第04章 平面向量 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 04 章　平面向量 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 目　录 第 04 章　平面向量 4 （一）向量的概念 4 1. 向量的定义与表示 4 2. 向量的模、零向量与单位向量 4 3. 平行（共线）向量与相等向量 4 4. 相反向量 4 （二）向量的线性运算 5 1. 向量的加法 5 2. 向量的减法 5 3. 数乘向量 5 4. 共线向量定理 5 5. 线性运算的运算律 5 （三）平面向量基本定理与坐标表示 6 1. 平面向量基本定理 6 2. 向量的坐标表示 6 3. 向量的坐标运算 6 （四）平面向量的数量积 6 1. 数量积的定义 6 2. 数量积的几何意义 7 3. 数量积的性质 7 4. 数量积的运算律 7 5. 用坐标表示数量积 7 （五）向量的应用 8 1. 平面几何中的应用 8 2. 三角形的四心及其向量表示（了解） 8 3. 物理中的应用 8 （六）典型题型与方法 8 题型一　向量的概念辨析 8 题型二　向量的线性运算与共线定理 8 题型三　平面向量基本定理与基底表示 9 题型四　数量积、夹角与模 9 题型五　坐标运算 9 题型六　向量与三角形四心 9 题型七　向量与平面几何 9 （七）易错警示 9 （八）本章小结与口诀 10 （九）巩固练习 10 A 组　选择题 10 B 组　填空题 11 C 组　解答题 11 D 组　拓展练习 11 （十）综合提升训练 11 （十一）本章知识清单（速记） 12 （十二）章末综合检测 12 （十三）补充练习 13 第 04 章　平面向量 （一）向量的概念 1. 向量的定义与表示 既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段表示：以 为起点、 为终点的向量记作 ；也可用小写字母表示，如 。向量的大小叫做向量的长度（或模）。 注意：向量由”大小”与”方向”两个要素决定，与起点位置无关（自由向量）。 2. 向量的模、零向量与单位向量 · 模：向量 的模记作 ；向量 的模记作 。 · 零向量：长度为 的向量，记作 ，规定其方向任意。 · 单位向量：长度等于 个单位长度的向量。与 （）同向的单位向量为 。 3. 平行（共线）向量与相等向量 · 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 ；规定 与任一向量平行。 · 相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 。 4. 相反向量 长度相等、方向相反的向量互为相反向量， 的相反向量记作 ，且 。 例 1　判断下列说法的正误： （1）两个向量相等，则它们的起点、终点分别相同； （2）单位向量都相等； （3）平行向量的方向一定相同。 （二）向量的线性运算 1. 向量的加法 · 三角形法则：； · 平行四边形法则：以同一起点的两向量为邻边作平行四边形，则对角线向量为和向量。 2. 向量的减法 三角形法则：同起点连终点，方向指向被减向量，即 。 3. 数乘向量 实数 与向量 的积 是一个向量，满足： · 长度：； · 方向：当 时与 同向，当 时与 反向；当 时 。 4. 共线向量定理 向量 （）与 共线 存在唯一实数 ，使 常用推论： 三点共线 。 5. 线性运算的运算律 设 ，则 · ，； · ； · ，。 例 2　化简：。 例 3　在三角形 中， 是 的中点，，用 表示 。 （三）平面向量基本定理与坐标表示 1. 平面向量基本定理 如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数 ，使 此时称 为这一平面内所有向量的一个基底。 例 4　在平行四边形 中，，用 表示 与 。 2. 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，取与 轴、 轴正方向相同的单位向量 为基底，则任一向量 有唯一表示 记作 ，其中 叫 的横坐标， 叫纵坐标。显然 ，。 3. 向量的坐标运算 设 ，，，，，则 · ； · ； · ； · 。 例 5　已知 ，，求 、、。 （四）平面向量的数量积 1. 数量积的定义 已知两个非零向量 ，它们的夹角为 （），则 数量积的结果是一个实数（不是向量）。 2. 数量积的几何意义 叫做 在 方向上的投影，故 。 投影的符号： 为锐角时为正，直角时为 ，钝角时为负。 示例：已知 ，，求 在 方向上的投影。 解：，，故投影为 。 3. 数量积的性质 · ，即 ； · ； · ； · ； · 。 4. 数量积的运算律 · （交换律）； · （数乘结合）； · （分配律）。 注意：向量数量积不满足结合律，即一般地 。 5. 用坐标表示数量积 设 ，， 为夹角，则 · ； · ； · ； · 。 例 6　已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 例 7　已知 ，，分别求 与 时 的值。 （五）向量的应用 1. 平面几何中的应用 · 三点共线：； · 线段中点： 为 中点 ； · 判断垂直、平行：转化为数量积为 、向量共线。 例 8　已知 ，， 三点共线，求 。 2. 三角形的四心及其向量表示（了解） 设三角形 的重心、外心、垂心、内心分别为 ，则： · 重心 ：； · 外心 （三边垂直平分线交点）：； · 垂心 ：； · 内心 ：（ 为三边长）。 例 9　已知 是三角形 的重心，求证 。 3. 物理中的应用 力、速度、位移等都是向量，其合成与分解对应向量的加、减法。 （六）典型题型与方法 题型一　向量的概念辨析 方法：紧扣”大小 + 方向”两要素，注意零向量、单位向量的特殊规定。 例 10　下列命题中正确的是（　　） A. 若 ，则 ； B. 若 ，则 方向相同； C. 零向量与任一向量平行； D. 单位向量都相等。 题型二　向量的线性运算与共线定理 方法：利用三角形法则、平行四边形法则；用 判断共线。 例 11　化简 。 题型三　平面向量基本定理与基底表示 方法：选定一组不共线基底，把未知向量用基底线性表示，比较系数。 例 12　在三角形 中，点 在边 上，且 ，，用 表示 。 题型四　数量积、夹角与模 方法：；夹角公式；注意 是实数。 例 13　已知 ，，，求 与 的夹角。 题型五　坐标运算 方法：把几何问题坐标化，用坐标公式统一处理。 例 14　已知 ，，求 与 的夹角。 题型六　向量与三角形四心 方法：将”四心”的几何特征翻译为向量等式，再求解。 例 15　已知 为三角形 的外心，且 ，求 。 题型七　向量与平面几何 方法：用向量表示几何元素，把”共线、垂直、相等”翻译成向量运算。 例 16　在三角形 中，，，，若 三点共线，求 。 （七）易错警示 1. 混淆向量与数量：向量有方向、不能比较大小，“”无意义；数量积的结果是实数。 1. 忽略零向量：规定 与任一向量平行，且 的方向任意，常被遗漏。 1. 共线定理条件： 中须 。 1. 数量积不满足结合律： 与 一般不相等。 1. 夹角范围：， 为负说明夹角是钝角。 1. 平行与垂直的坐标条件混淆：垂直用 ；平行用 。 1. 模的平方展开出错：，其中是 ，不能漏掉交叉项。 1. “投影”是数量： 在 上的投影为 ，可正可负，它不是向量。 （八）本章小结与口诀 知识主线：向量的概念 线性运算 基本定理与坐标 数量积 应用。 核心口诀： · 加法：“首尾相接，起点到终点”（三角形法则）； · 减法：“同起点连终点，指向被减”； · 数乘：“正同负反，零则归零”； · 共线：“唯一实数 表示”； · 数量积：“模乘模乘夹角余弦，结果是数”； · 垂直：“点积为零”，平行：“交叉相乘差为零”。 易混辨析： · 是数量，而 是向量； · 判定平行：存在 使 ，或坐标交叉积为 ；判定垂直：数量积为 ； · 求 应先算 ，别漏交叉项。 与几何的联系：三点共线、线段中点、三角形重心等结论，都可用向量简洁地表达。 （九）巩固练习 A 组　选择题 1. 下列量中是向量的是（　　） A. 质量　B. 温度　C. 位移　D. 时间 2. 已知 ，，则 等于（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 已知 ，，则 等于（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 若 ，且 ，，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 向量 的模为 。 6. 若 ，，，则 = 。 7. 已知 ，，，则 与 的夹角为 。 C 组　解答题 8. 已知 ，，，求 。 9. 已知 ，，求 。 10. 已知 ，，，求 与 的夹角。 D 组　拓展练习 11. 已知 ，， 三点共线，求 。 12. 已知 ，求与 垂直的一个单位向量。 13. 在三角形 中，， 是 的中点，用 表示 。 14. 已知 ，，，求 。 15. 已知 ，，求 及 。 16. 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 （十）综合提升训练 1. 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 2. 已知 ，，求 与 、 夹角的余弦值。 3. 已知 ，，且 ，求 。 4. 已知 是三角形 所在平面内一点，若 ，判断 是三角形的什么心。 5. 已知 ，，求 与 的夹角。 6. 已知 ，，若 ，求 。 7. 已知 ，求与 共线的单位向量。 8. 已知 ，，，求 。 9. 已知 ，，求 。 10. 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 与 。 （十一）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 向量要素 大小与方向，与位置无关 零向量 模为 ，方向任意，与任一向量平行 单位向量 模为 ；与 同向的单位向量为 除以它的模 共线定理 （） 基本定理 不共线 可作基底，表示唯一 坐标运算 加减、数乘逐分量进行 数量积定义 等于两模之积再乘夹角余弦 坐标数量积 垂直条件 平行条件 模的坐标式 夹角公式 余弦等于数量积除以两模之积 （十二）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 已知 ，，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 已知 ，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 若 与 共线，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 化简 = 。 6. 若 ，，则 = 。 7. 已知 ，，，则 = 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）已知 ，，求 、 及 ，并判断 是否垂直。 9.（13 分）已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 10.（10 分）已知 ，，求 与 的夹角。 （十三）补充练习 1. 已知 ，，求 。 2. 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 3. 已知 ，，求点 的坐标。 4. 已知 ，，求 在 方向上的投影。 5. 已知 ，，，求 。 6. 已知 ，，求 。 7. 已知 ，，求 。 8. 已知 ，，且 ，求 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与解析 第04章 平面向量 （一)向量的概念 4.相反向量 例1 解析：(1)错，相等向量只要求大小、方向相同，与位置无关；(2)错，单 位向量方向可以不同：(3)错，平行向量方向可以相同或相反。故三句话均错 误。 (二)向量的线性运算 5.线性运算的运算律 例2 解析：AB+BC=AC,故原式=AC+CA=0。 例3 解折：D为中点，故而丽+A花=五+五。 (三)平面向量基本定理与坐标表示 1.平面向量基本定理 例4 解析：AC=AB+AD=ā+i;BD=AD-AB=i-a。 高考数学知识点总结(2027版) 3.向量的坐标运算 例5 解析： ·a+b=1+3,2-1=4,1: 。 a-b=1-3,2+1=-2,3 2a-b=2,4-3,-1=-1,5。 (四)平面向量的数量积 5.用坐标表示数量积 例6 解析： |à+b2=|a+2a:b+|6=9+2×3×4×cos60°+16=9+12+16=37， 故1a+b=V37。 例7 解析：a1i~1×2+2t=0,故t=-1;a‖i~1×t-2×2=0,故t=4。 (五)向量的应用 1.平面几何中的应用 例8 解析：AB=2,2,AC=4,m-2。共线~2m-2-2×4=0,解得m=6。 2.三角形的四心及其向量表示（了解) 例9 解析：设D为BC中点，则G在AD上且AG=2GD,即GA=-2GD。 又GB+Gd=2GD,故GA+GB+GC=-2GD+2GD=0。 2 高考数学知识点总结(2027版) (六)典型题型与方法 题型一向量的概念辨析 例10 解析：A错（模相等方向可不同）；B错（可反向）；C对（规定）；D错 (方向可不同)。答案：C。 题型二向量的线性运算与共线定理 例11 解析：OA-OB=BA,故原式=BA+AB=0。 题型三平面向量基本定理与基底表示 例12 解析： ⑩=号成=号6-d,故 D=A恋+D=a+26-a= 2 a 3 3 题型四 数量积、夹角与模 例13 解析： Cos0=_ 6=-1=-1 a61x22又8e[0,ml,故0=2 9 题型五 坐标运算 例14 解折：61aE1,b=2,故cos9方，97 题型六向量与三角形四心 例15 解析：外心到三个顶点距离相等，故1OB=|OA=2。 3 高考数学知识点总结(2027版) 题型七向量与平面几何 例16 解析：BC=AC-AB=色，+3e,-2e,-e,)=-e,+4色2。 由B,D,C共线得BD=tBC,而 BD=AD-AB=λe2-2e1-e2=-2e1+1+1e2. 比较系数：-2=t×-1,即t=2:1+1=4t=8,故1=7。 (九)巩固练习 参考答案 1.C。2.A。3.A(1×3+2×-1=1)。4.B(2+2t=0→t=-1)。 55.64.7背(s0=23= 2×32）。 8.12ā-2=4a2-4à·6+62=4+0+4=8，故为22。 9.ā+b=-2,4,|a+b=4+16=25。 1nw39宝故9= 3。 参考答案 11.A3=2,2,AC=4,m-2,共线得2m-2-8=0,m=6。 12.与ā垂直的向量可取2，-1，其模为5，故单位向量为± 255 5, 13.A脑=a+. 14.à-b2=4-2×1+1=3,故a-b=3。 15.a·b=2×1+-1×3=-1:a+b=3,2,故|a+b=V13。 4 高考数学知识点总结(2027版) 16.|2à-3b=4×9+9×16-12×0=180,故为65。 (十)综合提升训练 参考答案 1.|a+6=4+9+2×2×3×c0s120°=13-6=7，故为PV7。 2.ab=2×1+-1×3=-1:a=5,61=V10,cos0==-2。 3.由垂直得(a+2a-=|à+ài-2=0,即9+ai-8=0,故 ai=-1。 4.由GA+GB+GC=0(重心特征)，故O为三角形的重心。 5.ā：6=0，故夹角为2（两向量垂直）。 6.(à+6à-b=|a2-62=0,即5-4+t2=0,故t=±1。 72.=5,故与ā共线的单位向量为±35 34 8.AB=-1,1,AC=1,3,故AB·AC=-1+3=2。 9.ā+2b=4,5,b-a=-1,1,故其数量积为4×-1+5×1=1。 10.a·6=2×3×cos120°=-3；1a-b=4+9-2×-3=19,故|a-b=V19。 (十二)章末综合检测 参考答案 1.A(2×-1+1×3=1)。2.A。3.A(1×4-2k=0→k=2)。4.B( c0s0=、1 V2、 1×V2-2）。 5.AD。6.0.7.13(V4+9)。 高考数学知识点总结(2027版) 8.1a=5,16=V5,a·6=1×2+2×-1=0,故a1b。 9. |a+2i=|a+4à·6+46P=16+4×6+4×9=16+24+36=76, 故 |a+26=2V19。 10.à-6=1x-2+2×1=0,放夹角为受. (十三)补充练习 参考答案 1.2à-36=4，-6-3,6=1，-12。 2.1ā+26=1+0+4=5的平方，即5，故为5。 3.设Bx,y,则x-1,y-1=2,3,故B3,4。 ab-3-2-1_5 4投影为5店5· 5.|a+6=4+2×2+4=12,故1a+6=23。 6.a+b=3,0,a-b=-1,2,故其数量积为3×-1+0×2=-3。 7.AB=2,4,故|AB=V4+16=25。 8.由a·b=x+8=10得x=2。 6