第01章 集合与常用的逻辑用语专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 01 章　集合与常用的逻辑用语 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 目　录 第 01 章　集合与常用的逻辑用语 4 （一）集合 4 1. 集合的含义与元素的特性 4 2. 元素与集合的关系及常用数集 4 3. 集合的表示方法 5 4. 集合间的基本关系 5 5. 集合的子集个数 6 6. 集合的基本运算 6 7. 集合运算的性质与常用结论 7 （二）常用逻辑用语 8 1. 命题及其真假 8 2. 全称量词与存在量词 8 3. 量词命题的否定 8 4. 充分条件与必要条件 9 5. 充要条件的判断方法 9 （三）典型题型与方法 9 题型一　集合的基本运算 9 题型二　由集合关系求参数（含空集讨论） 10 题型三　子集与元素个数问题 10 题型四　集合中的新定义问题 10 题型五　充要条件的判断 11 题型六　量词命题的否定与真假 11 （四）易错警示 11 （五）本章小结与口诀 12 （六）巩固练习 12 A 组　选择题 12 B 组　填空题 13 C 组　解答题 13 参考答案与提示 14 （七）综合提升训练 14 （八）本章知识清单（速记） 17 （九）章末综合检测 17 （十）补充练习 19 第 01 章　集合与常用的逻辑用语 （一）集合 1. 集合的含义与元素的特性 集合与元素：一般地，把一些确定的、不同的对象看成一个整体，这个整体就称为集合（简称集），通常用大写字母 表示；集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母 表示。 元素的三个特性： · 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是它的元素是确定的； · 互异性：一个集合中的元素互不相同； · 无序性：集合中的元素没有先后顺序。 集合的分类：按元素个数分为有限集与无限集；不含任何元素的集合叫做空集，记作 。 补充：判断一组对象能否构成集合，关键看是否满足“确定性”；集合中的元素满足“互异性”，这是解题（尤其是求参数）时最容易忽略的一点。 例 1　下列对象能构成集合的是（　　） ① 某班个子较高的同学；② 方程 的实数根；③ 某校所有高个子男生；④ 平面内到原点距离等于 的点。 解析：①③ 中“较高”“高个子”没有明确标准，不满足确定性，不能构成集合；② 的根为 ；④ 是以原点为圆心、 为半径的圆上的所有点。故能构成集合的是 ②④。 2. 元素与集合的关系及常用数集 关系：元素与集合之间只有两种关系——（ 属于 ）或 （ 不属于 ），二者必居其一。 常用数集： 名称 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 补充：（含 ）；（不含 ）。注意区分“（元素与集合）”与“（集合与集合）”。 例 2　用适当的符号（）填空： （1）；　（2）；　（3）；　（4）。 解析：；；； 是无理数，故 。 3. 集合的表示方法 · 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，如 、； · 描述法：用集合中元素的共同特征表示，形如 或 ； · 图示法：用 Venn 图表示集合及其关系。 补充（描述法易混）： · 表示函数 的定义域（ 的范围）； · 表示函数 的值域（ 的范围）； · 表示抛物线上的点集（点 的集合）。 例 3　用列举法表示 。 解析：。 4. 集合间的基本关系 子集：若集合 中任意一个元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”。 集合相等：若 且 ，则 。 真子集：若 ，且存在元素 但 ，则称 是 的真子集，记作 。 空集：不含任何元素的集合，记作 。规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 重要结论： · 且 （传递性）； · 且 ； · 判断集合关系时，空集是优先考虑的特殊情形。 例 4　已知 ，，若 ，求 的值。 解析：由 得 或 ；又由互异性 ，故 或 。 5. 集合的子集个数 设集合 含有 （）个元素，则： · 的子集个数是 ； · 的真子集个数是 ； · 的非空子集个数是 ； · 的非空真子集个数是 。 例 5　写出集合 的子集个数、真子集个数与非空真子集个数。 解析：（子集）；（真子集）；（非空真子集）。 例 6　满足 的集合 的个数是（　　） 解析： 必含 ，且是 的真子集，故 ，其中 是 的子集且不能与 全同（否则 就不是真子集）。子集 共 个，去掉 1 个，故 有 7 个。 6. 集合的基本运算 · 交集：； · 并集：； · 补集：设 为全集，，则 ，即 （其中 ）。 补充：求补集时务必先明确全集 ；交、并、补的运算可借助数轴或 Venn 图直观求解。 例 7　设全集 ，，，求 ，，。 解析：借助数轴得 ；；。 7. 集合运算的性质与常用结论 基本性质： · ，，； · ，，； · ； · ，。 德摩根定律： 容斥原理（元素个数）： 例 8　某班 50 名学生中，会打篮球的 30 人，会踢足球的 25 人，两样都会的 10 人，求至少会一样运动的人数。 解析：由容斥原理，（人）。 （二）常用逻辑用语 1. 命题及其真假 · 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题；判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。 · 判断命题真假的方法：直接判断、举反例（说明为假）、推理证明（说明为真）。 例 9　判断下列命题的真假： （1）若 ，则 ；（2）若 ，则 。 解析：（1）真命题；（2）假命题，反例： 时 但 。 2. 全称量词与存在量词 · 全称量词：“所有”“任意一个”，用符号 表示。含全称量词的命题叫全称量词命题，形如 。 · 存在量词：“存在”“至少有一个”，用符号 表示。含存在量词的命题叫存在量词命题，形如 。 例 10　判断真假：（1）；（2）。 解析：（1）真命题（任何实数的平方非负）；（2）假命题（ 恒成立）。 3. 量词命题的否定 规则：改量词、否结论——全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论。 例 11　写出命题“”的否定。 解析：否定为“”。 注意：量词命题的否定只改量词与结论，不要再加“并非”等词；写否定时量词不能漏改。 4. 充分条件与必要条件 设命题 、： · 若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； · 若 ，则 是 的充要条件； · 若 但 ，则 是 的充分不必要条件； · 若 但 ，则 是 的必要不充分条件。 例 12　判断“”是“”的什么条件。 解析：（充分），但 （不必要），故是充分不必要条件。 5. 充要条件的判断方法 · 定义法：分别判断 与 是否成立； · 集合法：把 、 转化为集合 、（：，：），则 是 的充分条件， 充要条件； · 传递法：利用推出关系的传递性； · 等价转化法：利用逆否命题等价。 例 13　判断“”是“”的什么条件。 解析：（充分）；而 或 ，故 （不必要）。所以是充分不必要条件。 （三）典型题型与方法 题型一　集合的基本运算 方法：把不等式解集画在数轴上，借助数轴取交、并、补。 例 14　已知 ，，。求 、、。 解析：；；。 题型二　由集合关系求参数（含空集讨论） 方法： 时先讨论 的情形（此时常被忽略而漏解）。 例 15　已知 ，，若 ，求 的取值范围。 解析： ① 若 ，则 ，即 ，此时满足 ； ② 若 ，则 ，且需 ，解得 ，故 。 综上，。 易错提醒：若漏掉 的情形，会错解为 。 题型三　子集与元素个数问题 方法：利用 元集合子集个数公式 ；含参集合注意互异性检验。 例 16　已知集合 ，，若 ，求 的值。 解析：由 得 ，即 或 。检验： 时 违反互异性，舍去；故 。 题型四　集合中的新定义问题 方法：读懂新定义的运算规则，逐一按定义列举或计算。 例 17　定义 。设 ，，求 中所有元素之和。 解析： 取 ， 取 ，得 为 ，故 ，元素之和为 。 题型五　充要条件的判断 方法：① 定义法（双向判断）；② 集合法（小范围推大范围）。 例 18　判断“”是“”的什么条件。 解析：。由 可推出 （充分）；但 （如 ），故是充分不必要条件。 题型六　量词命题的否定与真假 方法：改量词、否结论；判断真假可结合函数最值。 例 19　写出命题“”的否定，并判断其真假。 解析：否定为“”。因 恒成立，故原命题为假命题，其否定为真命题。 （四）易错警示 1. 忽略空集：已知 求参数时，务必先讨论 的情形，否则容易漏解。 1. 忽视互异性：由 或 求参数后，要代回检验集合中元素是否互异，舍去“重复元素”的解。 1. 漏写全集：求补集必须先明确全集 ，不能想当然地取 。 1. 混淆符号： 用于“元素与集合”， 用于“集合与集合”，不可混用。 1. 子集个数公式记错：子集 、真子集 、非空真子集 ，注意下标区别。 1. “命题的否定”与“否命题”混淆：“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；而它的命题的否定是“ 且 ”，二者含义不同。 1. 量词否定不到位：否定全称（存在）命题时，既要改量词，又要否结论，缺一不可。 （五）本章小结与口诀 知识网络：集合部分抓住“元素特性 → 关系 → 运算”主线；逻辑部分抓住“量词 → 否定 → 充要条件”主线。 常用口诀： · 元素三性要记牢，确定、互异加无序； · 子集、真子集、空集中， 元子集 个； · 交并补集看 Venn，小范围推出大范围； · 量词否定记心间，改量词、否结论。 学习建议：集合问题“先特殊（空集）后一般”，含参问题“最后必检验”，充要判断“双向要审清”。做到这三点，本章即可稳拿基础分。 （六）巩固练习 A 组　选择题 1. 下列各组对象能构成集合的是（　　） ① 著名的数学家；② 不超过 的自然数；③ 接近 的数；④ 我国古代四大发明。 A. ①②　B. ②④　C. ③④　D. ①③ 1. 下列表示正确的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 集合 的子集个数为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知 ，，则 （　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 设 ，，则 （　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 命题“”的否定是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件 1. 满足 的集合 的个数是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知集合 ，下列正确的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 1. 设 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 1. 集合 用列举法表示为 ________。 1. 已知 ，，若 ，则 ________。 1. 设 ，，，则 ________。 1. 若“”是真命题，则实数 的取值范围是 ________。 1. 满足 的集合 的个数为 ________。 1. 某班 人，参加数学竞赛的 人，参加物理竞赛的 人，两项都参加的 人，则两项都不参加的有 ________ 人。 C 组　解答题 1. 已知 ，，。求 、、、。 1. 已知 ，，若 ，求 的取值范围。 1. 已知集合 ，，若 ，求 的值。 1. 已知 ，，若 ，求 的取值范围。 1. 判断“”是“”的什么条件，并说明理由。 1. 写出命题“”的否定，并判断真假。 1. 已知全集 ，，。求 、、、。 1. 已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 参考答案与提示 A 组：1. B　2. B　3. C　4. B　5. B　6. B　7. B　8. C　9. B　10. C B 组：11. 　12. 或 　13. 　14. 　15. 　16. C 组： 1. ；；；。 1. ① 若 ，则 ；② 若 ，则 。故 。 1. ，由 及韦达定理 ，得 （此时 的两根为 ，符合）。 1. 非空， 或 ，即 或 。 1. 或 。由 可推出 ，但反之不成立（如 ）。故“”是“”的必要不充分条件。 1. 否定为“”，它是真命题（因 ）；原命题为假命题。 1. ；；；。 1. 由 得 且 ，即 ；又 的长度为 ，小于 的长度，故 。所以 。 （七）综合提升训练 1. 已知 ，，若 ，求 的取值范围。 解析：① 若 ，则 ，即 ，满足； ② 若 ，则 ，此时 或 ，即 或 。 综上， 或 。 1. 已知 ，，若 ，求 的值。 解析：。对方程 ，代入 得 恒成立，故 是方程的根；由韦达定理另一根为 ，即 。由 得 或 ，故 或 。 1. 定义 。设 ，，求 。 解析：，，故 。 1. 已知 ，，若 ，求 的取值范围。 解析：。若 ，则 中含有 内的数，不在 中，不合；故需 。 1. 已知集合 ，，若 ，求 的取值范围。 解析：，。由 得 且 ，即 。 1. 若命题“”为真命题，求 的取值范围。 解析：命题为真 在 上能取到（即 ），故 。 1. 若命题“”为真命题，求 的取值范围。 解析：命题为真 对一切 成立 ，故 。 1. 已知 ，，若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 解析：：；：，即 。 是 的充分不必要条件 且 。因 的长度为 ，小于 的长度 ，必为真子集，故 。 1. 设 ，，若 ，求 的值。 解析：。 ① ：，即 ，； ② ： 为根得 ，。 时 ，舍； 时 ，符合； ③ ： 为根得 ， 或 ，均代入得 ，舍； ④ ：由韦达定理 得 ，且 得 ，故 。 综上， 或 或 ，即 或 。 1. 若 ，，且 ，求 的取值范围。 解析：。。 1. 用列举法表示 。 解析：。 1. 满足 的集合 的个数为多少？ 解析：，其中 是 的任一子集，共 个。 1. 设 ，，若 ，求 的取值范围。 解析：。 对一切 有 ；因 ，故需 。 1. 已知 ，，求 、。 解析：，，故 ，。 1. 若集合 中没有实数元素（即 ），求 的取值范围。 解析：方程无实根 。 1. “”是“”的什么条件？ 解析：记 ，。（ 时 ）成立；但 （如 ）。故 是 的必要不充分条件。 1. 集合 的子集个数是多少？ 解析： 含 个元素，子集个数为 。 1. 已知 ，，求 。 解析： 或 ，故 。 （八）本章知识清单（速记） 一、集合 · 元素三性：确定性、互异性、无序性； · 关系：；； · 元集合：子集 ，真子集 ，非空真子集 ； · 运算：、、（）； · 德摩根：；； · 容斥：。 二、常用逻辑用语 · 量词：全称 、存在 ； · 否定：改量词、否结论； · 充分必要： 则 充分、 必要； 则充要； · 集合法判断：小范围推出大范围（ 时 对应充分不必要）。 三、核心思想 · 空集优先（求参先讨论 ）； · 互异检验（求出参数代回验证）； · 数形结合（数轴、Venn 图）。 （九）章末综合检测 （限时 分钟；答案与提示见本检测末尾） 1. 已知集合 ，，若 ，求 的值。 1. 设 ，，若 ，求 的取值范围。 1. 已知 ，，若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 1. 已知 中只有一个元素，求 的值。 1. 设全集 ，，，求 。 1. 已知 ，，若 ，求 的取值范围。 1. 若命题“”为真命题，求 的取值范围。 1. 已知 ，若 ，求 的值。 1. 某校调查 名学生，喜欢篮球的 人，喜欢足球的 人，两项都喜欢的 人，求两项都不喜欢的人数。 1. 已知集合 ，求 。 1. 已知集合 有两个不相等的正实根，求 的取值范围。 1. 已知 ，，若 ，求 的值。 答案与提示 1. 或 或 。（ 时 ； 时 ） 1. 。 1. 。（注意 时 ，不符合“充分不必要”） 1. 。（） 1. 。 1. 。 1. 。（） 1. 或 或 。（ 时 ；否则 ） 1. 人。（；） 1. 。（） 1. 。（ 且两根之和 ） 1. 。（） （十）补充练习 1. 已知 ，，求 。 解析：，，故 。 1. 若 ，，且 ，求 的取值范围。 解析：。 且 ，即 。 1. 已知 ，（），若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围。 解析：：，即 。 是 的必要不充分条件 且 。由 得 且 ，即 ；又 长度为 ，为真子集。故 。 1. 用列举法表示 。 解析：。 1. 已知 ，，求 。 解析：，故 。 1. 若集合 恰有一个元素，求 的值。 解析： 时 ，，符合； 时 ，（此时 ）。故 或 。 1. 设 ，，若 ，求 的取值范围。 解析：。 1. 已知 ，（即 的所有子集组成的集合），求集合 中元素的个数。 解析：，共 个（即 ）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $