精品解析：广东省江门市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次考试数学试题

江门二中2027届高三第一次考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的一个周期为4 【答案】D 【解析】 【分析】通过对给定函数恒等式赋特殊值求解函数值、判断奇偶性和周期，选出错误选项. 【详解】对于A：令，代入恒等式，得，代入，解得，A正确； 对于B：令代入恒等式，得，代入，解得； 再令代入，得，解得，B正确； 对于C：令代入恒等式，得，整理得对任意成立， 故是偶函数，C正确； 对于项D：令代入恒等式，得，代入已知值解得， 若周期为4，则，二者矛盾，故周期不为4，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于①，②，③，④，⑤，⑥，角为第三象限角的充要条件是关系式序号（ ） A. ②④ B. ②⑤ C. ③⑤ D. ④⑥ 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：，是第三象限角或第四象限角，，是第二象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来为第三象限角可推出，，充要条件成立，A符合题意. 选项B：，是第三象限角或第四象限角，，是第一象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来，为第三象限角可推出，，充要性成立，B符合题意. 选项C：，可推出是第一象限角，而非第三象限角，C不符合题意. 选项D：，可推出是第二象限角，而非第三象限角，D不符合题意. 综上，AB符合题意. 10. 设，．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】BD 【解析】 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，在定义域上单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，在定义域上单调递增，要满足，需，即A错误，B正确. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 13. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为． 故答案为：. 14. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，设． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得； （2）利用正弦定理将周长表示为角的三角函数形式，结合三角函数的最值求周长的最大值. 【小问1详解】 由， 得， 故由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 由可得，即， 所以， 当，即时，有最大值，故有最大值， 所以周长的最大值为. 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 17. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． 【小问2详解】 的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【小问1详解】 ①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. 【小问2详解】 ，，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）在上是减函数；在上是增函数 （2）当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 【解析】 【小问1详解】 依题意，，由是的极值点，得，解得， 则， 当时，，则；当时，，则， 所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2027届高三第一次考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的一个周期为4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于①，②，③，④，⑤，⑥，角为第三象限角的充要条件是关系式序号（ ） A. ②④ B. ②⑤ C. ③⑤ D. ④⑥ 10. 设，．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 13. 在的展开式中，的系数为______． 14. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，设． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $