 5. **B**。解析：斜率相同，截距不同，直线平行，无交点，方程组无解。 ### 填空题 1. \(\boldsymbol{y=kx+b}\) 2. **点（坐标）** 3. **方程组** 4. **无数** 5. \(\boldsymbol{-1}\)。解析：代入\(x=2\)，\(2-2y=4\)，解得\(y=-1\)。 ### 解答题 1. 解：\(3x+2y=6\)，\(2y=-3x+6\)，\(\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{2}x+3}\)。 两组解示例：\(\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}\)；\(\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\)。 2. 解：（1）移项得到二元一次方程：\(\boldsymbol{2x-y=1}\)。 （2）把\(x=2,y=3\)代入左边，\(2\times2-3=1\)，等式成立，所以\((2,3)\)是方程一组解。 3. 解：（1）方程组：\(\begin{cases}y=-x+4\\y=2x-2\end{cases}\)，整理为\(\begin{cases}x+y=4\\2x-y=2\end{cases}\)。 （2）交点\((2,2)\)，方程组解\(\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)。 4. 解：（1）联立方程\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-x+2\end{cases}\)，\(2x-4=-x+2\)，解得\(x=2\)，\(y=0\)。交点\(\boldsymbol{(2,0)}\)。 （2）方程组\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-x+2\end{cases}\)，解\(\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\)。 ## 四、易错点总结 1. 方程变形移项时符号出错，把\(ax+by=c\)化成\(y=kx+b\)容易符号搞错； 2. 分不清：单个二元一次方程有无穷多解，二元一次方程组才可能只有唯一解； 3. 直线平行、重合、相交三种情况对应的解的个数容易记混； 4. 交点坐标作为方程组的解，写解时\(x、y\)写颠倒； 5. 数形结合理解不到位，不理解 “点在直线上” 等价于 “坐标满足方程”。 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.3.1一次函数与二元一次方程 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 1 2 3 深入理解一次函数与二元一次方程（组）之间存在的紧密对应关系，熟练掌握运用图象法求解二元一次方程组的方法. 在探究一次函数与二元一次方程（组）之间的关系时，学会从函数的独特视角去认识和分析问题，掌握利用数形结合思想分析和解决各类数学问题的技巧. 感受解决问题策略的丰富多样性，不断发展自身的实践能力和创新精神，逐步树立运用联系的观点看待数学问题的辩证思维. 素养目标 02 复习旧知 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 ４ ５ (１); (２)； (３)； (４)． 画出函数的图象，并用结合函数图象，从函数的角度解释下列方程和不等式． 02 创设情境 　今天数学王国搞了个家庭 Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 x + y = 5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？ 03 新知探究 把二元一次方程转化为一次函数的形式. 一次函数，任意给出自变量的一些值，求出对应的的值. … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 … 是二元一次方程的一组解 是一次函数图象上一点 二元一次方程有无数多组解,解的全体叫作该二元一次方程的解集． 03 新知探究 x y o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -1 6 7 以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图. 一次函数 y = -x +3 图象上的点 方程 3x + 2y = 6 的解 从形到数 从数到形 03 新知探究 归纳 一般地，一个二元一次方程可以转化为一次函数 (为常数，且)的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 03 新知探究 例、已知直线 AB 如图所示，点A的坐标为(0，1). (1)求直线 AB 的表达式； 解：(1) 由图象，得点 A(0，1)，点 B(2，2). 设直线 AB 为 y＝kx＋b (k≠0). 由题意得 b＝1，2k＋b＝2， 解得 . ∴ 直线 AB 的表达式为 03 新知探究 (2) 已知 C(－4，－1)，说明点 C 是否在直线 AB 上？ ∴点 C 在直线 AB 上． 解：(2) 把 x＝－4，代入 ，得 练习１　既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？ 该方程组唯一解 该方程组无数解 该方程组无解 该方程组唯一解 方法技巧 由系数关系判断方程组解的情况，先将方程化为的形式，再比较系数比进行判断。 0不能作分母 课堂练习 点P 在第四象限 D 课堂练习 课堂练习 1．[知识初练]二元一次方程x－y＝4的解有________组，以该方程的解为坐标的点都在函数____________的图象上；直线y＝－x＋5上的点的坐标都是二元一次方程____________的解． 1星题 基础练 无数 【思维模型】一次函数与二元一次方程数形结合 y＝x－4 x＋y＝5 举一反三 2．以二元一次方程y＝－3x＋1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是(　　) C 举一反三 3.【教材改编题】如图，已知直线y＝ax＋b，则关于x的方程ax＋b＝－1的解为(　　) A．x＝0 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝1 A 举一反三 4．以二元一次方程4x＋2y＝22的解为坐标的点都在直线l上． (1)直线l对应的函数表达式为______________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出直线l； (3)根据图象，4x＋2y＝22的自然数解有 ________组，请用实心圆点将这些解 在图中标注出来． y＝－2x＋11 解：如图所示． 6 如图． 举一反三 5．若以关于x，y的二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－ x＋b－1上，则常数b的值为(　　) A. B．1 C．－1 D．2 D 2星题 中档练 举一反三 6．直线y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)过点(2，3)，则关于x，y的二元一次方程kx－y＋b－3＝0必有一组解为____________． 举一反三 05 课堂小结 二元一次方程与一次函数 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 谢谢观看 THANKS ２．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点 在直线 上，坐标 是二元一次方程 的解，则点 的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的方程组 的解是 ． $