精品解析：广东广州市增城区增城中学2026-2027学年高三上学期综合练习（一）数学试题

2026-2027学年高三级综合练习一 数学试题 2026年9月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分　选择题（共58分） 一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 10. 如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若平面，则点的轨迹的长度为 C. 若，则点是的中点 D. 若，则点的轨迹的长度为 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. 当时， D. 第二部分　非选择题（共92分） 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为数列的前项和，若，则__________． 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 14. 互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称. （1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________. （2）若函数与函数互为反函数，则_______________. 四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． （1）证明：； （2）当时，求二面角的余弦值． 16. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 19. 设函数，. （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三级综合练习一 数学试题 2026年9月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分　选择题（共58分） 一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则，即，解得， 所以， 由，即，解得，即， 所以. 故选：D 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量与的方向相同，，可设，， 由，解得，所以有. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 5. 若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，圆锥的底面半径，设母线长为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析奇偶性，判断B、C；再利用特殊点辨析A、D. 【详解】，，是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．，在x轴上方，所以排除A. 故选：D． 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可. 【详解】 ， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以，定义域为， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为. 8. 在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过余弦定理确定的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在上，通过列方程即可求解. 【详解】 由题意四边形有外接圆，则， 即，得，即，故， 取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径， 又，可得在底面上的投影为，即底面且， 故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为， 由，得，解得. 二、选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反例验证选项A的错误；通过充分不必要条件的定义分析选项B；利用不等式的性质推导选项C；通过换元法结合函数单调性求解选项D的最值. 【详解】选项A： 取反例：，，，， 此时，，，故A错误. 选项B： 若，则，两边除以得； 若，取，，满足，但不满足. 故“”是“”的充分不必要条件，B正确. 选项C： 由，知（否则不等式不成立），故， 两边除以得，C正确. 选项D： 令，则，. 函数在上单调递增，故时，， 即最小值为，D正确. 故答案为：BCD 10. 如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若平面，则点的轨迹的长度为 C. 若，则点是的中点 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：把平面与平面展开成一个矩形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理求展开后与距离，得最小值．选项B：先证明平面平面，由线面平行性质可知，平面时，轨迹是线段，再用勾股定理求其长度．选项C：建立空间直角坐标系，得到向量与，根据向量垂直时数量积为0列方程求解点位置，判断不是中点．选项D：设坐标，根据空间两点距离公式列方程，得到轨迹方程，确定其轨迹是圆，用圆周长公式求轨迹长度． 【详解】将平面与平面展开在一个平面上， 此时的最小值为展开后与两点间的距离． 展开后得到一个矩形，矩形的两边长分别为和． 根据勾股定理，则，所以的最小值为，故A正确． 因为，，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面，若平面，则点的轨迹是线段． 在正方形中，边长为，根据勾股定理可得， 即点的轨迹长度为，故B正确． 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，设，． ，． 因为，所以， 即，解得，所以不是的中点，故C错误． 设，，，已知，由， 根据空间两点间距离公式可得：， 即（，）． 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 根据圆的周长公式，则点的轨迹长度为，故D正确． 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. 当时， D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 第二部分　非选择题（共92分） 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 14. 互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称. （1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________. （2）若函数与函数互为反函数，则_______________. 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质，定义域和值域互换，逐个分析计算即可 【详解】（1）函数和函数互为反函数， 在的图象上，根据反函数性质，知道在图象上，代入计算. （2）与互为反函数，知道定义域和值域互换. 的定义域为，值域为， 的定义域为，值域为， 则，代入解析式得到， 求出反函数得到，化简得到， 即的反函数为.对照，得到. 故答案为：2；6. 四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． （1）证明：； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在长方体中，连接，由，得底面是正方形， 则，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 无论点在线段上如何移动，平面， 所以. 【小问2详解】 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 平面的法向量，则， 由图知，二面角的余弦值为钝角，所以所求余弦值为. 16. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 17. 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）延长，与交于点，过点作，垂足为，连接． 根据重心的性质，知为的中点，且． 由于，所以，又因为，所以， 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以，所以， 又，所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面,所以平面． 又因为，平面,所以平面平面， 因为平面,所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明线面平行可通过面面平行证明，借助三棱台性质、三角形重心的比例关系寻找平行线； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线，分别为轴、轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，平面， 由已知可得，，，，的重心， 由三棱台可得，， 所以，从而，，所以， 则，，， 设是平面的法向量， 则，即，取．， 设是平面的法向量， 则， 即，取， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】（1） （2）由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以， 综上，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）先联立方程求出首项与公比，从而得到通项公式； （2）利用裂项相消法求和，再利用数列单调性完成不等式放缩证明； （3）插入数构造新等差数列，先求出公差，得到新数列通项，再用错位相减法完成求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 19. 设函数，. （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可根据指数与对数的运算性质求解， （2）根据对勾函数以及指数函数的单调性即可求解值域得解， （3）将问题先转化为，根据函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 时， ，则， 故 ，进而 ， 则或. 故的零点为或. 【小问2详解】 令 ，则， 进而可得， 由于，则，且函数在上单调递增， 对勾函数在单调递减，在单调递增， 故当时，， 因此，故， 则； 【小问3详解】 当时，单调递减，故， 对任意的，存在，使得不等式 成立， 则， 因此，即存在使得， 由于， 令 则， 令 ， 故存在使得，即， 因此， 由于函数均为上的单调递增函数， 故 故即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $