精品解析：陕西榆阳区余兴庄乡中学2026-2027学年上学期九年级数学第一阶段素养达标测试

2026秋季九年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十六章第26.3完，P1~P50） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （2，5） B. （﹣2，5） C. （﹣2，﹣5） D. （2，﹣5） 3. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线（c为常数）的顶点在x轴上，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（ ） A. 函数图象的对称轴是直线 B. 当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C. 函数图象一定经过点 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 方程的解是_________． 10. 若抛物线（m为常数）的开口向下，则m的取值范围是___________． 11. 设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 12. 已知抛物线经过点，，则______（填“>”“<”或“=”）． 13. 已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程的解，则这个三角形的周长是_________． 14. 二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 17. 已知抛物线的顶点A在直线上，求h的值． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 19. 已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）试判断点是否在该二次函数的图象上． 20. 如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）若点也在这个二次函数的图象上，求的值． 22. 已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 23. 关于x的一元二次方程（）的两个实数根分别是、，若该一元二次方程的两个实数根满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）在方程①；②中，是“差根方程”的是_________（填序号）； （2）已知是关于x的一元二次方程的一个根，且该方程为“差根方程”，求a的值． 24. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 25. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长39米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域（美术作品与科技作品展览区之间用绳子隔开），墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计，靠墙的一面不用绳子） （1）当时，所围成的展览区总面积为126平方米，求的长； （2）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 26. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，求A，B两点的坐标； （2）如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季九年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十六章第26.3完，P1~P50） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （2，5） B. （﹣2，5） C. （﹣2，﹣5） D. （2，﹣5） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐． 【详解】∵抛物线y=﹣(x+2)2+5， ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣2，5)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以直接写出顶点坐标． 3. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， 故选：A． 4. 将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行解析式的变换即可得到答案． 【详解】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是， 故选；D． 5. 抛物线（c为常数）的顶点在x轴上，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线顶点在x轴上可知顶点纵坐标为0，将解析式配方为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点的纵坐标为0， 即，解得． 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 7. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 8. 关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（ ） A. 函数图象的对称轴是直线 B. 当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C. 函数图象一定经过点 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，可优先判断涉及增减性的选项，再验证其余选项． 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若抛物线（m为常数）的开口向下，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向下，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 此时，故符合题意． 12. 已知抛物线经过点，，则______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】确定抛物线开口方向和对称轴，比较两个点到对称轴的距离，开口向上时，点到对称轴距离越大，对应函数值越大． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线 点到对称轴直线的距离为， 点到对称轴直线的距离为 ∵ 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 且， ∴． 13. 已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程的解，则这个三角形的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解一元二次方程，根据三角形三边关系得出第三边长的取值范围，再求出一元二次方程的解并分析判断，最后结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和4， 第三边长的取值范围为：第三边， 第三边长是一元二次方程的解， 且 解得（不合题意，舍去），， 第三边长是， 则这个三角形的周长是． 故答案为：． 14. 二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：整理得， ∴， ∴， ∴，． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．把代入一元二次方程即可求得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ，解得． 17. 已知抛物线的顶点A在直线上，求h的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式求出顶点坐标，然后代入直线解析式计算求出的值，即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为， ， ∴. ∵点A在直线上， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象的坐标特征，即可求出的值． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 19. 已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）试判断点是否在该二次函数的图象上． 【答案】（1） （2）点不在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵（为常数）是二次函数， ∴，且， 解得或， 又∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 20. 如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 【答案】每个小矩形的长为 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，设小矩形的长为x，根据图形，列出方程求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为x， 根据题意，得， 解得：，（舍） 答：每个小矩形的长为． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）若点也在这个二次函数的图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接把点代入，即可求解； （2）把点代入（1）求得的解析式即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数解析式为． ∵点也在这个二次函数的图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解本题的关键是确定出抛物线的解析式． 22. 已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 23. 关于x的一元二次方程（）的两个实数根分别是、，若该一元二次方程的两个实数根满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）在方程①；②中，是“差根方程”的是_________（填序号）； （2）已知是关于x的一元二次方程的一个根，且该方程为“差根方程”，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，根与系数的关系，正确理解“差根方程”的定义是解题的关键， （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）先由为的解，求出值，再根据是“差根方程”，且得到，进而即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知： ， ， 方程不是差根方程； ②由题意知：，， ， 方程是差根方程， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， ， 因式分解得， 解得， 关于的方程是“差根方程”， ， ，即． 24. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】（1） （2）离点远 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​二次函数的性质与实际应用​​，​​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【小问1详解】 当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． 【小问2详解】 将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 25. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长39米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域（美术作品与科技作品展览区之间用绳子隔开），墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计，靠墙的一面不用绳子） （1）当时，所围成的展览区总面积为126平方米，求的长； （2）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 【答案】（1）的长为； （2）解：不能，理由如下： 设边的长为t米，则边的长为米， 由题意可得方程， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的展览区． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解，再检验，进而求得的长即可； （2）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：设边的长为x米，则边的长为米， 根据题意得， ， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 的长为； 【小问2详解】 略 26. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，求A，B两点的坐标； （2）如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，求出直线的解析式及抛物线的对称轴，进而计算即可； （3）过E点作轴交BC于点M，设点E的坐标为，根据的面积是的面积的一半列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 【小问2详解】 解：存在点D，如图2，连接交直线l于点D，连接， ∵点A与点B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，此时点D即为与直线l的交点， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得， ∴． 抛物线的对称轴为直线，将代入得， ∴点D的坐标为． 【小问3详解】 解：由（2）知，直线的解析式为，如图3，过E点作轴交于点M， 设点E的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴的面积，的面积， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 解得或（舍）， ∴点E的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $