12.2.5　简单分段函数的应用课件2026-2027学年沪科版数学八年级上册

分段函数：在自变量不同取值范围内，函数解析式不相同的函数。整体是**一个函数**，不是多个函数。写分段函数时，要写出每一段对应的自变量取值范围。 分段函数图象由几段图象组合而成，读图时，先分清每一段自变量范围，在对应区间使用对应的解析式求值。 分段函数应用题常见背景：收费问题（水费、电费、出租车费）、行程问题、销售方案。解题思路： 1. 分清自变量在哪个区间，选用对应解析式； 2. 求解析式，常在每一段用待定系数法； 3. 自变量取值范围是分段的分界点，是分段讨论的关键； 4. 求函数值：先判断自变量落在哪个区间，再代入对应解析式；已知函数值求自变量，需要分类讨论。 注意：分界点归属只能放在其中一段，不能重复也不能遗漏。实际问题自变量要符合现实意义。本节重点：读懂分段函数图象、求分段函数解析式、代入分段范围求值，解决简单实际应用。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 关于分段函数说法正确的是（） A. 分段函数是多个独立函数 B. 自变量不同范围对应不同解析式，整体是一个函数 C. 每一段自变量取值范围可以重叠 D. 分段函数图象一定是一条连续直线 2. 出租车收费：3 千米以内 8 元；超过 3 千米，超出部分每千米 1.5 元。自变量是行驶里程x，分界点是（） A.\(x=1.5\) B.\(x=3\) C.\(x=8\) D.\(x=9.5\) 3. 分段函数\(y=\begin{cases}2x & (0≤x≤3)\\ -x+9 & (x>3)\end{cases}\)，当\(x=4\)时，函数值为（） A.4 B.6 C.5 D.7 4. 某分段函数图象，在\(0≤x≤2\)是上升线段，\(x>2\)是水平线段。当\(x>2\)时（） A.y随x增大而增大 B.y随x增大而减小 C.y保持不变 D.\(y=0\) 5. 已知分段函数，已知函数值求自变量，需要（） A. 直接代入第一段解析式 B. 直接代入第二段解析式 C. 分类讨论，判断在哪一段区间 D. 无法计算 ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 分段函数，自变量在不同取值范围，对应不同的________。 2. 分段讨论的关键点是自变量的________。 3. 分段函数\(y=\begin{cases}3x & (0<x≤2)\\ x+4 & (x>2)\end{cases}\)，当\(x=2\)，\(y=\)________。 4. 水费分段计费：不超过 10 吨，每吨 2 元；超过 10 吨，超出部分每吨 3 元。当用水量\(x>10\)时，水费\(y=\)________。 5. 分段函数求值，先判断自变量落在哪个________，再代入对应式子。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 已知分段函数：\(y=\begin{cases}x+2 & (0≤x≤2)\\ -x+6 & (x>2)\end{cases}\) （1）求\(x=1\)时的函数值； （2）求\(x=4\)时的函数值。 2. 某移动流量套餐：每月流量不超过 5GB，费用 30 元；超过 5GB，超出部分每 GB 收费 5 元，设流量为x（GB），费用y（元）。 （1）写出y关于x的分段函数解析式； （2）当月使用流量 8GB，应交多少流量费？ 3. 小明离家距离y（千米）与时间x（小时）是分段函数：\(0≤x≤1\)，匀速骑车前往，解析式\(y=8x\)；\(1<x≤2.5\)，原地停留。 （1）停留阶段，写出函数解析式与自变量范围； （2）求出发 1 小时，小明离家距离。 4. 某商店销售笔记本，一次性购买不超过 10 本，每本 5 元；一次性购买超过 10 本，超出部分每本 4 元。设购买数量x本，总金额y元。 （1）写出y关于x的分段函数（x为正整数）； （2）购买 12 本，一共花费多少钱？ ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：分段函数是一个函数，多段解析式，区间不能重叠。 2. **B**。解析：3 千米是收费标准变化的分界点。 3. **C**。解析：\(x=4>3\)，代入\(y=-x+9\)，\(y=-4+9=5\)。 4. **C**。解析：水平线段，自变量变大，函数值不变。 5. **C**。解析：函数值已知，不确定在哪一段，要分类讨论。 ### 填空题 1. **函数解析式** 2. **分界点** 3. \(\boldsymbol{6}\)。解析：\(x=2\)属于第一段，\(y=3×2=6\)。 4. \(\boldsymbol{y=3x-10}\)。解析：\(y=10×2+3(x-10)=20+3x-30=3x-10\) 5. **自变量区间** ### 解答题 1. 解：（1）\(x=1\)，属于\(0≤x≤2\)，代入\(y=x+2\)，\(y=3\)； （2）\(x=4\)，属于\(x>2\)，代入\(y=-x+6\)，\(y=2\)。 2. 解：（1）\(y=\begin{cases}30 & (0<x≤5)\\30+5(x-5) & (x>5)\end{cases}\)，化简：\(y=\begin{cases}30 & (0<x≤5)\\5x+5 & (x>5)\end{cases}\) （2）\(x=8>5\)，代入\(y=5×8+5=45\)（元）。答：应交 45 元。 3. 解：（1）\(1<x≤2.5\)，距离不变，\(y=8\)； （2）\(x=1\)代入\(y=8x\)，\(y=8\)千米。答：离家 8 千米。 4. 解：（1）\(y=\begin{cases}5x & (1≤x≤10，x为整数)\\5×10+4(x-10) & (x>10，x为整数)\end{cases}\)，化简：\(y=\begin{cases}5x & (1≤x≤10，x为整数)\\4x+10 & (x>10，x为整数)\end{cases}\) （2）\(x=12>10\)，\(y=4×12+10=58\)元。答：花费 58 元。 ## 四、易错点总结 1. 概念错误：误以为分段函数是好几个独立函数； 2. 自变量区间写错，分界点重复或漏掉； 3. 代入求值时，没有先判断自变量属于哪一段，直接随意代入解析式； 4. 费用类应用题，超过分界点的部分只对超出部分加价，容易直接用单价乘全部总量； 5. 实际问题自变量有限制，如本数、流量为正数或整数，写解析式容易忽略。 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.2.5　简单分段函数的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 新课导入 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 在0~15分是正比例函数，在25~37分是一次函数，在55~80分是一次函数. 02 创设情境 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 这就是本节课要学习的分段函数. 03 新知探究 A市出租车按里程长短计价收费，它的计价方式为：不超过3km内收费6元，3km后每增加1km(不足1km，也以1km计)加收1元． (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 03 新知探究 解：当x≤3时，y=6 当x>3时，y=6+1×（x-3）=x+3 (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； ∴ y= (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ 解：李磊乘车5.6km，即乘车6km y=x+3=6+3=9 所以应该付9元 03 新知探究 (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 解：莉莉付了15元，大于6元 所以x+3=15 x=12 答：她乘车12km. 03 新知探究 归纳 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意： (1)分段函数是一个整体，这个整体是一个函数. (2)函数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数. (3)由于问题的不同，分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论. 03 新知探究 例、为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16时，使用费为每立方米1.3元. 超过16时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元。设一户每月用水量为x,应缴水费为 y元 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)画出上述函数的图象 (3)某两户某月用水量分别10和 20时，求这两户该月应缴的水费 (4)某一户某月缴水费 59.2元，求该户这个月的用水量。 03 新知探究 分析：用水量以16 为界，分成两段收费标准不一样，当0≤x≤16时，每立方米收费 (1.3+1.2)元；当x>16 时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元. 解：当0≤x≤16时，y=(1.3+1.2)x=2.5x 当x>16时，y=(1.3+1.2)×16+(2.0+1.2)(x-16)=3.2x-11.2 y与x的函数表达式可表示为 03 新知探究 (2)如图,函数图象是一段折线. 03 新知探究 解:(3)当x=10m3时,y=2.5×10=25(元); 当x=20m3时,y=3.2×20-11.2=52.8(元). 答：这两户该月应缴的水费分别为25元，52.8元. (4)因为59.2>2.5×16 所以该户这个月用水量超过16m3, 因此:3.2x-11.2=59.2. 解方程,得x=22.即该户本月用水量为22m3. 1．[南京期末节选]【问题背景】若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当x≥0时，y1＝kx＋2；当x<0时，y1＝kx－2， 可以记作分段函数y1＝ 1星题 基础练 【问题探究】当k＝1时，请在如图所示的平面直角坐标系中画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质． 举一反三 x －2 －1 0 1 … y －4 －3 2 3 … 解：当k＝1时，y1＝ 列表如下： 作图如图所示． 性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大； 性质2：当x≥0时，函数有最小值2.(性质不唯一) 举一反三 2．[广州期末]某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3 km时收费12元，超过部分每千米收费2.6元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x km，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为__________________． 举一反三 3．[武汉期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40 min，则需要向平台付费________元． 12 举一反三 4．随着新能源汽车的普及，充电站如雨后春笋般出现．某充电站施行峰谷电价收费制度(高峰时段：10：00至22：00，低谷时段：22：00至次日10：00)，已知高峰时段的充电单价是低谷时段的2倍，且充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的整个计费过程． (1)求出当0≤x≤5时，充电总费用y(元)与充电 量x(千瓦时)之间的函数表达式； 举一反三 解：设充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间的函数表达式为y＝kx， 将(5，6)代入，得6＝5k，解得k＝1.2，所以y＝1.2x. 举一反三 (2)当这辆汽车充电结束时，充电总费用是多少？ 8 (3)当这辆汽车的充电总费用为7.8元时，充电量为__________千瓦时． 解：因为高峰时段的充电单价是低谷时段充电单价的2倍，所以低谷时段的充电单价为1.2÷2＝0.6(元/千瓦时)，1.2×5＋0.6×(10－5)＝6＋3＝9. 答：当这辆汽车充电结束时，充电总费用是9元． 举一反三 05 课堂小结 分段函数 分段函数的具体应用 对分段函数图象的理解 谢谢观看 THANKS y＝ $