第10章 计数原理与概率统计 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 10 章　计数原理与概率统计 原　卷 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 10 章　计数原理与概率统计（原卷） （一）统计与概率 1. 随机抽样 基本概念：在统计中，把研究对象的全体组成的集合叫做总体，组成总体的每一个调查对象叫做个体，从总体中抽取的一部分个体叫做样本，样本中个体的数目叫做样本量。从总体中抽取样本的过程叫做抽样。 （1）简单随机抽样 设一个总体含有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本（），且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，这样的抽样方法叫简单随机抽样。常用方法有抽签法和随机数法。 · 抽签法：把总体中的每个个体编号，将号签放入容器搅匀，逐个抽取； · 随机数法：用随机数表、随机数骰子或计算机产生随机数进行抽取。 特点：逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的机会相等。 （2）分层随机抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，为了提高样本的代表性，常将总体分成互不交叉的若干层，然后按一定比例从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层随机抽样。 比例关系： 步骤：分层 按比例计算各层样本量 各层独立抽样 合成样本。 （3）抽样方法的比较与选择 · 总体容量较小、差异不明显时，用简单随机抽样； · 总体由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样； · 无论哪种抽样，都要求每个个体被抽到的机会相等（等可能性）。 例 1　某校高一、高二、高三分别有 、、 人，用分层抽样抽取 人，求各年级应抽取的人数。 2. 用样本估计总体 （1）频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤：求极差 决定组距与组数 分组 列频率分布表 画直方图。 重要性质：直方图的纵轴是 ，因此各小长方形的面积等于对应组的频率，所有小长方形面积之和为 。 由直方图估计数字特征： · 众数：取最高矩形的底边中点； · 中位数：使左右两侧面积各为 的横坐标； · 平均数：取各矩形底边中点值与相应频率之积的和。 （2）百分位数 一组 个数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于它，且至少有 的数据大于或等于它。 时即为中位数。 （3）数字特征及其意义 设样本数据为 ： · 平均数：，反映数据的平均水平； · 方差：，反映数据的离散程度； · 标准差：，与原始数据单位一致。 简便计算式：。 性质：若把每个数据都加上同一个常数 ，则平均数变为 ，方差不变；若都乘以常数 ，则平均数变为 ，方差变为 。 平均数、中位数、众数的比较：平均数能充分利用所有数据，但易受极端值影响；中位数不受极端值影响；众数反映出现次数最多的数据。 例 2　求数据 的平均数与方差。 3. 古典概型 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果。 古典概型的两个特点：① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；② 每个基本事件出现的可能性相等。 概率公式： 求基本事件数的方法：列举法、列表法、树状图法；当基本事件较多时，借助排列组合计数。 常用方法：当直接求概率较难时，可用对立事件 。 例 3　袋中有 个红球、 个白球（仅颜色不同），从中任取 个球，求取到红球的概率。 4. 事件的相互独立性 定义：若事件 的发生与否不影响事件 发生的概率，且 ，则称事件 与 相互独立。 性质：若 相互独立，则 与 、 与 、 与 也都相互独立。 互斥与独立的区别：互斥事件不能同时发生（）；相互独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率（）。二者是不同概念。 例 4　甲、乙两人独立射击，命中率分别为 、，求两人都命中的概率与至少一人命中的概率。 （二）计数原理 1. 两个基本计数原理 分类加法计数原理：完成一件事有 类办法，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 分步乘法计数原理：完成一件事需要 个步骤，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 辨析：分类加法——各类办法相互独立、任一类都能单独完成这件事（“分类相加”）；分步乘法——各步骤缺一不可，须依次完成（“分步相乘”）。 例 5　从 地到 地有 条路，从 地到 地有 条路，求从 地经 地到 地的走法数。 2. 排列与排列数 排列：从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 排列数公式： 当 时为全排列 ，并规定 。 常见类型： · 特殊元素（位置）优先：先安排有特殊要求的元素或位置； · 相邻问题——捆绑法：把相邻元素”捆绑”成一个整体，再考虑内部排列； · 不相邻问题——插空法：先排其他元素，再把不相邻元素插入空隙。 例 6　 人排成一排照相，其中甲必须站在最左边，共有多少种排法？ 3. 组合与组合数 组合：从 个不同元素中取出 （）个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 组合数公式： 性质：；。 辨析：排列与顺序有关（如排队、安排职务）；组合与顺序无关（如选人、取物）。 例 7　从 名同学中选出 人参加活动，共有多少种选法？ 4. 二项式定理 二项式定理： 展开式的特征：共 项； 的指数从 逐项减 到 ， 的指数从 逐项加 到 ，每项中 的指数之和都等于 。 通项：（）。 二项式系数的性质： · 对称性：与首末两端”等距离”的两项的二项式系数相等，即 ； · 增减性与最大值： 先增后减， 为偶数时中间一项最大， 为奇数时中间两项相等且最大； · 各二项式系数之和：（令 ）； · 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，都等于 。 求系数和的赋值法：令 得各项系数之和；令 得奇数项系数和与偶数项系数和之差。 例 8　求 的展开式中 的系数。 （三）随机变量及其分布列 1. 离散型随机变量及其分布列 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量。若随机变量 的所有可能取值可以一一列出，则称 为离散型随机变量。 分布列：若 的取值为 ，则称 为 的概率分布列，简称分布列。 性质：① ；② 。 2. 条件概率与全概率公式 条件概率：在事件 发生的条件下事件 发生的概率，记作 ， 乘法公式：。 全概率公式：若 两两互斥，且 为必然事件，则 3. 二项分布与超几何分布 二项分布：在 次独立重复试验中，若每次事件发生的概率都是 ，则事件发生的次数 服从二项分布，记作 ， 超几何分布：从含 件次品的 件产品中任取 件，其中次品数 满足 区别：二项分布是有放回（每次概率相同）的抽取；超几何分布是不放回的抽取。 例 9　若 ，求 。 4. 离散型随机变量的均值与方差 均值（期望）：，反映取值的平均水平。 方差：，反映取值的离散程度。 性质：，。 常见分布的期望与方差： · 两点分布：，； · 二项分布 ：，。 例 10　若 ，求 与 。 5. 正态分布 正态曲线：函数 （）的图象。 正态分布：若随机变量 的密度曲线为正态曲线，则称 服从正态分布，记作 ，其中 为均值、 为标准差。 曲线特征：关于直线 对称；在 处达到最高点； 离 越远，曲线越低； 越大曲线越”矮胖”， 越小曲线越”高瘦”。 对称性与 原则： · ； · ； · ； · 。 例 11　已知 ，利用正态曲线的对称性求 。 （四）成对数据的统计分析 1. 相关关系与回归直线 相关关系：变量间存在不确定性的相互依赖关系。通过散点图可以判断两个变量是否相关：若点散布在从左下角到右上角的区域，则为正相关；若散布在从左上角到右下角的区域，则为负相关。 相关系数：，。 越接近 ，线性相关程度越强。 经验回归方程：，其中 重要结论：回归直线必过样本中心点 。 例 12　已知三组数据 、、，求经验回归方程。 2. 独立性检验 分类变量与列联表：对于两个分类变量 与 ，按是否具有某种属性列出 列联表（如 四个频数）。 卡方统计量： 判断规则（以 为例）：当 时，有 的把握认为两变量有关联；当 时，认为没有充分证据表明有关联。 注意：独立性检验得出的”有关联”是统计意义上的关联，不能说成因果关系。 例 13　对 人调查”性别与是否喜欢数学”，得：男生 人中喜欢 人、不喜欢 人；女生 人中喜欢 人、不喜欢 人。判断是否有 的把握认为”性别与是否喜欢数学有关联”。 （五）典型题型与方法 题型一　抽样与统计图表 方法：分层抽样按比例；数字特征用定义式或化简式；直方图注意”面积即频率”。 例 14　求数据 的平均数与方差。 题型二　古典概型与相互独立性 方法：列举基本事件（列表、树状图）；独立事件用乘法公式，复杂情形用对立事件。 例 15　从 中任取两个数，求两数之和为偶数的概率。 题型三　计数原理与排列组合 方法：分清”分类相加”与”分步相乘”、“排列”与”组合”；特殊元素优先、相邻捆绑、不相邻插空。 例 16　用 四个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？ 题型四　二项式定理 方法：写出通项 ，按字母指数定 ；求系数和用赋值法。 例 17　求 的展开式中 的系数。 题型五　分布列、均值与方差 方法：先列分布列并验证概率和为 ，再用定义式求 、；二项分布直接用公式。 例 18　已知 的分布列为 ，，，求 与 。 题型六　回归分析与独立性检验 方法：回归直线过样本中心点；独立性检验比较 与临界值，且结论不作因果解释。 例 19　若经验回归方程为 ，当 时，预测 的值为多少？ （六）易错警示 1. 分层抽样按比例：抽取比例与总体比例一致，勿平均分配。 1. “面积即频率”：直方图纵轴是 ，不是频率本身。 1. 排列与组合区分：有顺序用排列，无顺序用组合。 1. 二项式系数与项系数：二项式系数是 ，项的系数还含数字因式（含符号）。 1. 分布列概率和为 ：求参数后必须验证。 1. 二项分布条件：每次试验独立且概率相同（有放回）。 1. 独立性检验：只能说”有关联”，不能说”因果”；临界值要对应显著性水平。 1. 回归直线：必过 ， 的符号反映相关方向。 （七）本章小结与口诀 知识主线：统计抽样 计数原理 概率与分布 成对数据的统计分析。 核心口诀： · 抽样：“分层按比例”； · 直方图：“面积即频率”； · 计数：“分类相加，分步相乘”； · 排列组合：“有序排列，无序组合”； · 二项式：“通项定指数，赋值求系数和”； · 分布列：“概率和为 ”； · 期望方差：“二项分布乘 ”； · 相关：“正相关同向，负相关反向”。 三个对照：互斥与独立、排列与组合、正相关与负相关。 （八）巩固练习 A 组　选择题 1. 某厂男工 人、女工 人，用分层抽样抽取 人，则男工抽取的人数为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 从 地到 地有 条路，从 地到 地有 条路，从 地经 地到 地共有（　　）种走法 A. 　B. 　C. 　D. 3. 等于（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 若 ，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 数据 的平均数为 。 6. = 。 7. 的展开式中各二项式系数之和为 。 C 组　解答题 8. 同时掷两枚均匀骰子，求点数之和为 的概率。 9. 求 的展开式中 的系数。 10. 已知 的分布列为 ，，求 与 。 D 组　拓展练习 11. 从 名男生、 名女生中选 人，求至少有 名女生的概率。 12. 若 ，求 。 （九）综合提升训练 1. 求数据 的平均数与方差。 2. 用 三个数字组成无重复数字的三位数，共有多少个？ 3. 若 ，求 与 。 4. 判断：经验回归直线一定经过样本中心点 。 （十）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 分层抽样 各层按比例抽取 频率分布直方图 纵轴为频率除以组距，面积为频率 数字特征 平均数、中位数、众数、方差、标准差 古典概型 有限、等可能；概率等于有利结果比总数 相互独立 概率可乘 加法原理 分类相加 乘法原理 分步相乘 排列数 有顺序，用阶乘比 组合数 无顺序，有对称性质 二项式定理 通项与系数性质 二项分布 期望为 ，方差为 正态分布 关于均值对称， 原则 回归直线 过样本中心点 独立性检验 卡方大于临界值则有关联 （十一）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 某校三个年级人数之比为 ，用分层抽样抽取 人，则人数最多的年级抽取（　　）人 A. 　B. 　C. 　D. 2. 等于（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 抛一枚均匀硬币两次，两次都出现正面的概率是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 若 ，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 数据 的平均数为 。 6. 若 ，则 = 。 7. 的展开式中各二项式系数之和为 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）求 的展开式中 的系数。 9.（13 分）从 名男生、 名女生中选 人，求恰有 名女生的概率。 （十二）补充练习 1. 从 地到 地有 条路，从 地到 地有 条路，从 地经 地到 地共有多少种走法？ 2. 求数据 的平均数与方差。 3. 若 ，求 。 4. 求 的展开式中的常数项。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 10 章　计数原理与概率统计 解　析 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 10 章　计数原理与概率统计（解析） 一、典型例题解析 例 1　某校高一、高二、高三分别有 、、 人，用分层抽样抽取 人，求各年级应抽取的人数。 解析：总体 （人），抽样比为 。故各年级分别抽取 、、 人。 例 2　求数据 的平均数与方差。 解析：；。 例 3　袋中有 个红球、 个白球（仅颜色不同），从中任取 个球，求取到红球的概率。 解析：基本事件总数 ，取到红球 ，故 。 例 4　甲、乙两人独立射击，命中率分别为 、，求两人都命中的概率与至少一人命中的概率。 解析：都命中 ；至少一人命中 。 例 5　从 地到 地有 条路，从 地到 地有 条路，求从 地经 地到 地的走法数。 解析：由分步乘法计数原理，（种）。 例 6　 人排成一排照相，其中甲必须站在最左边，共有多少种排法？ 解析：甲的位置固定，其余 人任意排列，共 （种）。 例 7　从 名同学中选出 人参加活动，共有多少种选法？ 解析：只选人不排序，故 （种）。 例 8　求 的展开式中 的系数。 解析：通项 ，令 得 ，故系数为 。 例 9　若 ，求 。 解析：。 例 10　若 ，求 与 。 解析：；。 例 11　已知 ，利用正态曲线的对称性求 。 解析：曲线关于 对称，故 。 例 12　已知三组数据 、、，求经验回归方程。 解析：，。，，故 ，，即 。 例 13　对 人调查”性别与是否喜欢数学”，得：男生 人中喜欢 人、不喜欢 人；女生 人中喜欢 人、不喜欢 人。判断是否有 的把握认为”性别与是否喜欢数学有关联”。 解析：，，，，。 因 ，故有 的把握认为有关联。 例 14　求数据 的平均数与方差。 解析：，。 例 15　从 中任取两个数，求两数之和为偶数的概率。 解析：基本事件总数 。和为偶数需同为偶数（， 种）或同为奇数（， 种），共 种，故 。 例 16　用 四个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？ 解析：百位不能为 ，有 种选法；十位、个位从剩余 个数字中选 个排列，有 种。共 （个）。 例 17　求 的展开式中 的系数。 解析：，令 得 ，故系数为 。 例 18　已知 的分布列为 ，，，求 与 。 解析：；，。 例 19　若经验回归方程为 ，当 时，预测 的值为多少？ 解析：。 二、巩固练习参考答案与提示 A、B、C 组 1. B（抽样比 ，）。2. B（）。3. B（）。4. B（）。 5. 。6. 。7. 。 8. 基本事件 个，和为 的有 个，故 。 9. 通项 ，令 ，系数为 。 10. ；。 D 组 11. 用对立事件：。 12. 。 三、综合提升训练参考答案与提示 1. ；。 2. 三个数字全排列，共 （个）。 3. ；。 4. 正确。 四、章末综合检测参考答案 1. C（抽样比 ，最多年级 人）。2. B（）。3. C。4. C。 5. 。6. 。7. 。 8. ，令 得 ，系数为 。 9. 。 五、补充练习参考答案与提示 1. （种）。 2. ；。 3. 。 4. 通项 ，令 得 ，常数项为 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $