第08章 空间向量与立体几何 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 08 章　空间向量与立体几何 解　析 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 08 章　空间向量与立体几何（解析） 一、典型例题解析 例 1　求半径为 的球的表面积与体积。 解析：；。 例 2　圆柱底面半径为 ，高为 ，求其体积与侧面积。 解析：；。 例 3　在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 解析：以 为原点建立坐标系（见（三）），，。设所成角为 ，则 故 。 例 4　已知 ，，求 、 与 。 解析：；；。 例 5　在棱长为 的正方体 中，求直线 与平面 所成的角。 解析：取平面 的法向量 ，，则 故线面角 。 例 6　在棱长为 的正方体中，求平面 与平面 所成锐二面角。 解析：以 为原点， 为坐标轴，则 ，，，平面 的方程为 ，法向量 ；平面 的法向量 。则 故二面角为 。 例 7　在棱长为 的正方体中，求点 到平面 的距离。 解析：平面 的方程为 ，法向量 。 到该平面的距离 例 8　圆锥底面半径为 ，高为 ，求其母线长、侧面积与体积。 解析：母线 ；侧面积 ；体积 。 例 9　下列命题正确的是（　　） A. 若直线 平行于平面 内的一条直线，则 ； B. 若直线 平行于平面 ，则 平行于 内的所有直线； C. 若平面 内的两条相交直线都平行于平面 ，则 ； D. 若两条直线平行于同一平面，则这两条直线平行。 解析：A 漏了” 在平面外”；B 中 只与 内某条直线平行；D 两直线可能异面。答案：C。 例 10　在正四面体 中（棱长为 ），求异面直线 与 所成的角。 解析：由正四面体的对称性，其对棱互相垂直，故 ，所成角为 。 例 11　在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 解析：，，，。，。，故 。 例 12　在棱长为 的正方体 中，求点 到平面 的距离。 解析：平面 为 ，法向量 ，： 例 13　在正方体 中，求证 平面 。 解析：（正方形对角线），（ 底面），又 ，故 平面 。 二、巩固练习参考答案与提示 A、B、C 组 1. C（）。2. C。3. B。4. B。 5. 。6. 。7. 。 8. 。 9. 建系得 ，，，故 。 10. ；，，。 D 组 11. 高 ；；。 12. 法向量 ，，，故 。 13. 。 14. 法向量 、，，故为 。 15. 体对角线 ；外接球半径 ，。 16. ，，，故 。 三、综合提升训练参考答案与提示 1. 。 2. 。 3. ，，，：，，，故为 。 4. 平面 过 、、，方程为 ，法向量 ；：。 5. 错。 可能相交或异面。 6. ，，，。 7. 母线 ；；全面积 =。 8. 两法向量 、，，故余弦值为 。 四、章末综合检测参考答案 1. B。2. C（）。3. B。4. C。 5. 。6. 。7. 。 8. 建系得 ，，，故 。 9. 平面 为 ，。 10. 平面 为 ，：。 五、补充练习参考答案与提示 1. 。 2. 。 3. 错。异面直线所成角范围为 ，不会是钝角。 4. 正方体对角线 为外接球直径，，。 5. ，，，。 6. 。 7. ；。 8. ，故单位向量为 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 08 章　空间向量与立体几何 原　卷 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 08 章　空间向量与立体几何（原卷） （一）空间几何体 1. 空间几何体的结构 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 · 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行； · 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形； · 棱台：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。 旋转体：由平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的几何体，如圆柱、圆锥、圆台、球。 2. 三视图与直观图 三视图：正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图。规律：正侧等高、正俯等长、侧俯等宽。 直观图（斜二测画法）： · 在已知图形中取互相垂直的 轴、 轴，画直观图时取为 轴、 轴，两轴交角为 （或 ）； · 平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度变为原来的一半。 3. 表面积与体积 圆柱（底面半径 ，母线 ）：侧面积 ，全面积 ，体积 。 圆锥（底面半径 ，母线 ）：侧面积 ，体积 。 球（半径 ）：表面积 ，体积 。 柱、锥、台体积：，，。 例 1　求半径为 的球的表面积与体积。 例 2　圆柱底面半径为 ，高为 ，求其体积与侧面积。 补充（正方体的常用结论）：棱长为 的正方体，其体对角线长为 ，外接球半径 ，内切球半径 。 （二）点、直线、平面的位置关系 1. 平面的基本性质（基本事实） · 基本事实 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； · 基本事实 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； · 基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； · 推论：两条相交直线、两条平行直线分别确定一个平面。 2. 空间中的平行关系 线面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号表示：，，。 线面平行的性质：，，。 面面平行的判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 面面平行的性质：，，。 3. 空间中的垂直关系 线面垂直的判定：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 线面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 面面垂直的性质：，，，。 三垂线定理（了解）：平面内的一条直线，与平面的一条斜线垂直，当且仅当它与斜线在该平面内的射影垂直。 4. 异面直线所成的角 定义：过空间任一点作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为异面直线所成的角，范围是 。 求法：平移法（作平行线，构造三角形）；向量法（见下）。 例 3　在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 （三）空间向量及其在立体几何中的应用 1. 空间向量的概念与运算 空间向量与平面向量的概念、运算完全类似：加法、减法、数乘、数量积均按分量（或按几何法则）进行。 数量积：。 共面向量定理：向量 与不共线的 共面 存在唯一实数对 ，使 。 2. 空间向量基本定理与坐标表示 空间向量基本定理：若 不共面，则对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 坐标运算：在空间直角坐标系中，设 ，，则 · ； · ； · ； · ； · ； · （坐标成比例）。 例 4　已知 ，，求 、 与 。 3. 用向量法证明平行与垂直 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ： · 线线平行：； · 线面平行：（且直线不在平面内）； · 面面平行：； · 线线垂直：； · 线面垂直：； · 面面垂直：。 示例：在棱长为 的正方体 中，用向量法证明 。 解：建系得 ，。由 得 。 4. 用向量法求空间角 线线角（范围 ）：设两直线方向向量为 ，则 线面角（范围 ）：设直线方向向量为 ，平面法向量为 ，则 二面角（范围 ）：设两半平面的法向量为 ，则 符号由实际图形（二面角是锐角还是钝角）确定。 例 5　在棱长为 的正方体 中，求直线 与平面 所成的角。 例 6　在棱长为 的正方体中，求平面 与平面 所成锐二面角。 5. 用向量法求距离 点到平面的距离：设 为平面 的法向量， 为平面内一点， 为平面外一点，则点 到 的距离 异面直线的距离：先求两直线的公垂向量（与两方向向量都垂直），再用投影公式。 例 7　在棱长为 的正方体中，求点 到平面 的距离。 （四）典型题型与方法 题型一　空间几何体的体积与表面积 方法：牢记柱、锥、台、球的公式；组合体注意”割补”。 例 8　圆锥底面半径为 ，高为 ，求其母线长、侧面积与体积。 题型二　空间位置关系的判断 方法：用判定定理与性质定理，注意”平面内”与”相交”等条件。 例 9　下列命题正确的是（　　） A. 若直线 平行于平面 内的一条直线，则 ； B. 若直线 平行于平面 ，则 平行于 内的所有直线； C. 若平面 内的两条相交直线都平行于平面 ，则 ； D. 若两条直线平行于同一平面，则这两条直线平行。 题型三　空间角（几何法） 方法：平移作角，构造三角形，用余弦定理求解。 例 10　在正四面体 中（棱长为 ），求异面直线 与 所成的角。 题型四　空间角（向量法） 方法：建系 求向量坐标 代入夹角公式。 例 11　在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 题型五　空间距离 方法：点到平面用投影公式 。 例 12　在棱长为 的正方体 中，求点 到平面 的距离。 题型六　立体几何综合问题 方法：先证位置关系，再求角或距离；注意辅助线的合理添加。 例 13　在正方体 中，求证 平面 。 （五）易错警示 1. 判定定理条件缺失：如线面平行需”平面外”、面面平行需”两条相交直线”、线面垂直需”两条相交直线”。 1. “平行”与”异面”混淆：空间中不重合的两直线可能平行、相交或异面。 1. 线面角的范围：线面角范围为 ，余弦值不会为负。 1. 二面角与法向量夹角：二面角等于法向量夹角或其补角，需结合图形判断。 1. 向量夹角公式用绝对值：线线角、线面角公式中要用绝对值，二面角则需辨明方向。 1. 建系不易：应选择两两垂直且便于求坐标的三条直线作坐标轴。 （六）本章小结与口诀 知识主线：空间几何体 点线面位置关系 空间向量及其应用。 核心口诀： · 三视图：“正侧等高、正俯等长、侧俯等宽”； · 平行判定：“线线平行推线面，线面平行推面面”； · 垂直判定：“线线垂直推线面，线面垂直推面面”； · 向量求角：“线线用余弦，线面用正弦，二面角看符号”； · 点面距离：“法向量投影”。 三大向量工具：方向向量、法向量、公垂向量。 （七）巩固练习 A 组　选择题 1. 半径为 的球的表面积为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 若直线 垂直于平面 内的两条相交直线，则（　　） A. 　B. 　C. 　D. 无法判断 3. 已知 ，，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 异面直线所成角的范围是（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 圆柱底面半径为 ，高为 ，其体积为 。 6. 已知 ，则 = 。 7. 在棱长为 的正方体中，平面 的法向量可取 = 。 C 组　解答题 8. 求半径为 的球的体积。 9. 在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 10. 已知 ，，求 及 与 夹角的余弦值。 D 组　拓展练习 11. 圆锥底面半径为 ，母线为 ，求其侧面积与体积。 12. 在棱长为 的正方体中，求直线 与平面 所成的角。 13. 求点 到平面 的距离。 14. 在棱长为 的正方体中，求平面 与平面 所成锐二面角。 15. 求棱长为 的正方体的体对角线长与外接球表面积。 16. 在棱长为 的正方体中，求异面直线 与 所成的角。 （八）综合提升训练 1. 求底面半径为 、母线为 的圆锥的全面积。 2. 已知 ，求 。 3. 在棱长为 的正方体中，求异面直线 与 所成的角。 4. 在棱长为 的正方体中，求点 到平面 的距离。 5. 判断：若 ，，则 。 6. 已知 ，，求 与 夹角的余弦值。 7. 求底面半径为 、高为 的圆锥的体积与全面积。 8. 在棱长为 的正方体中，求二面角 的余弦值。 （九）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 三视图 正侧等高、正俯等长、侧俯等宽 斜二测 平行于 轴的线段长度减半 球的表面积 球的体积 三分之四乘 乘半径立方 锥体体积 柱体体积的三分之一 线面平行判定 平面外直线平行于平面内直线 面面平行判定 两相交直线分别平行 线面垂直判定 垂直于平面内两相交直线 面面垂直判定 一个平面过另一平面的垂线 线线角公式 方向向量点积绝对值比模积，取反余弦 线面角公式 方向向量与法向量点积绝对值比模积，取反正弦 二面角公式 两法向量夹角或其补角 点面距离 向量在法向量上的投影绝对值 （十）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 半径为 的球的体积为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 已知 ，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 若 （ 非零），则（　　） A. 　B. 　C. 　D. 无法判断 4. 若直线 ， 满足 ，，则 与 的位置关系是（　　） A. 平行　B. 异面　C. 平行或异面　D. 相交 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 圆柱底面半径为 、高为 的体积为 。 6. 已知 ，则 = 。 7. 点 到平面 的距离为 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）在棱长为 的正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 9.（13 分）在棱长为 的正方体中，求点 到平面 的距离。 10.（10 分）在棱长为 的正方体中，求点 到平面 的距离。 （十一）补充练习 1. 求底面半径为 、高为 的圆锥的母线长。 2. 已知 ，，求 。 3. 判断：两条异面直线所成的角可以是钝角。 4. 在棱长为 的正方体中，求其外接球的表面积。 5. 已知 ，，求 与 夹角的余弦值。 6. 求点 到平面 的距离。 7. 求半径为 的球的体积与表面积。 8. 已知 ，求与 平行的单位向量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $