3.3 幂函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学幂函数核心知识点，系统梳理幂函数的定义，从五个具体函数（y=x、y=x²、y=x³、y=x⁻¹等）的图像特征、定义域、值域、奇偶性、单调性入手，过渡到一般幂函数的性质，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料通过图像观察归纳性质培养数学眼光，题型设计（如比较大小、图像应用）发展数学思维，表格对比与跟踪训练强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

3.3 幂函数 知识点一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二、幂函数的图像和性质 1.五个具体函数的图像：在同一平面直角坐标系内函数（1）y＝x；（2）y＝；（3）y＝ x2；（4）y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 2.图像特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象必过点(1,1)，且一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限. （2）在第一象限内，直线x=1右侧部分的图像，由下向上幂函数的指数越来越大. （3）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0），并且在区间[0，＋∞)上单调递增. （4）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减.图像以x，y轴为渐近线，在第一象限 内，图像向上与y轴无限接近，向右无限与x轴接近. 3.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上为增函数 在(－∞，0]上为减函数 增函数 增函数 在(0，＋∞)上为减函数在(－∞，0)上为减函数 定点 均过定点（0,0），（1,1） 过点（1,1） 知识点三、一般幂函数的图像和性质 1.定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α值有关. 2.定点 （1）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0）和（1,1）. （2）当α<0时，幂函数的图象通过点（1,1）. 3.单调性 （1）当α>0时，幂函数在[0，+∞）上单调递增. （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减. 4.幂函数在第一象限的图像特征 （1）当0<α<1时，第一象限的图像上凸，当α>1时，在第一象限的图像上下凸. （2）当α<0时，在第一象限的图像都下凸. 题型一：幂函数的概念及定义域和值域 例1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 例2.函数f(x)=x-4的定义域为 ，值域为 . 例3.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 跟踪训练： 1.下列函数是幂函数的有 . ①y=3x2；②y=x2+1；③；④. 2.函数的定义域为 ，值域为 . 3.已知，若该函数为幂函数，求其解析式，并求出其定义域. 题型二：幂函数的图像及其应用 例1.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，（1）f(x)>g(x)；（2）f(x)＝g(x)；（3）f(x)<g(x). 例2.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　 　) A.－2，，，2 B.2，，，－2 C.，－2,2， D.2，，－2， 跟踪训练： 1.幂函数的图象如图所示，则m的值为（　　） A.﹣1＜m＜3 B.0 C.1 D.2 2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 3.幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在R上单调递增，则函数g（x）＝bx+a+1（b＞1）的图象过定点（　　） A.（1，1） B.（1，2） C.（﹣3，1） D.（﹣3，2） 题型三：幂函数的单调性及其应用 例1.比较下列各组数中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 例2.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围. 跟踪训练： 1.（多选）以下比较大小的结论中正确的是（　　） A.1.72.5＜1.73 B.0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2 C.1.50.4＜0.82 D. 2.比较下列各组数的大小. （1）与； （2）与. 3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A.0或1 B.﹣1或1 C.1 D.0 4.已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z. （1）求m； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围. 1.不论α取何值，函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点A，则点A的坐标为（　　） A.（1，3） B.（2，3） C.（2，1） D.（0，3） 2.（多选）下列判断正确的有（　　） A. B.20.3＜20.5 C. D.0.70.8＜0.70.7 3.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列结论正确的是（　　） A. B.f（x）是偶函数 C.f（x）在（0，+∞）上单调递增 D.不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 4.函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的大致图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝　　 . 6.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m﹣1是幂函数，且f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则 实数m＝　　 . 7.已知幂函数f（x）＝（m2﹣10m﹣10）xm的定义域为R，则m＝　　 . 8.解答下列问题： （1）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （2）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （3）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （4）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 . 1.幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　) A.y＝ B.y＝x2 C.y＝x－1 D.y＝x3 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A.y＝ B.y＝x C.y＝x－1 D.y＝x2 3.已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则（　　） A.m＞n＞p B.m＞p＞n C.n＞p＞m D.p＞n＞m 4.已知函数f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<< B.<<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<< D.<f(a)<<f(b) 5.幂函数在（0，+∞）单调递减，则a＝（　　） A. B. C.3 D.﹣3 6.（多选）下列大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7.（多选）幂函数在（0，+∞）上是增函数，则以下说法正确 的是（　　） A.m＝3 B.函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 8.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝4f(2)，则的值等于　 　. 9.已知幂函数f（x）＝（k2﹣k﹣5）xk﹣1的图象关于y轴对称，则k＝　 　. 10.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值是　 　. 11.若，则实数m的取值范围为　 　. 12.给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为　 　. 13.已知幂函数(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于　 　. 14.已知函数，m为何值时，函数f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数. 15.比较下列各组数的大小： （1）和；（2）和. 16.已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1在（0，+∞）上单调递增. （1）求实数m的值； （2）若g（x）＝f（x）﹣2ax+3在（1，+∞）上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式f（x）＜（a+2）x﹣2a的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 知识点一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二、幂函数的图像和性质 1.五个具体函数的图像：在同一平面直角坐标系内函数（1）y＝x；（2）y＝；（3）y＝ x2；（4）y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 2.图像特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象必过点(1,1)，且一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限. （2）在第一象限内，直线x=1右侧部分的图像，由下向上幂函数的指数越来越大. （3）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0），并且在区间[0，＋∞)上单调递增. （4）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减.图像以x，y轴为渐近线，在第一象限 内，图像向上与y轴无限接近，向右无限与x轴接近. 3.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上为增函数 在(－∞，0]上为减函数 增函数 增函数 在(0，＋∞)上为减函数在(－∞，0)上为减函数 定点 均过定点（0,0），（1,1） 过点（1,1） 知识点三、一般幂函数的图像和性质 1.定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α值有关. 2.定点 （1）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0）和（1,1）. （2）当α<0时，幂函数的图象通过点（1,1）. 3.单调性 （1）当α>0时，幂函数在[0，+∞）上单调递增. （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减. 4.幂函数在第一象限的图像特征 （1）当0<α<1时，第一象限的图像上凸，当α>1时，在第一象限的图像上下凸. （2）当α<0时，在第一象限的图像都下凸. 题型一：幂函数的概念及定义域和值域 例1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解：∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.故选：B. 例2.函数f(x)=x-4的定义域为 ，值域为 . 解：f(x)=x-4=，则x4≠0，即x≠0，故f(x)=x-4的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 由于x≠0，则，故值域为（0，＋∞）. 故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；（0，＋∞）. 例3.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解：由题意得，解得：或，所以m＝－3或1，n＝. 跟踪训练： 1.下列函数是幂函数的有 . ①y=3x2；②y=x2+1；③；④. 解：①中系数为3，故不是幂函数；②中y=x2+1不是y＝xα的形式，故不是幂函数；③中是幂函数；④中是幂函数.故答案为：③④. 2.函数的定义域为 ，值域为 . 解：因为，所以函数的定义为（0，＋∞），由x>0，可得，所以函数的值域为（0，＋∞）.故答案为：（0，＋∞）；（0，＋∞）. 3.已知，若该函数为幂函数，求其解析式，并求出其定义域. 解：由题意得，解得：m=2或m=-1. 当m=2时，解析式为y=x-3，则函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 当m=-1时，解析式为y=x0，则函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 题型二：幂函数的图像及其应用 例1.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，（1）f(x)>g(x)；（2）f(x)＝g(x)；（3）f(x)<g(x). 解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， （1）当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； （2）当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； （3）当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 例2.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　 　) A.－2，，，2 B.2，，，－2 C.，－2,2， D.2，，－2， 解：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝，曲线C4的n＝－2.故选：B. 跟踪训练： 1.幂函数的图象如图所示，则m的值为（　　） A.﹣1＜m＜3 B.0 C.1 D.2 解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数. 则m2﹣2m﹣3＜0，即﹣1＜m＜3， ∵m∈Z，∴m＝0，或m＝1，或m＝2. 若m＝0，则y为奇函数，不满足条件. 若m＝1，则y为偶函数，满足条件. 若m＝2.则y为奇函数，不满足条件.∴m＝1.故选：C. 2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 解：在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝x，y＝1的图象， 在（0，1）内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”， 如图，知0＜m＜1，﹣1＜n＜0，故选：D. 3.幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在R上单调递增，则函数g（x）＝bx+a+1（b＞1）的图象过定点（　　） A.（1，1） B.（1，2） C.（﹣3，1） D.（﹣3，2） 解：因为f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa为幂函数且在R上单调递增， 所以，解得a＝3，所以g（x）＝bx+a+1＝bx+3+1（b＞1）， 又因为指数函数y＝ax恒过定点（0，1），所以g（x）＝bx+3+1（b＞1）恒过定点（﹣3，2）. 故选：D. 题型三：幂函数的单调性及其应用 例1.比较下列各组数中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 解：（1）∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又，∴. （2）∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又，∴. （3）∵函数y1＝在(0，＋∞)上单调递增，又>1，∴> ＝1. 又∵函数y2＝在(0，＋∞)上单调递增，且<1，∴＝1，∴. 例2.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围. 解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为. 因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得<a<或a<－1. 故a的取值范围是. 跟踪训练： 1.（多选）以下比较大小的结论中正确的是（　　） A.1.72.5＜1.73 B.0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2 C.1.50.4＜0.82 D. 解：对于A，由指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，得1.72.5＜1.73，选项A正确；对于B，由指数函数y＝0.8x在R上单调递减，且﹣0.1＞﹣0.2，得0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2，选项B正确； 对于C，由1.50.4＞1.50＝1，0.82＝0.64＜1，得1.50.4＞0.82，选项C错误； 对于D，由，，得，选项D错误. 故选：AB. 2.比较下列各组数的大小. （1）与； （2）与. 解：（1）因为y在（0，+∞）上单调递增，所以，所以； （2），，因为，所以， 即. 3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A.0或1 B.﹣1或1 C.1 D.0 解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减， 所以m2﹣m+1＝1且﹣2m+1＜0，解得m＝1或m＝0（舍）.故选：C. 4.已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z. （1）求m； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围. 解：（1）因为是幂函数且f（2）＞f（3），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减， 故m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4.又，则m＝1，2，3， 当m＝1时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足偶函数； 当m＝2时，f（x）＝x﹣4，是偶函数，满足； 当m＝3时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足.所以m＝2. （2）由（1）得f（x）＝x﹣4，其在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，且图象关于y轴对称， 由f（a+2）＜f（1﹣2a），可得0＜|1﹣2a|＜|a+2|， 平方得（1﹣2a）2＜（a+2）2，解得：或， 所以a的取值范围是. 1.不论α取何值，函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点A，则点A的坐标为（　　） A.（1，3） B.（2，3） C.（2，1） D.（0，3） 解：由幂函数y＝xα的图象恒过点（1，1），所以函数y＝（x﹣1）α的图象恒过点（2，1）， 所以函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点（2，3）.故选：B. 2.（多选）下列判断正确的有（　　） A. B.20.3＜20.5 C. D.0.70.8＜0.70.7 解：由函数y＝x﹣1在区间（﹣∞，0）上单调递减，可得，故A错误； 由函数y＝2x在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，可得20.3＜20.5，故B正确； 由函数y为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，可得，故C错误； 由函数y＝0.7x在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，可得0.70.8＜0.70.7，故D正确. 故选：BD. 3.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列结论正确的是（　　） A. B.f（x）是偶函数 C.f（x）在（0，+∞）上单调递增 D.不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）， 因为幂函数f（x）的图象经过点，所以2α，解得α＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，定义域为{x|x≠0}，所以f（﹣2）＝（﹣2）﹣2，故A错误； 因为f（﹣x）＝（﹣x）﹣2＝x﹣2＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故B正确； 因为y＝x2在（0，+∞）上单调递增，且x2＞0，所以f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，故C错误； 不等式f（x）＜1，即1，所以x2＞1，解得x＜﹣1或x＞1，即不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故D正确. 故选：BD. 4.函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的大致图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解：取x，则由图象可知（）a＜（）b＜（）c ∵01，相应的指数函数y＝（）x是减函数，∴c＜b＜a，故选：A. 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝　　 . 解：设幂函数的解析式为y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，）， ∴2a，解得a，∴f（x）.故答案为： 6.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m﹣1是幂函数，且f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则 实数m＝　　 . 解：根据题意可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1； 当m＝2时，函数f（x）＝x3在（﹣∞，0）上单调递增，不合题意； 当m＝﹣1时，函数f（x）＝x﹣3在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意； 所以m＝﹣1.故答案为：﹣1. 7.已知幂函数f（x）＝（m2﹣10m﹣10）xm的定义域为R，则m＝　　 . 解：f（x）＝（m2﹣10m﹣10）xm，令m2﹣10m﹣10＝1，即m2﹣10m﹣11＝0， 解得m＝﹣1或11，因为f（x）的定义域为R.所以m＝11.故答案为：11. 8.解答下列问题： （1）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （2）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （3）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （4）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 . 解：（1）由题意可得，函数y＝的定义域R，值域[0，+∞）. （2）函数y＝的定义域{x|x≠0}，值域（0，+∞）. （3）函数y＝的定义域{x|x≥0}，值域[0，+∞）. （4）函数y＝的定义域{x|x＞0}，值域（0，+∞）. 1.幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　) A.y＝ B.y＝x2 C.y＝x－1 D.y＝x3 解：设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝.故选：A. 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A.y＝ B.y＝x C.y＝x－1 D.y＝x2 解：由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.y＝在(0，＋∞)上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意.y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增.故选：D. 3.已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则（　　） A.m＞n＞p B.m＞p＞n C.n＞p＞m D.p＞n＞m 解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴， 所以由图象可得：n＞p＞m，故选：C. 4.已知函数f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<< B.<<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<< D.<f(a)<<f(b) 解：因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，又0<a<b<1<<，f(a)<f(b)<<. 故选：C. 5.幂函数在（0，+∞）单调递减，则a＝（　　） A. B. C.3 D.﹣3 解：由题意可得a2﹣8＝1，即a＝±3，又幂函数在（0，+∞）单调递减可得，即a＜0， 所以a＝﹣3.故选：D. 6.（多选）下列大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 解：对于A，因为y是定义域R上的减函数，且，所以，选项A正确； 对于B，根据幂函数y是定义域[0，+∞）上的单调增函数，得， 根据指数函数y是定义域R上的减函数，得，所以，选项B错误； 对于C，因为，且，所以，选项C正确； 对于D，因为幂函数y在（0，+∞）单调递减，且，所以，选项D错误. 故选：AC. 7.（多选）幂函数在（0，+∞）上是增函数，则以下说法正确 的是（　　） A.m＝3 B.函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 解：在（0，+∞）上是增函数，则，解得m＝3，故A正确； 故f（x）＝x3，函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，故BD正确，C错误. 故选：ABD. 8.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝4f(2)，则的值等于　 　. 解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝4f(2)，∴4α＝4×2α，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴＝. 故答案为：. 9.已知幂函数f（x）＝（k2﹣k﹣5）xk﹣1的图象关于y轴对称，则k＝　 　. 解：因为f（x）是幂函数，所以k2﹣k﹣5＝1，解得k＝3或k＝﹣2， 当k＝3时，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称； 当k＝﹣2时，f（x）＝x﹣3为奇函数，图象关于原点对称，不符.所以k＝3. 故答案为：3. 10.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值是　 　. 解：因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又在(0，＋∞)上单调递减， 所以，解得：，解得m＝3.故答案为：3. 11.若，则实数m的取值范围为　 　. 解：因为y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1≤m<. 故m的取值范围为.故答案为：. 12.给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为　 　. 解：设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立.故答案为：③. 13.已知幂函数(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于　 　. 解：∵幂函数 (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意. 综上所述，m＝－1,1,3.故答案为：－1,1,3. 14.已知函数，m为何值时，函数f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数. 解：（1）若函数f(x)为正比例函数，则，解得：m＝1. （2）若函数f(x)为反比例函数，则，解得：m＝－1. （3）若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 15.比较下列各组数的大小： （1）和；（2）和. 解　(1)函数y＝在(0，＋∞)上单调递减， 又3<3.2，所以. (2)函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，而>，所以>. 16.已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1在（0，+∞）上单调递增. （1）求实数m的值； （2）若g（x）＝f（x）﹣2ax+3在（1，+∞）上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式f（x）＜（a+2）x﹣2a的解集. 解：（1）∵幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1在（0，+∞）上单调递增， ∴m2+m﹣1＝1，整理得m2+m﹣2＝0，解得m＝﹣2或m＝1； 当m＝﹣2时，f（x）＝x﹣1，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意； 当m＝1时，f（x）＝x2，f（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意； ∴m＝1，即m的值为1； （2）由（1）知，f（x）＝x2，∴g（x）＝x2﹣2ax+3，函数图像开口向上，对称轴为x＝a； 又g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴a≤1，即a的取值范围是{a|a≤1}； （3）不等式f（x）＜（a+2）x﹣2a可化为x2＜（a+2）x﹣2a，整理得x2﹣（a+2）x+2a＜0，转化为（x﹣2）（x﹣a）＜0； 又∵f（x）＝x2，定义域为R，∴当a＝2时，（x﹣2）2＜0，无解； 当a＞2时，由（x﹣2）（x﹣a）＜0，解得2＜x＜a； 当a＜2时，由（x﹣2）（x﹣a）＜0，解得a＜x＜2； 综上，a＝2时，不等式的解集为∅； a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜a}； a＜2时，不等式的解集为{x|a＜x＜2}. 1 学科网（北京）股份有限公司 $