12.3 第2课时　一次函数与二元一次方程组（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程组的关系，核心内容包括用图象法解方程组、方程组解的三种情况（唯一解、无解、无穷多解）与两直线位置关系（相交、平行、重合）的对应及系数比规律。课堂导入通过复习上节课一次函数与二元一次方程的关系，提出“能否用图象解方程组”的问题，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过例1画直线找交点说明“数”（方程组的解）与“形”（直线交点）的对应，体现数学眼光中的几何直观；结合例2、例3及系数比规律总结，培养数学思维中的推理意识；用表格对比“数”与“形”的联系，强化数学语言中的模型意识。学生能在探究中理解代数与几何的融合，教师可借助结构化流程提升教学效率。

12.3 第2课时 一次函数与二元一次方程组 专项练习 适用教材：沪科版数学八年级上册 考查知识点：两个一次函数图象交点与二元一次方程组的关系、利用函数图象解二元一次方程组、两直线平行与方程组解的情况、数形结合求解方程组、无解与无数解的图象特征 满分：100分 时长：40分钟 一、基础填空题（每空3分，共24分） 1. 两个一次函数图象的________坐标，就是对应二元一次方程组的解。 2. 若两条直线$$y=k_1x+b_1$$ 与 $$y=k_2x+b_2$$ 相交，则对应的二元一次方程组有________组解。 3. 若两条直线平行（$$k_1=k_2，b_1 eq b_2$$），则对应方程组________；若两直线重合，则对应方程组有________。 4. 已知直线 $$y=2x+1$$ 与 $$y=-x+4$$ 的交点为 $$(1,3)$$，则方程组 $$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}$$ 的解为________。 5. 方程组 $$\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}$$ 的解对应直线$$y=-x+3$$ 与 $$y=x-1$$ 的________。 6. 直线 $$y=3x-2$$ 与 $$x$$轴交点，可看作方程组 $$\begin{cases}y=3x-2\\\underline{\quad\quad}\end{cases}$$ 的解。 二、单项选择题（每题4分，共24分） 7. 二元一次方程组$$\begin{cases}y=x+1\\y=-x+3\end{cases}$$ 的解对应的交点坐标是（） A. $$(1,2)$$ &nbsp;&nbsp; B. $$(2,1)$$ &nbsp;&nbsp; C. $$(0,1)$$ &nbsp;&nbsp; D. $$(3,0)$$ 8. 若两个一次函数图象平行，则对应二元一次方程组的解的情况是（） A. 唯一解 &nbsp;&nbsp; B. 无解 &nbsp;&nbsp; C. 无数组解 &nbsp;&nbsp; D. 无法确定 9. 已知直线 $$y=k_1x+b_1$$、$$y=k_2x+b_2$$ 的交点为$$(2,-3)$$，则方程组 $$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$$ 的解为（） A. $$\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}$$ &nbsp;&nbsp; B.$$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$$ &nbsp;&nbsp; C. $$x=-3$$ &nbsp;&nbsp; D. $$y=2$$ 10. 方程组 $$\begin{cases}y=2x-3\\4x-2y=6\end{cases}$$ 的图象位置关系是（） A. 相交 &nbsp;&nbsp; B. 平行 &nbsp;&nbsp; C. 重合 &nbsp;&nbsp; D. 垂直 11. 直线 $$y=-x+2$$ 与 $$y=2x-1$$ 的交点在第一象限，则方程组的解（） A. $$x&gt0，y&gt0$$ &nbsp;&nbsp; B. $$x&lt0，y&gt0$$ &nbsp;&nbsp; C. $$x&gt0，y&lt0$$ &nbsp;&nbsp; D. $$x&lt0，y&lt0$$ 12. 下列方程组对应的两条直线没有交点的是（） A. $$\begin{cases}y=x\\y=2-x\end{cases}$$ &nbsp;&nbsp; B. $$\begin{cases}y=3x\\y=3x+1\end{cases}$$ &nbsp;&nbsp; C. $$\begin{cases}y=1\\y=x\end{cases}$$ &nbsp;&nbsp; D. $$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$$ 三、基础解答题（共26分） 13.（12分）利用图象法解二元一次方程组：$$\begin{cases}y=x+2\\y=-2x+5\end{cases}$$。 14.（14分）已知直线 $$y=3x-1$$ 与 $$y=-x+7$$。（1）求两直线的交点坐标；（2）直接写出对应二元一次方程组的解。 四、能力提升题（共26分） 15.（12分）已知方程组 $$\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=0\end{cases}$$。（1）将两个方程化为一次函数解析式；（2）根据图象特征判断方程组解的情况。 16.（14分）已知一次函数 $$y=kx+2$$ 与 $$y=-x+b$$ 的交点为 $$(2,4)$$。（1）求 $$k、b$$ 的值；（2）写出方程组 $$\begin{cases}y=kx+2\\y=-x+b\end{cases}$$ 的解。 参考答案与解析 一、填空题 1. 交点 2. 一 3. 无解；无数组解 4. $$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$$ 5. 交点坐标 6. $$y=0$$ 二、选择题 7. A 8. B 9. B 10. C 11. A 12. B 三、基础解答题 13. 解：在平面直角坐标系中画出直线 $$y=x+2$$ 与 $$y=-2x+5$$，两直线交点坐标为 $$(1,3)$$，因此方程组的解为 $$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$$。 14. 解：（1）联立解析式得 $$3x-1=-x+7$$，解得 $$x=2$$，代入得 $$y=5$$，交点坐标为 $$(2,5)$$；（2）方程组的解为 $$\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}$$。 四、能力提升题 15. 解：（1）变形得 $$y=-2x+5$$、$$y=\frac{1}{2}x$$；（2）两函数 $$k$$ 值不相等，图象相交，因此方程组有唯一解。 16. 解：（1）将 $$(2,4)$$ 代入 $$y=kx+2$$，得 $$2k+2=4$$，解得 $$k=1$$；代入 $$y=-x+b$$，得 $$-2+b=4$$，解得 $$b=6$$；（2）方程组的解为 $$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$$。 字数：1240 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.3 第2课时　一次函数与二元一次方程组 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/15 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 新课导入 上节课我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系，那么，我们是否可以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢？ 情境导入 推进新课 例1 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出直线 l1：y=－x+1与 l2：y = 2x + 6 ； (2) 如果直线 l1 与 l2 交于点 P，写出点 P 的坐标； 解：(1) 图象如图所示. (2) 由图可知，直线 l1 与 l2 交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2). (3) 说明点 P 的坐标是否为下面方程组的解. (3) 方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数y=－x+1的形式，因此，直线 l1： y=－x+1上任意一点的坐标都是方程 x + 2y = 2 的解. 同理，直线 l2 上任意一点的坐标都是方程 2x - y = -6 的解，所以直线 l1 与 l2的交点 P 的坐标是方程 x + 2y = 2 与2x - y = -6 的公共解，也就是说，点 P 的坐标是二元一次 方程组 的解. 归纳： 二元一次方程组的图象解法 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值． 数 形 例2 利用图象解法解方程组： 解：对于方程①，有 x ... 0 2 ... y ... -2 3 ... 过点 A(0，-2)和 B(2，3)画出方程①所对应的直线 l: y = -x-2. 同样地，点A(0，-2)和B(2，3)也在方程②所对应的直线上． 所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A 和B 两点的直线 l， 如图，就是说，这两条直线重合. 显然，直线 l上每一个点的坐标都是方程组的解，所以方程组有无穷多组解. 你能归纳出用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？ (1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 思考： 核心必知 1．二元一次方程组 的解即为一次函数y＝k1x＋b1和____________的图象的交点坐标． y＝k2x＋b2 2．直线l1，l2对应的二元一次方程分别为a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2. 两直线的位置关系、二元一次方程组的解与方程组中各项系数之比的关系如下表： 举一反三 两直线的位置关系 相交 重合 平行 的解 唯一解 无数组解 无解 的关系 举一反三 1. 【思维生长】已知方程组 的解为 则直线____________与直线____________的交点坐标为_______． 1星题 基础练 y＝x－2 向“逆向推理”生长：已知直线y＝x＋3与直线y＝2x－4的交点坐标为(7，10)，则 是方程组______________的解． y＝－x＋4 (3，1) 7 10 举一反三 向“数形结合思想”生长：如图中的两直线l1、l2的交点坐标可看作是方程组________________的解． 举一反三 2．若一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是____________． 举一反三 练一练 1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 . （3，2） 2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 　的解为________. 例3 利用图象解法解方程组： 解：方程 3x + 2y = -2 对应直线 l1：y = -x - 1. 方程 6x + 4y = 4 对应直线 l2： y = -x + 1 作出直线 l1 和直线 l1 ，如图，两条直线平行，故方程组无解. (1)相交(有一个交点)⇔二元一次方程组有　唯一解　；  (2)平行(无交点)⇔二元一次方程组　无解　；  (3)重合(有无数个交点)⇔ 二元一次方程组有　无数个解.  归纳： 二元一次方程组的解三种情况 唯一解　 无解　 无穷组解 当把二元一次方程组化为 (其中a1，a2， b1，b2，c1，c2为常数)的形式后，比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？ 思考： （1）当 时，方程组有一组解； a1 a2 ≠ b1 b2 （2）当 时，方程组有无穷多组解； a1 a2 = b1 b2 c1 c2 = 发现 （3）当 时，方程组无解. a1 a2 = b1 b2 c1 c2 ≠ 练一练 3 .已知关于x，y的方程组 ，当k______时，方程组有且只有一组解；当k______时，方程组有无数组解. ≠6 =6 当 a1 : a2  ≠ b1 : b2 时 ，有唯一解 3 : k ≠ 7 : 14 当  a1 : a2  = b1 : b2 = c1 : c2 时 ，有无穷多组解 3 : k = 7 : 14 = 14 : 28 3．[厦门月考]已知直线y＝2x＋k与直线y＝kx－2的交点的横坐标为2，求k的值和交点的纵坐标． 解：由题意得 所以k的值为6，交点的纵坐标为10. 举一反三 4．利用图象解方程组： 解：方程组对应的两个一次函数为y＝2x＋5和y＝－x－1， 画出这两个一次函数的图象，如图所示． 由图象知两直线的交点坐标为(－2，1)， 所以原方程组的解为 举一反三 5. 【新考法】若关于x，y的二元一次方程组 有唯一解，则直线y＝3x－2与y＝kx－3的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 C 举一反三 6．一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象之间的位置关系是____________，这说明方程组 的解的情况是__________． 平行 无解 举一反三 7.【整体思想】[马鞍山期末]如图，直线y＝ax－b与直线y＝mx＋1交于点A(2，3)，则方程组 的解是(　　) D 2星题 中档练 举一反三 8．[六安期中]如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线y2＝bx－4相交于点P，则下列结论正确的是(　　) A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝－3 B．不等式－x＋a>－3和不等式bx－4>－3的解集相同 C．bx－4<－x＋a<0的解集是－2<x<1 D．方程组的解为 C 举一反三 9．[安庆期中]已知直线y＝x＋b和直线y＝ax＋2交于点P(3，－1)，则关于x的方程(a－1)x＝b－2的解为____________． x＝3 举一反三 10．若方程组 有无穷多组解，则直线y＝kx＋b不经过第______象限． 四 举一反三 11．[淮北期中]如图，直线y＝－x＋4和直线y＝2x＋1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； 解：联立 所以点A的坐标为(1，3)． 举一反三 (2)求三角形ABC的面积； 解：当x＝0时，y＝－x＋4＝4， 所以点B的坐标为(0，4)． 当x＝0时，y＝2x＋1＝1， 所以点C的坐标为(0，1)． 所以S三角形ABC＝ 即三角形ABC的面积为 . 举一反三 (3)在x轴上有一动点P(a，0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y＝－x＋4和直线y＝2x＋1于点D，E，若DE＝18，求出此时点P的坐标． 解：由题意知，D(a，－a＋4)，E(a，2a＋1)， 所以DE＝|(2a＋1)－(－a＋4)|＝18， 解得a＝7或－5， 所以点P的坐标为(7，0)或(－5，0)． 举一反三 12. 【新考法】[上海期中]已知{a，b，c，…}max表示a，b，c，…这几个数中最大的那个数，{a，b，c，…}min表示a，b，c，…这几个数中最小的那个数，例如，{5，－3，0}min＝－3. (1){－2，4，1}max＝________； 4 3星题 提升练 (2)已知函数y＝ ，则ymax＝________． 2 举一反三 课堂小结 二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 ≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交 ＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行 ＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合 谢谢观看 THANKS ≠ ＝＝ ＝≠ ，， 解得 A. B. C. D. 的解为 解得 ·BC·|xA|＝×3×1＝， $