12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用一次函数解双函数实际问题”，通过复习解决问题的一般步骤（寻找变量关系、设变量、构建一次函数模型），衔接一次函数解析式与图象知识，为实际问题分析提供学习支架。 其亮点在于以旅行社费用比较、猕猴桃运输调运、快艇追及等真实情境为例，通过“数”（方程不等式）“形”（函数图象）结合及作差法，培养学生数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（推理与运算）和数学语言（模型表达）。方法总结清晰，助力学生提升实际问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源。

第12章 函数与一次函数 （沪科版）八年级上 12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 1.深入了解一次函数的应用价值； 2.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力. 学习目标 复习导入 解决方案问题的一般步骤 构建数学模型 一次函数问题 列函数解析式、画函数图象 分析函数图象 解决实际问题 寻找变量关系 设变量 我们前面学习了一些有关一次函数的知识及如何确定解析式，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题．对于一些生活实际中的问题也可以利用一次函数的模型来解决。 实际问题中的方案选择 4 例1 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？ 思考 (1)影响甲、乙旅行社费用因素是什么？ (2)你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？ 人数 甲旅行社：80x元 乙旅行社：(1000+60x)元 (3)在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？ 自变量是人数，因变量是费用，是函数关系 (4)如何比较这2种收费方式？ 设：选择甲旅行社支付的总费用为y1元， 则y1= 80x 选择乙旅行社支付的总费用为y2元， 则y2= 1000+60x 收费方式 甲旅行社：80x元 乙旅行社：(1000+60x)元 正比例函数 一次函数 例2 某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 吨，B 地将采摘 300 吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 吨，乙仓库可储存 260 吨，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为x 吨，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA元和 yB 元．(1)分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式； 解：(1) yA＝ 20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680. (2)试讨论 A、B 两地中，哪个的运费较少； (2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， ∴当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少. 解法一：从“数”上看 收费方式 甲旅行社：80x元 乙旅行社：(1000+60x)元 当y1=y2 ，即80x=1000+60x时，解得 x=50， ∴当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)； 当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得 x＞50.∴ x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得 x＜50.∴ x＜50时，选甲旅行社费用较少. 解法二：从“形”上看 在同一直角坐标系中作出两个函数的图象 观察图象，可得：当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数为1~49时，选择甲旅行社费用较少；当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少. (5)你能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？ 收费方式 甲旅行社： y1= 80x 乙旅行社： y2= 1000+60x (3)考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不得超过 4830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． (3)设两地运费之和为 y 元，则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得 yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. ∵y 随 x 的增大而减小，x 最大为 50， ∴y最小＝－2×50＋9680＝9580. ∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为 50 吨、150 吨；B 地运往甲、乙两仓库分别为 190 吨、110 吨时，才能使两地运费之和最少，最少是 9580 元． 方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意． 第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案． (6)你还有其他的方法吗？ 收费方式 甲旅行社： y1= 80x 乙旅行社： y2= 1000+60x 解法三：作差法② 还可以按下面的方法来解： 当80x(1000+60x)=0时，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样， 都是80×50=4000(元)； 当80x(1000+60x)＞0时，即x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当80x(1000+60x)＜0时，即x＜50时，选甲旅行社费用较少. (1)从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； (2)列出不等式(方程)，求出自变量在取不同时所对应的函数值，判断其大小关系； (3)结合实际需求，选择最佳方案. 归纳 利用一次函数进行方案决策： 例3 边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追赶(如下图). 海 岸 公 海 B A 15 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离 s 与追赶时间 t 之间的关系. 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ 解：观察图象知， 当 t＝0 时，B 距海岸 0 海里，即 s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A (6)你还有其他的方法吗？ 解法三：作差法① 设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y， 则y=y1y2=80x(1000+60x)=20x1000 在平面直角坐标系中作出函数的图象： 由图可知：当x=50时，y=0，即y1=y2，甲、乙两家旅行社的费都一样；当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，乙旅行社的费用较低；当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，甲旅行社的费用较低. 收费方式 甲旅行社： y1= 80x 乙旅行社： y2= 1000+60x 解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680； 思考 某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元． (1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式； （2）A、B 哪个速度快？ t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2，l1 的纵坐标增加了 5. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 即 10 分钟内， A 行驶了 2 海里， B 行驶了 5 海里， 所以 B 的速度快. 7 5 当 t＝15 时，l1 上对应点在 l2 上对应点的下方 这表明，15 分钟时 B 不能追上 A. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （3）15分钟内 B 能否追上 A？ 15 解：∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， ∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少； (2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少； 解：设两地运费之和为y元，则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. ∵y随x的增大而减小，x最大为50，∴y最小＝－2×50＋9680＝9580. ∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨； B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费 之和最少，最少是9580元． (3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 Ｂ Ａ 12 14 （4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ 　　如图延伸 l1 、l2 相交于点 P. 因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A. P 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 P （5）当 A 逃到离海岸12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？ 从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12. 这说明在 A 逃入公海前， 我边防快艇 B 能够追上 A 船. 10 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 课堂总结 26 利用一次函数进行方案决策 列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型 结合实际需求，选择最佳方案 谢谢大家聆听 $