等差数列求和 专项练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列求和专项练习 2026-2027学第一学期高二数学人教A版 一、单选题 1．记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 2．设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 3．设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 5．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 6．记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 10．已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时最大 C．使的n的最大值为16 D．数列中的最小项为第9项 11．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．若，，则恒成立 B．若，，则恒成立 C．数列一定是等差数列 D．若数列的前项和，则一定是等差数列 三、填空题 12．记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______. 13．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有____________块. 14．已知数列共有9项，且是整数的一种排列，设，当取，，，中的任意值时，总能被整除，则的所有可能取值为__________． 四、解答题 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 16．已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 17．等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 18．记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 19．已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A A C B A AD ABD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 2．B 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 3．D 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 4．A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 5．A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 6．C 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式得到，设从而有，应用基本不等式求最小值. 【详解】已知等差数列中，公差为（且） 由，，， 所以，， 设且，所以，得，所以， 所以， 当且仅当，即时，即时，取等号， 综上所述，的最小值为. 7．B 【分析】先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 8．A 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 9．AD 【分析】根据等差数列通项公式得关于的方程，解出，则得到，最后一一判断选项即可. 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知， 解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确. 故选：AD. 10．ABD 【分析】根据等差数列的通项性质与前项和性质逐项判断即可. 【详解】∵等差数列，，∴， 又∵，∴，，∴，A正确； ∵，，∴当，，，，所以当时最大，B正确； ∵，∴，，使的n的最大值为15，C错误； ∵当时，，时，；当，，， ∴当时，，当时，，且递减，且递减， ∴最小，故D正确． 故选：ABD. 11．BCD 【详解】设等差数列的公差为， 因为是等差数列，且，，所以， 选项A错误； 由，可得， ，可得，所以， 因此，数列单调递减，前项均为正，从​开始为负， 故前项和的最大值为​，即恒成立，选项B正确； ，记， 则为常数， 因此该数列是等差数列，C正确； 设，则，则， 则， 又符合上式，所以，所以一定是等差数列，D正确． 12．15 【详解】因为是等差数列，设公差为d， 因为， 所以， 即， 所以解得. 13．2997 【分析】将其转化为等差数列求和问题，运用等差数列通项及前n项和性质求解. 【详解】设第k环扇形石板块数为，上层共有n环，为数列的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇形石板（块）. 故答案为：2997 14．2，9，72 【分析】根据总和为45，进行分类枚举，排除数字重复，得到、可能的取值，验证都存在满足条件的排列即可求出的所有可能的取值. 【详解】由题意知，能被9整除； 若要能被8整除，即要能被4整除；可知， 若要能被7整除，即要能被7整除， 当时，需为7的倍数，解得，与重复，不合题意； 当时，需为7的倍数，解得或； 当时，需为7的倍数，解得或， 因此的可能情况有：，，，． 容易验证，下面的4种1~9排列都符合题意（分别对应上述4种）： ①3，4，5，6，7，8，9，2，1；②2，3，4，5，6，7，8，9，1；③2，3，4，5，6，7，8，1，9；④1，2，3，4，5，6，7，8，9． 综上，的所有可能取值为2，9，72． 【点睛】通过题目分析，总能被整除，分别求出要能被4整除；若要能被7整除，即要能被7整除，可以直接将求解出来，然后分别列举将所有满足条件的解出来，直接计算答案. 15．(1) (2) 【详解】（1）方法一：设等差数列的公差为，由，得， ，解得，所以． 方法二：设等差数列通项公式为，易得. 由,即，即. 解得：，，所以． （2）方法一：由题意知，， 当时，取得最小值，为． 方法二：由可得． 当，即，解得. 所以的最小值为，所以的最小值为． 16．(1)， (2)证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 【分析】（1）先求出，再由题意得，根据的关系可得，最后求出等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法进行证明. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； （2）略 17．(1) (2)1034 (3)存在，1876 【详解】（1）设的公差为， ，， ，，． （2）依题意，在之前插入的1的总个数为， ，故是数列的第项． （3）依题意，， 之前插入的1的总个数为， 故数列中，项及前面的所有项的和为， ∴数列中，及前面的所有项的和为， 而，与之间的1的个数为个， 即在后加842个1，其和为2008，故存在，使． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【详解】（1）令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. （3）由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 19．(1) (2)（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. （ii） 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）略 （ii）由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $