精品解析：陕西汉阴县蒲溪初级中学2025-2026学年度第一学期素养诊断（一）九年级数学

2025-2026学年度第一学期素养诊断（一） 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（ ） A. 该函数图象的对称轴在y轴左侧 B. 当x＜0时，y随x的增大而减小 C. 函数图象开口朝下 D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 5. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______． 10. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为______． 11. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是_______________． 12. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．则a的值为 _____． 13. 若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 14. 如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论：；；；．所有正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（共8小题，计58分．解答应写出过程） 15. 已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 16. 已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 17. 已知二次函数（b，c为常数）． （1）若，求证：二次函数的图象和轴有两个交点； （2）若，且二次函数的图象经过点，求该函数的顶点坐标． 18. 现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 19. 已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧． （1）当抛物线经过点（3，8），求a的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式． 20. 抛物线y=与y轴交于（0,3）点. （1）求出m的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （2）根据图像回答下列问题： ①方程的根是多少？ ②x取什么值时， ？ 21. 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为． （1）求关于的函数表达式． （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 22. 如图，抛物线经过三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期素养诊断（一） 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线，求出的值即可． 【详解】解：， 对称轴为直线， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为可直接求解． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为． 故选：A． 3. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 4. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（ ） A. 该函数图象的对称轴在y轴左侧 B. 当x＜0时，y随x的增大而减小 C. 函数图象开口朝下 D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】解：A、y＝x2＋2x＋3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意； B、因y＝x2＋2x＋3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意； C、a＝＞0，开口向上，故C不符合题意； D、x＝0时y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟练运用二次函数的相关性质准确判断． 5. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案． 【详解】解：关于的二次函数的图像过原点， 将坐标代入可得，且二次函数定义知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键． 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到的． 【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-2） 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键． 7. 已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的关系，结合的取值范围推导的范围， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，是函数图象与轴的交点， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴ ∵， ∴， ∴． 8. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解． 【详解】根据题意可设该抛物线解析式为， 将点(2，8)代入，即得， 解得：， 故该抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，写出二次函数的顶点坐标是解题的关键．先写出抛物线的顶点坐标，再根据已知条件列出关于的方程式即可求得答案． 【详解】解：， ， 抛物线的顶点在轴， ， ． 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；确定二次函数图象的对称轴为直线，分两种情况，当及，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， 当时，由，则； 当时，点P关于对称轴的对称点为， 由，则； 综上，或． 故答案为：或． 12. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．则a的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据解析式，得到该抛物线与x轴的交点坐标是和，利用抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】解：由二次函数（a为常数），该抛物线与x轴的交点坐标是和， ∵和关于对称轴对称，对称轴为直线， ∴． 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点问题．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键． 13. 若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】两条抛物线关于直线对称，则上任意点关于直线的对称点都在上，利用对称点的坐标关系得到等式，对应系数相等求出和，即可得到的值． 【详解】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上， ∴， 展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，， 解得，， ∴． 14. 如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论：；；；．所有正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置和与轴交点情况即可判断、、的符号，从而判断；根据对称轴是直线即可判断；根据抛物线与轴的交点情况即可判断；当时，根据图象即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，故正确； 当时，， ∴，故正确； 综上可得：正确． 三、解答题（共8小题，计58分．解答应写出过程） 15. 已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点和代入， 得，解得， 抛物线的解析式为． 16. 已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】（1） （2）将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 17. 已知二次函数（b，c为常数）． （1）若，求证：二次函数的图象和轴有两个交点； （2）若，且二次函数的图象经过点，求该函数的顶点坐标． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 二次函数的图象和轴有两个交点． （2） 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为． 18. 现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】（1）（且为整数） （2）每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 （3）根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【解析】 【分析】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； 【小问2详解】 解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧． （1）当抛物线经过点（3，8），求a的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】（1）a＝2；（2）A（2，0），B（﹣1，0）；（3）抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8． 【解析】 【分析】（1）将点（3，8）代入已知函数解析式，列出关于a的方程8＝a（9﹣3﹣2），通过解该方程求得a的值； （2）根据二次函数与一元二次方程的关系可以得到：a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，由此求得点A、B的横坐标； （3）利用（2）中点A、B的坐标求得AB＝3，结合顶点坐标公式求得a的值． 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），∴8＝a（9﹣3﹣2），∴a＝2； （2）∵方程a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0）； （3）∵抛物线，∴顶点M的坐标为（）． ∵A（2，0），B（﹣1，0），∴AB＝3，由题意得：，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识点，解答（3）题时需要注意a的取值应该有两个． 20. 抛物线y=与y轴交于（0,3）点. （1）求出m的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （2）根据图像回答下列问题： ①方程的根是多少？ ②x取什么值时， ？ 【答案】（1）m="3" （2）①② 【解析】 【详解】试题分析：（1）把已知点代入函数的解析式可求m的值，然后根据解析式可列表，描点，连线，完成画图； （2）①根据图像中与x轴的交点可以直接写出方程的解；②再根据图像可直接找到y＞0的所有的x的取值范围. 试题解析：（1）∵ 与y轴交于点（0,3） ∴ ∴抛物线的表达式为：. ∴顶点（1,4）， 列表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线可得如图所示抛物线. （2）①由图象可知，抛物线与x轴交点为（-1,0），（3,0）， ∴方程的解为. ②由图象可知， 考点：二次函数的图像与性质 21. 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为． （1）求关于的函数表达式． （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 【答案】（1）关于的函数表达式为 （2）射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把代入解析式求出m即可． 【小问1详解】 解：水柱的最大高度为， ． 由题意，可知水柱过原点，将代入，得，解得． 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设射水鱼水平向右游动能击中昆虫． 游动后的抛物线表达式为．把代入，得，解得或． 射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫． 22. 如图，抛物线经过三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的点P，此时点P的坐标为或；（3）存在这样的点，坐标为． 【解析】 【分析】（1）先根据点A、B坐标设抛物线的交点式，再将点C的坐标代入求解即可； （2）先根据三点的坐标求出的面积，再根据抛物线的解析式设点P的坐标，然后根据建立等式，求解即可得； （3）根据平行四边形的定义分和两种情况求解即可． 【详解】（1）由可设抛物线的解析式为 将点代入得，解得 则抛物线的解析式为 故抛物线的解析式为； （2）存在，求解过程如下： 由可得 ，是等腰直角三角形，即 如图，过点P作，交AC于点E，则是等腰直角三角形 设点P的坐标为，由题意得 则 则，解得或 当时，，则点P的坐标为 当时，，则点P的坐标为 综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为或； （3）存在，求解过程如下： 由平行四边形的定义分以下2种情况： ①当时，显然点与的纵坐标相等 则点与关于对称轴对称 ，，即， ②当时，显然点到轴的距离等于点C到轴的距离，即等于3 设 当时，，则点Q的坐标为 当时，，则点Q的坐标为 综上，存在这样的点，坐标为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $