等差数列专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以题载法系统覆盖等差数列核心考点，通过分层题型构建“定义-公式-性质”逻辑链条，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本量计算|单选1-3、解答15|知三求二法、方程思想|从通项公式推导到基本量关系应用| |性质应用|单选4-8、填空12-13|片段和性质、奇偶项和关系|性质源于定义与前n项和公式的延伸| |综合应用|多选9-11、解答16-19|递推关系转化、Sn与an互化|从数列递推到证明与求和的综合迁移|

等差数列补充练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 2．在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 3．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 8．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a9＝17 B.a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91 11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 三、填空题 12．在无穷等差数列中，若，，，则的值为_______. 13．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 14．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 四、解答题 15．设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 16．数列满足（）． (1)求的通项公式； (2)求的前项之积． 17．已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 18．设数列满足，（）．求数列的通项公式； 19．已知数列的前项和为，，． (1)求； (2)若，求数列的最大值； 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】设公差为，则， 解得，所以. 2．在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以, 由于,所以数列的公差为，所以，解得： 4．已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 6．已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性 【详解】由，，得等差数列的公差为， 所以，所以， 又数列的公差不为，所以数列为单调数列， 所以结合，可得，故． 7．已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】A 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， ， 则，即， 所以，所以，所以数列是常数列， 则，即，所以. 8．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 二、多选题 9．已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、判断等差数列、分组（并项）法求和 【分析】利用递推式可计算，通过递推式推导数列的隔项差，判断奇数项数列及偶数项数列的等差性，并可求奇数项及偶数项的通项公式，再利用并项求和法计算. 【详解】对于选项A，因为，所以，两式相减得． 因为，所以，故A错误； 对于选项B，因为，，所以． 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于选项C，由前面分析，得，， 所以，故C正确； 对于选项D， ，故D正确． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a9＝17 B.a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91 解析：选BD　∵对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)， ∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2. ∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2， 则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选B、D. 11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 【答案】ABD 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】A选项，根据等差数列前项和公式判断；B选项，利用得到，然后根据增减性列不等式即可；C选项，列不等式，然后解不等式即可；D选项，将的最小值为3转化为恒成立，然后分和两种情况分析即可. 【详解】若为等差数列，则， 所以，解得，，故A正确； ，则，， 当时，， 所以， 因为不是递增数列，所以或，则，故B正确； 若，则， 整理得，又，所以，故C错； 因为的最小值为3，所以恒成立， 即，当时，成立， 当时，，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．在无穷等差数列中，若，，，则的值为_______. 【答案】0 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 13．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 14．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【详解】. 四、解答题 15．设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】（1），， ， ； （2）由题意得：，，解得，， ，即； （3）， ，， ， ， ， ，又， . 16．数列满足（）． (1)求的通项公式； (2)求的前项之积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系求解. （2）利用等差数列的前项和的公式求解. 【详解】（1） 当时， ， 当时， 由条件①， ②， 由①减去②则时，， 又因当时，符合， 因此可得的通项公式. （2）因 17．已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 【答案】(1)由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得： 又由得，则 所以数列 则，所以 (2)． 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 18．设数列满足，（）．求数列的通项公式； 【详解】由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． 19．已知数列的前项和为，，． (1)证明为等差数列； (2)若，求数列的最大值； 【详解】（1）因为， 所以， 所以，累乘可得，从而为等差数列 （2）， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； 试卷第6页（共11页） 试卷第5页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $