奥数思维培优 第6讲 鸡兔同笼·假设法（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第6讲 鸡兔同笼 · 假设法 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第6讲 专题 鸡兔同笼——假设法 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 四则运算；方程 核心方法 假设法、抬腿法、方程法 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握假设法解鸡兔同笼问题，能推广到得失分、车船等变式。 过程与方法 经历"假设→比较→调整"的思维过程。 思维品质 培养假设验证和整体代换思想。 情感应用 感受经典数学问题的趣味性。 三、情境导入 《孙子算经》中有一道千古名题：笼子里有鸡和兔，从上面数有8个头，从下面数有22只脚。鸡兔各有多少只？ 动脑筋：如果全是鸡，该有多少只脚？ 悬念：多出来的脚是谁的？ 图1 鸡兔同笼 今天我们就来学习"鸡兔同笼"的假设法。 四、知识导航 鸡兔同笼三大解法： 图2 三大解法 方法 步骤 关键公式 假设法 假设全是鸡→算脚数→差÷2 兔数=(总脚−2×头)÷2 抬腿法 每只抬2腿→剩脚看兔 兔数=(总脚−2×头)÷2 方程法 设兔x只列方程 4x+2(头−x)=总脚 五、易错辨析 常见错误 正确做法 假设后忘记调整 差÷(4−2)才是兔数 脚差算反 总脚−假设脚数，别取反 得失分差算错 错1题差(得分+扣分) 单位混淆 分清"只"和"只脚" 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从经典到变式；每例后附一道变式练习。 例1【经典假设法】 题目：鸡兔同笼，头共35个，脚共94只。鸡兔各多少只？ 分析：假设全是鸡，脚数=35×2=70只，比94少24只。每把1只鸡换成兔多2只脚。 详解： 假设全是鸡：35×2=70（只脚）。 比实际少：94−70=24（只脚）。 每换1只兔多：4−2=2（只脚）。 兔数=24÷2=12（只），鸡=35−12=23（只）。 图3 经典假设法 方法点睛：兔数=(总脚−2×头)÷2，再求鸡。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：鸡兔共20个头，62只脚，鸡兔各多少只？ 解答： 兔=(62−2×20)÷2=11只，鸡=9只。 点拨：与例1同法：假设全是鸡。 例2【抬腿法】 题目：鸡兔同笼，头8个，脚22只。鸡兔各多少只？ 分析：让所有动物都抬起2条腿，剩的腿都是兔子的后腿。 详解： 每只都抬2条腿：8×2=16（只脚）。 剩：22−16=6（只脚）。 这6只脚全是兔抬不起来的后腿，每兔2条。 兔=6÷2=3（只），鸡=8−3=5（只）。 图4 抬腿法 方法点睛：抬腿后剩的脚÷2=兔数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：鸡兔共12个头，30只脚，用抬腿法求鸡兔各多少只？ 解答： 剩30−24=6只脚，兔=6÷2=3只，鸡=9只。 点拨：与例2同法：抬腿法。 例3【得失分问题】 题目：数学竞赛共20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，小明全做了得72分。他答对几题？ 分析：假设全对得100分，实际72分，差28分。每错一题少5+2=7分。 详解： 假设全对：20×5=100（分）。 比实际多：100−72=28（分）。 每错1题少得：5+2=7（分）。 错题数=28÷7=4（题）。 答对=20−4=16（题）。 图5 得失分问题 方法点睛：得失分差=得分+扣分，设计数据要整除。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：竞赛共10题，对得8分，错扣3分，小明得58分。他对了几题？ 解答： 全对80分。错=(80−58)÷(8+3)=22÷11=2题，对8题。 点拨：与例3同法：得失分差÷单位差。 例4【三量变体】 题目：蜻蜓和蝉共12只，翅膀共18对。蜻蜓每只2对翅，蝉每只1对翅。各多少只？ 分析：假设全是蝉（1对翅），翅数=12对，差6对。每换1只蜻蜓多1对翅。 详解： 假设全是蝉：12×1=12（对翅）。 比实际少：18−12=6（对翅）。 每换1只蜻蜓多：2−1=1（对翅）。 蜻蜓=6÷1=6（只），蝉=12−6=6（只）。 图6 三量变体 方法点睛：抓住两个量的差异，套用假设法。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三轮车和小汽车共10辆，车轮共32个。小汽车几辆？ 解答： 假设全是三轮车：10×3=30（个轮）。比实际少：32−30=2（个轮）。每换1辆小汽车多：4−3=1（个轮）。小汽车=2÷1=2（辆），三轮车8辆。 点拨：与例4同法：注意轮子差的方向。 例5【购物问题】 题目：买3元/本和5元/本的笔记本共40本，共花160元。两种各买多少本？ 分析：假设全买3元的，花120元，差40元。每换1本5元的多2元。 详解： 假设全买3元：40×3=120（元）。 比实际少：160−120=40（元）。 每换1本5元多：5−3=2（元）。 5元本=40÷2=20（本），3元本=20（本）。 图7 购物问题 方法点睛：单价差就是"脚差"，与鸡兔同理。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：买2元/支和3元/支的笔共30支，共花72元。两种各多少支？ 解答： 假设全2元：60元，差12。3元笔=12÷1=12支，2元笔18支。 点拨：与例5同法：单价差作脚差。 例6【车船问题】 题目：大车坐6人，小车坐4人，共18辆车，共坐88人。大小车各多少辆？ 分析：假设全是小车，坐72人，差16人。每换1辆大车多2人。 详解： 假设全是小车：18×4=72（人）。 比实际少：88−72=16（人）。 每换1辆大车多：6−4=2（人）。 大车=16÷2=8（辆），小车=10（辆）。 图8 车船问题 方法点睛：载人差=脚差，方法是通用的。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：大船坐6人，小船坐4人，共10条船坐50人。大小船各几条？ 解答： 假设全小船：40人，差10。大船=10÷2=5条，小船5条。 点拨：与例6同法：载人差当脚差。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【得失分】（某名校小升初真题） 题目：答题竞赛共25题，答对得4分，答错或不答倒扣1分。小华得了75分。他答对多少题？ 分析：假设全对得100分，实际75分，差25分。每错一题少4+1=5分。 详解： 假设全对：25×4=100（分）。 差：100−75=25（分）。 每错1题少：4+1=5（分）。 错题=25÷5=5（题），答对=25−5=20（题）。 方法点睛：不答也扣分时，与答错同样处理。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：竞赛共20题，对得5分，错或不答扣3分，小丽得68分。她对几题？ 解答： 全对100分。错=(100−68)÷8=32÷8=4题，对16题。 点拨：与真题1同法：得失分差。 真题2【综合】（某重点中学分班考试真题） 题目：停车场有自行车（2轮）和汽车（4轮）共40辆，轮子共110个。汽车有多少辆？ 分析：假设全是自行车，80个轮，差30个。每换1辆汽车多2个轮。 详解： 假设全是自行车：40×2=80（个轮）。 差：110−80=30（个轮）。 每换1辆汽车多：4−2=2（个轮）。 汽车=30÷2=15（辆），自行车=25（辆）。 方法点睛：轮子差当脚差，万物皆可鸡兔。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：停车场有自行车和三轮车共30辆，轮子共80个。三轮车几辆？ 解答： 假设全自行车60轮，差20。三轮=20÷1=20辆。 点拨：与真题2同法：轮差当脚差。 八、方法总结表 类型 假设基准 差÷单位差 例 鸡兔 全鸡 脚差÷2=兔 兔=(94−70)÷2=12 得失分 全对 分差÷(对+错扣)=错 错=(100−75)÷5=5 车船 全小车 人差÷载人差=大车 大车=16÷2=8 购物 全低价 钱差÷价差=高价 5元本=40÷2=20 九、解题口诀 鸡兔同笼不用慌，假设全是一种样； 算出差来除以差，多出的脚除以2； 得失分题要小心，错一题差对加扣； 车船购物一个理，单位差来把数定。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 鸡兔共10个头，26只脚。鸡兔各多少只？ A2. 鸡兔共15个头，40只脚。鸡兔各多少只？ A3. 鸡兔共8个头，22只脚。用抬腿法求鸡兔各多少只？ A4. 三轮车和小汽车共8辆，车轮共26个。小汽车几辆？ A5. 买2元和5元的邮票共10张，共花38元。5元邮票几张？ B组 能力提升（5题） B6. 鸡兔共25个头，68只脚。鸡兔各多少只？ B7. 答题共10题，对得10分，错扣5分，小明得70分。他对几题？ B8. 大船坐6人，小船坐4人，共12条船坐56人。大小船各几条？ B9. 蜻蜓（2对翅）和蝉（1对翅）共15只，翅共24对。各多少只？ B10. 鸡兔共28只，共80只脚。鸡兔各多少只？ C组 思维挑战（5题） C11. 竞赛共20题，对得5分，错扣2分，不答不扣。小明得了74分，且有一题没做。他对几题？ C12. 有2分硬币和5分硬币共30枚，共值99分。两种各多少枚？ C13. 动物园有鸵鸟（2腿）和长颈鹿（4腿）共20只，腿共56条。各多少只？ C14. 买3元和8元的书共15本，共85元。两种各几本？ C15. 鸡兔共100只，鸡脚比兔脚少28只。鸡兔各多少只？ 十一、参考答案与详细解析 A1 假设全鸡20脚，差6。兔=6÷2=3只，鸡7只。 A2 假设全鸡30脚，差10。兔=10÷2=5只，鸡10只。 A3 剩22−16=6脚，兔=6÷2=3只，鸡5只。 A4 假设全三轮24轮，差2。小汽车=2÷1=2辆。 A5 假设全2元20元，差18。5元票=18÷3=6张。 B6 假设全鸡50脚，差18。兔=9只，鸡16只。 B7 全对100分，差30。错=30÷15=2题，对8题。 B8 全小船48人，差8。大船=8÷2=4条，小船8条。 B9 全蝉15对翅，差9。蜻蜓=9÷1=9只，蝉6只。 B10 假设全鸡56脚，差24。兔=24÷2=12只，鸡16只。 C11 设错y题，对20−1−y=19−y题。 5(19−y)−2y=74 → 95−7y=74 → 7y=21 → y=3。对16题，错3题，1题没做。 C12 假设全2分60分，差39。5分=39÷3=13枚，2分17枚。 C13 全鸵鸟40腿，差16。长颈鹿=16÷2=8只，鸵鸟12只。 C14 全3元45元，差40。8元书=40÷5=8本，3元书7本。 C15 设鸡x只，兔100−x只。 鸡脚2x，兔脚4(100−x)。2x+28=4(100−x) → 2x+28=400−4x → 6x=372 → x=62。鸡62只，兔38只。 十二、本讲小结 本讲学习了鸡兔同笼问题的假设法：先假设全是某一种，算出假设总数，与实际比较得差，再除以单位差（每换一只多出的数量），求出另一种的数量。 得失分、车船、购物等问题都可转化为"鸡兔同笼"。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 脚差除错数 除以的是每只脚的差(4−2=2) 得失分差 错1题差=对得分+错扣分 数据不整除 设计题目数据时保证整除 鸡兔搞反 先求出的是"另一种"的数量 学习建议：先假设再比较，画表更清晰；下讲预告：第7讲 平均数·移多补少。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $