第09章 平面解析几何 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 09 章　平面解析几何 解　析 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 09 章　平面解析几何（解析） 一、典型例题解析 例 1　求过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 解析：；由 且 得倾斜角 。 例 2　求过点 且斜率为 的直线方程。 解析：由点斜式 ，即 。 例 3　求点 到直线 的距离。 解析：。 例 4　判断直线 与 的位置关系。 解析：，故 。 例 5　求以 为圆心、半径为 的圆的方程。 解析：所求圆的方程为 。 例 6　求圆 的圆心与半径。 解析：，，，故圆心为 ，半径 。 例 7　判断直线 与圆 的位置关系，并求弦长。 解析：圆心 到直线的距离 ，故相交；弦长 =。 例 8　已知椭圆 ，求 、焦点坐标与离心率。 解析：，，；焦点为 ，离心率 。 例 9　已知双曲线 ，求 、离心率与渐近线方程。 解析：，，，，渐近线为 。 例 10　已知抛物线 ，求焦点坐标与准线方程。 解析：，，焦点为 ，准线为 。 例 11　已知直线 与抛物线 交于 两点，求弦长 。 解析：联立得 ，即 ，，，。由 得 。 例 12　已知椭圆 的一条弦的中点为 ，求该弦所在直线的斜率。 解析：设弦端点为 、，代入并作差： 由中点 得 ，，代入得 ，故斜率 。 例 13　求过点 且与直线 平行的直线方程。 解析：已知直线斜率为 ，故所求直线 ，即 。 例 14　求点 到直线 的距离。 解析：。 例 15　若直线 与圆 相切，求 。 解析：圆心 到直线的距离 ，故 。 例 16　求椭圆 的离心率。 解析：，，，。 例 17　若直线 与抛物线 相切，求 。 解析：代入得 ，即 。相切 ，即 ，解得 。 例 18　已知双曲线 ，求其渐近线方程与离心率。 解析：，，渐近线 ；，。 二、巩固练习参考答案与提示 A、B、C 组 1. B。2. A。3. A（）。4. B。 5. 。6. 。7. 。 8. 已知直线斜率为 ，故所求斜率为 ，，即 。 9. ，，圆心 ，半径 。 10. ，，，。 D 组 11. ，，准线 。 12. ，，，。 13. 圆心到直线距离 ，弦长 =。 14. ，，，，焦点 。 三、综合提升训练参考答案与提示 1. 斜率 ，，即 。 2. ，，焦点 。 3. ，，。 4. ，，渐近线 。 5. 圆心到直线距离 ，最短距离 =。 6. 代入得 ，即 ，方程有两个不同实根，故交点个数为 。 四、章末综合检测参考答案 1. B。2. A。3. C（）。4. B。 5. 。6. 。7. 。 8. ，，，圆心 ，半径 。 9. 圆心到直线距离 ，故 ，。 五、补充练习参考答案与提示 1. 斜率 ，，即 。 2. ，，准线 。 3. ，，，焦点 。 4. ，，，。 5. 。 6. 圆心 ，距离 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 09 章　平面解析几何 原　卷 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 第 09 章　平面解析几何（原卷） （一）直线的方程 1. 直线的倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上的方向与 轴正方向所成的角，记作 ，范围是 。 斜率：（）。过两点 、（）的斜率 例 1　求过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 2. 直线方程的几种形式 · 点斜式：（已知一点与斜率）； · 斜截式：（ 为斜率， 为纵截距）； · 两点式：（，）； · 截距式：（ 分别为横、纵截距，均不为 ）； · 一般式：（ 不同时为 ）。 例 2　求过点 且斜率为 的直线方程。 3. 两直线的位置关系与距离公式 · 平行： 且 （一般式：）； · 垂直：（一般式：）； · 两点间距离：； · 点到直线的距离：点 到 的距离 ； · 两平行线间距离：。 例 3　求点 到直线 的距离。 例 4　判断直线 与 的位置关系。 （二）圆的方程 1. 圆的方程 · 标准式：，圆心 ，半径 ； · 一般式：（），圆心 ，半径 。 例 5　求以 为圆心、半径为 的圆的方程。 例 6　求圆 的圆心与半径。 2. 点与圆、直线与圆的位置关系 点与圆：比较点到圆心的距离 与半径 （ 在圆内， 在圆上， 在圆外）。 直线与圆：设圆心到直线的距离为 ， · 相离； · 相切； · 相交（此时弦长 =）。 例 7　判断直线 与圆 的位置关系，并求弦长。 3. 圆与圆的位置关系 设两圆半径为 （），圆心距为 ： · ：外离； · ：外切； · ：相交； · ：内切； · ：内含。 （三）圆锥曲线 1. 椭圆 定义：平面内到两定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程：（焦点在 轴）或 （焦点在 轴），其中 ，且 。 性质：焦点 ，顶点 、，离心率 。 例 8　已知椭圆 ，求 、焦点坐标与离心率。 2. 双曲线 定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程：（焦点在 轴），其中 。 性质：焦点 ，顶点 ，离心率 ，渐近线 。 例 9　已知双曲线 ，求 、离心率与渐近线方程。 3. 抛物线 定义：平面内到定点 与到定直线 的距离相等的点的轨迹。 标准方程：（，焦点在 轴正半轴）。 性质：焦点 ，准线 ；抛物线上一点 的焦半径 =；通径长为 。 例 10　已知抛物线 ，求焦点坐标与准线方程。 4. 直线与圆锥曲线的位置关系 基本方法：联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程，用判别式 判断交点个数。 弦长公式：设直线斜率为 ，与曲线交于 、，则 中点弦（点差法）：设弦两端点坐标，代入曲线方程作差，结合中点坐标求斜率。 例 11　已知直线 与抛物线 交于 两点，求弦长 。 例 12　已知椭圆 的一条弦的中点为 ，求该弦所在直线的斜率。 （四）典型题型与方法 题型一　直线的方程与位置关系 方法：由两点或一点一斜率求方程；用斜率判断平行、垂直。 例 13　求过点 且与直线 平行的直线方程。 题型二　距离公式的应用 方法：点到直线、平行线间距离公式。 例 14　求点 到直线 的距离。 题型三　圆的方程与位置关系 方法：配方法化一般式为标准式；用 与 判断位置关系。 例 15　若直线 与圆 相切，求 。 题型四　圆锥曲线的标准方程与性质 方法：抓住 （及 ）的关系求解。 例 16　求椭圆 的离心率。 题型五　直线与圆锥曲线的位置关系 方法：联立消元，判别式定交点；弦长公式、点差法。 例 17　若直线 与抛物线 相切，求 。 题型六　离心率与最值 方法：由 关系求离心率；最值问题转化到距离或函数。 例 18　已知双曲线 ，求其渐近线方程与离心率。 （五）易错警示 1. 斜率不存在：竖直直线的斜率不存在，需单独讨论。 1. 直线方程形式限制：点斜式、两点式、截距式都有适用条件，注意特例。 1. 判断位置关系遗漏 ：直线与圆相切是”临界”情形。 1. 椭圆与双曲线的 关系不同：椭圆 ，双曲线 。 1. 离心率范围：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 。 1. 弦长公式：焦半径与弦长公式易混，注意斜率是否存在。 （六）本章小结与口诀 知识主线：直线 圆 圆锥曲线 直线与曲线的位置关系。 核心口诀： · 斜率：“两点纵差比横差”； · 平行垂直：“平行等高，垂直负倒数”； · 点到直线距离：“代值绝对值比根号”； · 椭圆：“和定长，”； · 双曲线：“差定长，”； · 抛物线：“到焦点到准线等距”； · 弦长：“根号下一加斜率平方乘横坐标差”。 （七）巩固练习 A 组　选择题 1. 过点 、 的直线的斜率是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 直线 与 的位置关系是（　　） A. 平行　B. 垂直　C. 相交但不垂直　D. 重合 3. 点 到直线 的距离是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 圆 的半径是（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 若直线 过点 ，则 = 。 6. 椭圆 的焦点坐标为 。 7. 抛物线 的焦点坐标为 。 C 组　解答题 8. 求过点 且与直线 垂直的直线方程。 9. 求圆 的圆心与半径。 10. 求椭圆 的离心率。 D 组　拓展练习 11. 求抛物线 的准线方程。 12. 求双曲线 的离心率。 13. 求直线 被圆 截得的弦长。 14. 求椭圆 的焦点坐标。 （八）综合提升训练 1. 求过两点 、 的直线方程。 2. 求抛物线 的焦点坐标。 3. 求椭圆 的离心率。 4. 求双曲线 的渐近线方程。 5. 求圆 上的点到直线 的最短距离。 6. 求直线 与椭圆 的交点个数。 （九）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 斜率公式 两点纵坐标差除以横坐标差 倾斜角范围 直线方程 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 平行条件 斜率相等且截距不等 垂直条件 斜率之积为 点到直线距离 代值取绝对值除以根号下系数平方和 圆的方程 标准式与一般式 直线与圆 比较圆心到直线距离与半径 椭圆 ， 双曲线 ，，有渐近线 抛物线 到焦点与准线等距 弦长公式 根号下一加斜率平方乘横坐标差绝对值 （十）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 直线 的斜率是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 圆 的半径是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 椭圆 的离心率是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 抛物线 的焦点坐标是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 过点 、 的直线方程是 。 6. 双曲线 的渐近线方程是 。 7. 点 到直线 的距离是 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）求圆 的圆心与半径。 9.（13 分）若直线 与圆 相切，求 的值。 （十一）补充练习 1. 求过点 且平行于直线 的直线方程。 2. 求抛物线 的准线方程。 3. 求椭圆 的焦点坐标。 4. 求双曲线 的离心率。 5. 求点 到直线 的距离。 6. 求圆 的圆心到直线 的距离。 1 学科网（北京）股份有限公司 $