精品解析：陕西省榆林市榆阳区小纪汗乡中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷

2025－2026学年第一学期阶段性学业检测二九年级数学人教版 （九上全册） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 满足方程的的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 点在第二象限，点和点关于原点对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 关于抛物线的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 有最大值，最大值为12 D. 与轴有两个交点 4. 在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 抽到的牌的数字为5 B. 抽到的牌的花色为黑桃 C. 抽到的牌是大王或小王 D. 抽到的牌是J或Q或K 6. 将正六边形绕着它的中心旋转能和它本身重合，则不能取（ ） A. B. C. D. 7. 某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在抛物线上，则关于的大小关系，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 条件不足无法判断 9. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 观察下列一组数：1，4，9，16，25，第个数记作，若，则的值为……（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分、共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若关于的方程的一个根为，则另一个根为______． 14. 若开口向上的抛物线的开口比抛物线的开口小，则的值可以是______（写出一个满足条件的值即可）． 15. 一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 16. 如图，正五边形的内切圆，分别与边，，相切于点，则的度数是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 抛物线与坐标轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，随的增大而减小，求的取值范围． 19. 在一个不透明的箱子里，装有除数字外完全相同的4个小球，球上的数字分别是1，2，3，4． （1）随机摸出一个小球，求摸到小球上的数字是偶数的概率； （2）先摸出一个小球，将摸到的数字记作，把这个小球放回到箱子里再摸出一个小球，将摸到的数字记作，求两次摸出的小球上的数字满足方程的概率，请用树状图或列表法解答． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，三点的坐标分别为：． （1）以点为旋转中心，将沿着顺时针方向旋转90°得到，画出，并写出三点的坐标； （2）以原点为圆心，长为半径，当点六个点中恰好有三个点在的内部时，直接写出的取值范围． 21. 某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 22. 图2是某不倒翁（图1）静止时的截面示意图．其中，点是所在圆的圆心，点是的中点，，，三点共线，平行于地面，，是的切线，，． （1）求证：为等边三角形； （2）求不倒翁整个截面的面积； （3）如图3，在不倒翁的左右摇摆过程中，始终保持三点共线，当不倒翁向左摇摆（）时，直接写出点到地面的高度． 23. 如图，在中，，点为边上一动点（不与重合），为的中线，以点为旋转中心，将线段沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的最小值； （4）当的面积占四边形面积的时，直接写出的长度． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点； （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求所在直线的解析式； （3）点为抛物线上一动点，且在第二象限； ①点为轴上一点，构造四边形，当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②如图2，过点作轴交线段于点，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期阶段性学业检测二九年级数学人教版 （九上全册） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 满足方程的的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解二次方程，直接求解得到根，并验证选项． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴或， ∴或． 故选：A． 2. 点在第二象限，点和点关于原点对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：∵点A在第二象限，点和点关于原点对称， ∴点在第四象限 故选：D． 3. 关于抛物线的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 有最大值，最大值为12 D. 与轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，通过二次函数的一般性质，判断开口方向、对称轴、最值和与x轴的交点情况即可． 【详解】∵ 抛物线为 ， ∴ ， ， ． 对于 A：∵ ， ∴抛物线的开口向下．正确． 对于 B：对称轴 ，不是 ，错误． 对于 C：当 时，，且 ， ∴ 有最大值 12．正确． 对于 D：判别式 ， ∴ 与轴有两个交点．正确． ∴ 说法错误的是 B． 4. 在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 5. 一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 抽到的牌的数字为5 B. 抽到的牌的花色为黑桃 C. 抽到的牌是大王或小王 D. 抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 6. 将正六边形绕着它的中心旋转能和它本身重合，则不能取（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的性质；正六边形具有旋转对称性，其最小旋转角为，因此旋转角必须是的整数倍才能与自身重合． 【详解】解：正六边形的中心旋转对称角为， 必须是的整数倍（如、、等）才能重合． 选项（）不是的整数倍， 不能取． 故选：A． 7. 某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次打折后的售价为元，则第二次打折后的售价为元，据此列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 8. 若点都在抛物线上，则关于的大小关系，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 条件不足无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将，分别代入，求出，的值比较即可． 【详解】将，分别代入，得 ，， ∴． 故选C． 9. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， 故选：A． 10. 如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，等边对等角．根据三角形外心的性质，圆周角定理求得，，据此求解即可判断． 【详解】解：∵点是的外心，如图， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 不能证明， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 11. 观察下列一组数：1，4，9，16，25，第个数记作，若，则的值为……（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律（平方数规律）及完全平方公式，解题关键是先确定第个数，再根据方程求解． 观察数列可知，该组数为平方数列，即 ，根据条件 列出方程求解即可． 【详解】∵ ，， ∴ ， 即 ， ， ， ， ， ∴ 或 （舍去）， 故选D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分、共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若关于的方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积为8，已知一个根为，可求另一个根． 【详解】解：由题意得，即， 解得， 故答案为：． 14. 若开口向上的抛物线的开口比抛物线的开口小，则的值可以是______（写出一个满足条件的值即可）． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口大小由决定：越大，开口越小；越小，开口越大． 根据已知的开口向上且，要求开口向上且开口更小，则需且，即． 【详解】解：要使开口向上且开口更小，需满足且，即． 因此a可取任意大于2的数，例如3． 故答案为：3（答案不唯一，满足即可）． 15. 一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 16. 如图，正五边形的内切圆，分别与边，，相切于点，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 ， ， 解得，． 18. 抛物线与坐标轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解与性质应用，解题的关键是利用待定系数法求解析式，并结合二次函数的对称轴与开口方向分析单调性． （1）将已知点代入抛物线解析式，通过待定系数法求出、、的值，得到函数表达式． （2）先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据单调性确定的取值范围． 【小问1详解】 解：已知抛物线过点、、，利用待定系数法： 把代入解析式，得，即． 把和代入解析式，结合， 可得： 解得： 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由解析式，得，， 对称轴为： ，抛物线开口向下， 在对称轴右侧（即时），随的增大而减小． 若时随的增大而减小，则的取值范围是． 的取值范围是． 19. 在一个不透明的箱子里，装有除数字外完全相同的4个小球，球上的数字分别是1，2，3，4． （1）随机摸出一个小球，求摸到小球上的数字是偶数的概率； （2）先摸出一个小球，将摸到的数字记作，把这个小球放回到箱子里再摸出一个小球，将摸到的数字记作，求两次摸出的小球上的数字满足方程的概率，请用树状图或列表法解答． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，概率公式． （1）确定任意摸取一球所有的情况数，摸到小球上的数字是偶数的情况占总情况数的多少即可得； （2）画出树状图，看两个小球所标数字的和满足方程的情况有多少即可． 【小问1详解】 解：任意摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中摸到小球上的数字是偶数的有2种， ∴摸到小球上的数字是偶数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球所标数字满足方程的结果有3种， ∴摸到的这两个小球所标数字满足方程的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，三点的坐标分别为：． （1）以点为旋转中心，将沿着顺时针方向旋转90°得到，画出，并写出三点的坐标； （2）以原点为圆心，长为半径，当点六个点中恰好有三个点在的内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 如图，即为所求；由图可知：； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，进而写出三点的坐标即可； （2）求出圆心到各点的距离，根据点与圆的位置关系，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ， ∵点六个点中恰好有三个点在的内部， ∴． 21. 某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 【答案】 30克 【解析】 【分析】本题考查溶液浓度问题，解题的关键在于根据每次倒出盐水并加入清水后溶液浓度的变化规律来建立方程求解． 设每次倒出盐水质量为克，根据两次操作后剩余盐的质量关系列出方程，解二次方程并舍去不合理根． 【详解】解：初始盐的质量为克， 第一次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， 第二次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， ，可得， ， 或， ∵，∴， 答：每次倒出盐水的质量为30克． 22. 图2是某不倒翁（图1）静止时的截面示意图．其中，点是所在圆的圆心，点是的中点，，，三点共线，平行于地面，，是的切线，，． （1）求证：为等边三角形； （2）求不倒翁整个截面的面积； （3）如图3，在不倒翁的左右摇摆过程中，始终保持三点共线，当不倒翁向左摇摆（）时，直接写出点到地面的高度． 【答案】（1） 证明：∵，是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，再证明，得到，再根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用三角函数的知识求出的长，利用三角形的面积公式得到，再利用扇形的面积公式求出，再根据割补法即可求解； （3）根据平角的定义得到，得到，得到，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不倒翁整个截面的面积； 【小问3详解】 解：由（2）得，，， ∴，， ∵三点共线， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 由题意得，垂直于地面， ∴垂直于地面， ∴点到地面的高度为． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定、解直角三角形、扇形的面积，理解题意是解题的关键． 23. 如图，在中，，点为边上一动点（不与重合），为的中线，以点为旋转中心，将线段沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的最小值； （4）当的面积占四边形面积的时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：，，为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴在和中， ， ∴； （3）3 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程，熟练解答本题的关键． （1）由勾股定理求出，为的中线，可得； （2）分别证明，，运用证明即可； （3）当时，最小，此时最小．由勾股定理得，从而得的最小值为3； （4）分别求出的面积和四边形面积，根据的面积占四边形面积的列方程，求解方程可得结论． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵为的中线， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，最小，此时最小． 在中，，，是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为3； 【小问4详解】 解：∵是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 而 ∵, ∴, ∵的面积占四边形面积的，即， ∴, ∴， 过点作于点，如图， 则有， ∴， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点； （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求所在直线的解析式； （3）点为抛物线上一动点，且在第二象限； ①点为轴上一点，构造四边形，当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②如图2，过点作轴交线段于点，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）直线的解析式为； （3）①点的坐标为；②的最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式求解、一次函数的解析式求解和二次函数综合应用，准确分析计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （1）根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①根据平行四边形的性质求得，得到，据此求解即可； ②设，则，表示出的长，再利用二次函数的性质求出即可． 【小问1详解】 解：将，代入中， 得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：①四边形为平行四边形， ∴，即轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标都等于3， 当时， ∴， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，即点的坐标为； ②∵轴交线段于点， ∴设，则，∴， ∵， ∴当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $