26.2.1 二次函数的图像与性质 （第2课时）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

§26.2.1 二次函数的图像与性质 （第2课时）讲义 【知识详解三】二次函数的图像与性质 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. y=x2+2 y=x2-2 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)；抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2；把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 +k 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 (0,k) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=0时，y最小值​=k. 顶点是抛物线的最高点. 当x=0时，y最大值​=k. 【典例分析】【例5】已知抛物线 y=2x²-3. (1)它的开口向_______,对称轴为__________________,顶点坐标为_______; (2)把抛物线 y=2x² 向_______平移_______个单位长度可得抛物线 y=2x²-3; (3)当x_______时，y随x的增大而减小，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，函数y有最小值，最小值是_______. 【变式训练】 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 3．对于抛物线，下列结论错误的有（   ）个 （1）该函数图象开口向上；（2）对称轴是；（3）当时，取得最大值； （4）顶点坐标是；（5）当时，随的增大而减小； （6）当时，的取值范围是； （7）当时，的取值范围是． A．3 B．4 C．5 D．6 4．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 6．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 7．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为____米． 8．若函数，当函数值时，则自变量x的值是 【知识详解四】二次函数的图像与性质探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以看出，抛物线  的开口向下，对称轴是经过点 (-1,0) 且与  轴垂直的直线，把它记作 ，顶点是(-1,0)；抛物线 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是(1，0). （1）当h>0时： 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向右平移 h 个单位长度 （2）当h<0时： 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向左平移|h|个单位长度 简记为“左加右减自变量” 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=h时，y最小值​=0. 顶点是抛物线的最高点. 当x=h时，y最大值​=0. 【典例分析】(1) 抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 怎样平移得到？ (2) 抛物线 y=﹣(x-2)2 的开口向______，对称轴是_________，顶点坐标是______，除顶点外，抛物线上的点都在  轴的______方. (3) 对于函数 y=﹣(x-2)2，当 x> ____ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= ____ 时，y 有最大值，最大值是______. 【例6】 【变式训练】 1．已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 4．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．下列关于抛物线与拋物线的说法中，错误的有（   ） ①形状相同；②开口方向相同；③都有最低点；④顶点不同；⑤对称轴不同． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 7．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．  (x+1)2-1 【知识详解四】二次函数的图像与性质 探究（1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？    抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 抛物线 +k 抛物线  抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h,k） 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=h时，y最小值​=k. 顶点是抛物线的最高点. 当x=h时，y最大值​=k. 【典例分析】【例7】对于抛物线 ，给出下列结论： ① 抛物线  可由抛物线  先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到； ② 对称轴为直线 ； ③ 顶点坐标为 (-2，3)； ④ 当  时， 随  的增大而增大. 其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【例8】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ y/m x/m 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的对称轴是直线（   ）． A． B． C． D． 3．已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 8．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 9．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ § 26.2.1 二次函数的图像与性质 （第2课时）讲义 解析版 【知识详解三】二次函数的图像与性质 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. y=x2+2 y=x2-2 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)；抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2；把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 +k 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 (0,k) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=0时，y最小值​=k. 顶点是抛物线的最高点. 当x=0时，y最大值​=k. 【典例分析】【例5】已知抛物线 y=2x²-3. (1)它的开口向___上____,对称轴为____y轴（或直线x=0）____,顶点坐标为___（0，-3）____; (2)把抛物线 y=2x² 向___下____平移____3___个单位长度可得抛物线 y=2x²-3; (3)当x___<0___时，y随x的增大而减小，当x__>0__时，y随x的增大而增大，当x__=0__时，函数y有最小值，最小值是__-3____. 【变式训练】 1．二次函数的图象的顶点坐标是（ C  ） A． B． C． D． 2．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（  B ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 3．对于抛物线，下列结论错误的有（ B  ）个 （1）该函数图象开口向上；（2）对称轴是；（3）当时，取得最大值； （4）顶点坐标是；（5）当时，随的增大而减小； （6）当时，的取值范围是； （7）当时，的取值范围是． A．3 B．4 C．5 D．6 4．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（  C  ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（ B  ） A． B． C． D． 6．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（  A  ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 7．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为__6__米． 8．若函数，当函数值时，则自变量x的值是 -或 【知识详解四】二次函数的图像与性质探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以看出，抛物线  的开口向下，对称轴是经过点 (-1,0) 且与  轴垂直的直线，把它记作 ，顶点是(-1,0)；抛物线 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是(1，0). （1）当h>0时： 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向右平移 h 个单位长度 （2）当h<0时： 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向左平移|h|个单位长度 简记为“左加右减自变量” 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=h时，y最小值​=0. 顶点是抛物线的最高点. 当x=h时，y最大值​=0. 【典例分析】(1) 抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 怎样平移得到？答：向右平移2个单位长度 (2) 抛物线 y=﹣(x-2)2 的开口向___下___，对称轴是___直线x=2__，顶点坐标是__（2，0）_，除顶点外，抛物线上的点都在  轴的___下___方. (3) 对于函数 y=﹣(x-2)2，当 x> __2__ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= __2__ 时，y 有最大值，最大值是___0___. 【例6】 【变式训练】 1．已知抛物线，下列说法不正确的是（  B    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（  C  ） A． B． C． D． 3．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　C　） A． B． C． D． 4．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（ A  ） A． B． C． D． 5．下列关于抛物线与拋物线的说法中，错误的有（ D  ） ①形状相同；②开口方向相同；③都有最低点；④顶点不同；⑤对称轴不同． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为____3______． 7．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  B ） A． B． C． D．  (x+1)2-1 【知识详解四】二次函数的图像与性质 探究（1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？    抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 抛物线 +k 抛物线  抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h,k） 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=h时，y最小值​=k. 顶点是抛物线的最高点. 当x=h时，y最大值​=k. 【典例分析】【例7】对于抛物线 ，给出下列结论： ① 抛物线  可由抛物线  先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到； ② 对称轴为直线 ； ③ 顶点坐标为 (-2，3)； ④ 当  时， 随  的增大而增大. 其中结论正确的序号是（ C ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【例8】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ y/m x/m 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标为（  A ） A． B． C． D． 2．二次函数的对称轴是直线（  C ）． A． B． C． D． 3．已知抛物线，下列说法正确的是（  C ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（  A  ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（   B  ） A． B． C． D． 6．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（  B ） A． B． C． D． 7．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（  B ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 8．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为___-1或5____． 9．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $