26.2.1 二次函数图像与性质 第1课时 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的定义及图像与性质核心知识点，先通过定义总结（整式、最高次2、a≠0）构建概念基础，再结合典例与变式训练巩固理解，随后以描点法画y=x²图像为起点，探究抛物线的对称性、顶点及a值对开口方向、增减性的影响，形成从概念到图像性质的递进式学习支架。 该资料通过图像绘制培养几何直观（数学眼光），对比a值分析开口大小与增减性发展推理意识（数学思维），结合矩形菜园面积、商品利润等实际问题建立模型意识（数学语言）。典例与变式训练层次分明，课中助力教师引导学生深化理解，课后便于学生回顾练习，有效查漏补缺。

§ 第二十六章 二次函数 二次函数的图像与性质 第1课时 【知识详解一】二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【总结】 (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 【典例分析】【例1】下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例2】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 3．若是关于的二次函数，则_______． 4．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________． 5．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 7. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【知识详解二】二次函数的图像与性质问题：用描点法画出 y=x2 的图象. ①.列表. ②.描点. ③.连线. 1.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . 2.思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 3.每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 4.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降；在对称轴的_____，抛物线从左 到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 y=2x2 a的值越大，图象的开口越小 5. （1）一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 （2）一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点或(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=0时，y最小值​=0. 顶点是抛物线的最高点. 当x=0时，y最大值​=0. 【例3】已知抛物线 ，回答下列问题： 1.抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 2.当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 3.对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 【例4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 抛物线 开口方向 对称轴 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化） 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 3．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 5．下表是二次函数中，x，y的部分对应值：则下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 6．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 7．已知点，,，都在二次函数的图象上，则（  ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 11．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ） A．16m B．18m C．20m D．24m 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ § 第二十六章 二次函数 二次函数的图像与性质 第1课时 【知识详解一】二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【总结】 (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 【典例分析】【例1】下列函数中，一定是二次函数的有（ A ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例2】若函数是关于的二次函数，则为（  C  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（ B  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　C　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 3．若是关于的二次函数，则___1____． 4．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___S_=-2_+80x____． 5．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（  D  ） A． B． C． D． 6．已知． （1）当的值为___2___时，它是关于的一次函数． （2）当的值为___4或或或±1或0___时，它是关于的二次函数． 7. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【知识详解二】二次函数的图像与性质问题：用描点法画出 y=x2 的图象. ①.列表. ②.描点. ③.连线. 1.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . 2.思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 3.每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 4.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_ 左侧_，抛物线从左到右下降；在对称轴的_右侧_，抛物线从左 到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而__减小___；当x＞0时，y随x的增大而__增大___. y=x2 y=2x2 a的值越大，图象的开口越小 5. （1）一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 （2）一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 图 象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点或(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=0时，y最小值​=0. 顶点是抛物线的最高点. 当x=0时，y最大值​=0. 【例3】已知抛物线 ，回答下列问题： 1.抛物线  开口向__下___，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__（0，0）__； 2.当  时， 随  的增大而__减小__，当  时， 随  的增大而__增大___； 3.对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 【例4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 抛物线 开口方向 对称轴 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化） 向上 y轴 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 向下 y轴 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 向上 y轴 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 向下 y轴 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标是（  C  ） A． B． C． D． 2．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（  C  ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 3．抛物线 的图象开口最大的是（  A  ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ C  ） A． B． C． D． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 5．下表是二次函数中，x，y的部分对应值：则下列说法不正确的是（  D ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 6．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（  C  ）． A． B． C． D． 7．已知点，,，都在二次函数的图象上，则（ B ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，y的取值范围是（  C  ） A． B． C． D． 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ D  ） A． B． C． D． 10．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是_____m<_____． 11．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  C） A．16m B．18m C．20m D．24m 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（  D ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． (1)二次函数和图象的形状是 抛物线 ．开口向 上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 （0，0） ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大 ．当x＝ 0 时，y有最 小 值为 0 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 小 （填“大”或“小”）． 学科网（北京）股份有限公司 $