12.3.3一次函数在方案决策问题中的应用-课件--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

方案决策类应用题，核心是**建立一次函数模型，结合自变量取值范围和函数增减性选择最优方案**，常包含两种或多种方案对比。 解题通用步骤： 1. 设变量：根据题意设自变量（购买数量、吨数、人数等）； 2. 列函数：写出每种方案对应的总费用 / 总利润y关于x的一次函数\(y=kx+b\)； 3. 求范围：结合题干不等式约束，求出自变量x的取值范围，实际问题中x一般取正整数； 4. 找临界点：令两个方案函数相等，解方程，求出两种方案费用相等时的自变量值； 5. 分类讨论：根据临界点划分区间，结合k的正负判断增减性，判断哪个方案更优； - \(k>0\)，y随x增大而增大； - \(k<0\)，y随x增大而减小； 6. 确定最优方案，规范作答。 ⚠️高频注意点： ① 自变量受题干限制，不是全体实数； ② 有不等式约束时，先求出x可取的所有整数，再代入函数求值比较； ③ 分清 “总费用最小” 还是 “总利润最大”。本节重点：带有不等式限制条件的方案选择，不止单纯两个方案对比，还有数量约束。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 一次函数\(y=-5x+80\)，\(k=-5<0\)，在允许范围内，要使y最小，则x取（） A. 最小值 B. 最大值 C. 任意值 D. 无法确定 2. 方案 A：\(y_1=15x+60\)；方案 B：\(y_2=20x\)。当\(y_1=y_2\)时，\(x=\)（） A.10 B.12 C.15 D.20 3. 一次函数\(y=10x+200\)，\(k>0\)，若要总费用最低，自变量x取（） A. 最大值 B. 最小值 C. 中间值 D. 任意正数 4. 某题约束条件\(10≤x≤20\)且x为整数，\(y=6x+50\)，费用最小是（） A.110 B.170 C.210 D.120 5. 方案决策问题中，若题干给出两种物品总量限制，要先求（） A. 函数解析式 B. 自变量取值范围 C. 临界点 D. 函数增减性 ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 当\(k>0\)时，一次函数\(y=kx+b\)，y随x增大而________。 2. 两个方案费用相等时对应的自变量的值叫做________。 3. \(y=-6x+300\)，\(k<0\)，x越大，总费用越________。 4. 若\(y_1=7x+40\)，\(y_2=9x\)，当\(y_1=y_2\)时，\(x=\)________。 5. 实际问题中，物品数量、人数，自变量一般取________。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 某文具店采购书包，商家有两种优惠方案： 方案一：每个书包 40 元，无其他费用； 方案二：先交会员费 60 元，每个书包 30 元。设购买书包x个，总费用y元。 （1）写出两种方案y关于x的函数表达式； （2）购买多少个书包，两种方案费用相同； （3）要买 15 个书包，选哪个方案更省钱。 2. 学校组织学生外出研学，有甲、乙两种客车。甲客车租金 200 元 / 辆，可坐 40 人；乙客车租金 150 元 / 辆，可坐 30 人。学校共有 240 人出行，租用甲x辆，剩下坐乙车。 （1）写出总租金y关于x的函数； （2）求自变量x的取值范围； （3）求总租金最低的租车方案和最低费用。 3. 工厂需要原材料不少于 25 吨，供应商 A：每吨 200 元；供应商 B：收服务费 150 元，每吨 180 元。设采购x吨（\(x≥25\)）。 （1）写出 A、B 两家费用函数； （2）x取何值，B 供应商更划算。 4. 某商店购进 A、B 两种纪念品共 50 件，A 每件进价 20 元，B 每件进价 15 元，要求 A 至少购进 10 件。设购进 A 纪念品x件，总进价y元。 （1）写出总进价y与x的函数关系式并写出x范围； （2）求总进价最低的购进方案及最低总进价。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：\(k<0\)，x越大，y越小。 2. **A**。解析：\(15x+60=20x\)，解得\(x=12\)。 3. **B**。解析：\(k>0\)，x越小，函数值越小。 4. **B**。解析：\(k=6>0\)，x最小取 10，\(y=6\times10+50=110\)。 5. **B**。解析：有总量约束，优先求出自变量取值范围。 ### 填空题 1. **增大** 2. **临界点** 3. **小** 4. \(\boldsymbol{20}\)。解析：\(7x+40=9x\)，\(2x=40\)，\(x=20\)。 5. **正整数** ### 解答题 1. 解：（1）方案一：\(\boldsymbol{y_1=40x}\)；方案二：\(\boldsymbol{y_2=30x+60}\) （2）令\(40x=30x+60\)，解得\(\boldsymbol{x=6}\)。买 6 个书包费用相等。 （3）当\(x=15\)，\(y_1=40\times15=600\)；\(y_2=30\times15+60=510\)。\(\boldsymbol{选方案二更省钱}\)。 2. 解：（1）甲x辆可坐40x人，剩余\((240-40x)\)人，乙车辆数：\(\dfrac{240-40x}{30}\) \(y=200x+150\times\dfrac{240-40x}{30}\)，化简：\(\boldsymbol{y=200x+1200-200x=1200}\)。 总租金固定 1200 元，只要刚好坐满 240 人即可。 （2）\(240-40x≥0\)，\(x≥0\)且为整数。x可取\(0,3,6\)。 （3）无论\(x=0,3,6\)，租金都是 1200 元。 3. 解：（1）A：\(\boldsymbol{y_A=200x}\)；B：\(\boldsymbol{y_B=180x+150}(x≥25)\) （2）\(200x>180x+150\)，\(20x>150\)，\(x>7.5\)。结合条件\(x≥25\)，所以**当\(x≥25\)吨时，B 更划算**。 4. 解：（1）购进 B 为\((50-x)\)件。 \(y=20x+15(50-x)\)，化简\(\boldsymbol{y=5x+750}\)； 由题意：\(\boldsymbol{10≤x≤50}\)，x为整数。 （2）\(k=5>0\)，y随x增大而增大。所以x取最小值 10 时，y最小。 \(x=10\)，B：\(50-10=40\)件；最低进价\(y=5\times10+750=800\)元。 答：购进 A 纪念品 10 件，B 纪念品 40 件，总进价最低 800 元。 ## 四、易错点总结 1. 忽略题干不等式约束，漏掉自变量取值范围； 2. 判断增减性后，选反x最值，把费用最大当成最小； 3. 列函数时，固定费用（会员费、服务费）漏写； 4. 租车 / 采购类，要保证人数、总量满足需求，不能出现不够的情况； 5. 临界点求出后，没有结合题目自带的x范围，直接下结论。 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.3.3一次函数在方案决策问题中的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 1 2 3 会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想. 能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法，能进行解决问题过程的反思. 在实际问题中建立函数模型，选择合理方案解决问题，能够结合实际问题的数学信息，进行合情推理提升建立数学模型的能力，发展应用意识. 素养目标 02 复习旧知 利用函数图象，解二元一次一次方程组 两函数图象的交点为 （5，2） 故 的解为 02 创设情境 人生面临很多选择，我们都知道要选择最好的，最有价值的，最划算的，最喜欢的.这节课，我们来看看去旅游，怎样选择是最划算的. 03 新知探究 学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠.设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题. 03 新知探究 (1)当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？ (2)当参加老师的人数为多少时，选择甲旅行社合算？ (3)如果总共有50位老师参加，那么选择哪家旅行社合算？ 解:(1)当两个函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知人数为30人. (2)由图象知，当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算. (3)由图象知，当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算. 03 新知探究 归纳 1.根据函数图象选择方案主要有两步: (1)将实际问题数量化，根据实际问题建立数学模型，列出相关变量的两个函数表达式； (2)根据题意在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，求出图象的交点坐标，在交点的左右判断即可(或将表达式转化成一元一次方程或一元一次不等式求解). 2.在解决与函数图象有关的问题时，交点分别在两个函数图象上，这也是解决问题的突破口. 1．[太原期末]校园游泳馆为鼓励同学们畅享运动，新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲，y乙元，y甲，y乙与x之间关系的图象如图所示，当游泳次数为30次时选择________种消费卡更合算． 乙 举一反三 2．“生活即教育，行为即课程”，为了将劳动教育融入立德树人的全过程，学校举办“劳动实践周”，实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，为了更好地开展这些活动，学校现需采购园艺工具包，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如下表)，且都送货上门． 方案 运费 工具包价格 方案一 50元 12.5元/件 方案二 0元 15元/件 举一反三 若学校购买x件工具包，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元． (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； 解：由题意，得y1＝12.5x＋50，y2＝15x. (2)当付款总金额为________元时，方案一、方案二购买的工具包数量相同； 300 举一反三 (3)若学校计划用900元钱购买工具包，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的工具包较多？ 解：当y1＝900时，12.5x＋50＝900，解得x＝68， 当y2＝900时，15x＝900，解得x＝60. 因为68>60， 所以学校选择方案一购买的工具包较多． 举一反三 03 新知探究 例、某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H 地旅游的价格都是每人100 元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客6折优惠.该单位应选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少? 旅游总费用随游客人数的变化而变化 假设该单位参加旅游人数为. 按甲旅行社应付费用：　元 按乙旅行社应付费用：（）元 比较大小即可 03 新知探究 解　设该单位参加旅游人数为(其中且为正整数)，旅游总费用为元． 选择甲旅行社， 选择乙旅行社， 方法一　在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象（图12-18） 与的图象交于点（50，4000） 4000 50 03 新知探究 观察图12-18,可得： ①当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用一样； ②当人数为1～49时，选择甲旅行社费用较少； ③当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少. 03 新知探究 方法二　设选择甲、乙旅行社所需费用之差为元． 则 =20x-1000 画一次函数的图象， 如图（图１２－１９） 03 新知探究 由图 12-19 可知: ①当x=50 时,y=0,即,选择甲或乙旅行社费用一样; ②当x>50时,y>0,即,选择乙旅行社费用较少; ③当0 <x< 50 时,y<0,即,选择甲旅行社费用较少. 3.【立德树人·传统文化】书法，作为中华民族的文化瑰宝，涵盖了执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，是我国基础教育的重要内容．学校要举办“翰墨书香”书法大赛，需在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张(x>600)，该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：每购买1支毛笔，赠送1张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 举一反三 设方案A的总费用为y1元，方案B的总费用为y2元． (1)请分别求出y1，y2与x之间的函数表达式； 解：由题意，得 方案A：y1＝19×600＋3.6×(x－600)＝3.6x＋9 240(x>600)； 方案B：y2＝19×600＋3.6×600＋3.6×(x－600)×0.8＝2.88x＋11 832(x>600)． 举一反三 (2)若该校准备购买宣纸5 000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 解：若该校准备购买宣纸5 000张，则选择方案B更划算． 理由：当x＝5 000时， 方案A：y1＝3.6x＋9 240＝27 240(元)， 方案B：y2＝2.88x＋11 832＝26 232(元)， 因为26 232<27 240，所以y2<y1， 所以若该校准备购买宣纸5 000张，则选择方案B更划算． 举一反三 4.【立德树人·传统文化】灯彩(洛阳宫灯)作为国家级非物质文化遗产之一，以其古朴典雅、款式多样和彩绘蕴蓄而著称，生动地反映了生活的本真面貌，为人们带来美的享受．为举办“非遗宫灯展”，学校需采购洛阳宫灯．已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下，设学校购买洛阳宫灯的个数为x(个)，甲商店所需费用为y1元， 且y1＝7x＋100，乙商店所需费用为y2元． 举一反三 甲商店 乙商店 购买一张会员卡，享受会员价，每个洛阳宫灯可享受七折优惠. 不购买会员卡， 每个洛阳宫灯可享受九折优惠. (1)求甲商店一张会员卡的价格； 解：由题意，得y1＝7x＋100， 所以当x＝0时，y1＝100， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 举一反三 (2)求y2与x之间的函数表达式； (3)若学校准备购买40个洛阳宫灯，则选哪个商店购买比较合算，请说明理由． 解：依照乙商店的售卖方式可得y2＝10×0.9x＝9x， 所以y2与x之间的函数表达式为y2＝9x. 解：选乙商店购买比较合算，理由如下：当x＝40时，y1＝7x＋100＝7×40＋100＝380；y2＝9x＝9×40＝360. 因为380>360，所以选乙商店比较合算． 举一反三 05 课堂小结 解决方案问题的一般步骤 构建数学模型 一次函数问题 列函数解析式、画函数图象 分析函数图象 解决实际问题 寻找变量关系 设变量 谢谢观看 THANKS $