解题大招49 平面向量的三大秒杀技：极化恒等式、矩形大法、等和线定理（5大题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦平面向量三大核心技巧，构建"原理-模型-应用"完整体系，通过极化恒等式、矩形大法、等和线定理实现复杂问题秒杀，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |极化恒等式|1典例+3跟踪训练|平行四边形与三角形模型，数量积转化为中线与边长关系|从代数恒等式证明到几何意义，再到数量积求值与范围问题| |矩形大法|1典例+3跟踪训练|矩形恒等式及推广，距离平方和问题构造矩形模型|基于矩形对角线性质，简化向量模长平方关系运算| |等和线定理|2典例+5跟踪训练|等和线与基底系数和关系，平行线截距定k值|由三点共线推导定理，结合相似转化系数和求值与范围|

解题大招49 平面向量的三大秒杀技：极化恒等式、矩形大法、等和线定理 知识点01 极化恒等式 1.极化恒等式 设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式. 2．极化恒等式的证明过程 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 3.极化恒等式的几何意义 平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即·＝(｜｜2－｜｜2). 4.极化恒等式的两种模型 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点02 矩形大法 1. 基本原理与公式（熟记） (1)矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： (2)拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. 2．衍生结论 在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 知识点03 等和（高）线定理 1．等和（高）线定理 (1)由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 2．等和线的几个重要结论 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 题型01 矩形大法的应用 平面向量题出现一点到四个顶点距离平方关系，优先考虑矩形大法.核心是矩形恒等式，可推广至对角线互相平分的四边形，快速建立四条线段模长平方等式. 遇到动点求距离平方和、最值问题，构造矩形模型，转化向量模长条件，简化运算. 结合向量线性运算，利用矩形对角线性质，实现向量拆分.解题关键是识别平方和结构，合理建系或构造矩形，避开复杂坐标运算. 【典例1】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【答案】D 【解析】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 故选D 【跟踪训练】 1．在四边形中，，，则的最小值为 . 2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 3．在四边形中，，，则的最小值为 . 题型02 利用极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积的使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 【典例2】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 【跟踪训练】 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 2．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 3.（25-26高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 题型03 利用极化恒等式求数量积的取值范围 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 【典例3】（25-26高三下·江西）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 【跟踪训练】 1.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 题型04 利用等和线定理求值或最值 1.在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值或最值时，需要先通过变换基向量，使得需要研究的代数式为基的系数和，再去找基向量的等和线，转化为线段比例关系求解. 2.要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线. 【典例4-1】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，则． 故选：A． 【典例4-2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【跟踪训练】 1．(2026·安徽六安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A.1 B. C. D. 2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 题型05 利用等和线定理求取值范围 遇到平面向量线性表示 求 范围，优先用等和线定理. 固定基底 ，先确定 对应的基线 ；平行移动这条直线，得到不同 值. 观察动点 所在区域，读取等和线在基底方向上的截距，直接确定 上下范围. 核心是抓住平行线，分清同向放大、反向缩小；注意基底起点必须相同，结合图形边界判断范围，避开复杂坐标运算. 【典例5】（2026·山东烟台·模拟）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【跟踪训练】 1．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 2.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 3．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是 1.设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 2.已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 4．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 5．如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A.B.C.2 D.2 6.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 11．已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 12．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 15．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 16．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招49 平面向量的三大秒杀技：极化恒等式、矩形大法、等和线定理 知识点01 极化恒等式 1.极化恒等式 设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式. 2．极化恒等式的证明过程 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 3.极化恒等式的几何意义 平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即·＝(｜｜2－｜｜2). 4.极化恒等式的两种模型 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点02 矩形大法 1. 基本原理与公式（熟记） (1)矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： (2)拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. 2．衍生结论 在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 知识点03 等和（高）线定理 1．等和（高）线定理 (1)由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 2．等和线的几个重要结论 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 题型01 矩形大法的应用 平面向量题出现一点到四个顶点距离平方关系，优先考虑矩形大法.核心是矩形恒等式，可推广至对角线互相平分的四边形，快速建立四条线段模长平方等式. 遇到动点求距离平方和、最值问题，构造矩形模型，转化向量模长条件，简化运算. 结合向量线性运算，利用矩形对角线性质，实现向量拆分.解题关键是识别平方和结构，合理建系或构造矩形，避开复杂坐标运算. 【典例1】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【答案】D 【解析】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 故选D 【跟踪训练】 1．在四边形中，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 3．在四边形中，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 题型02 利用极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积的使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 【典例2】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 【跟踪训练】 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 2．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 所以，则, 因为，又，由极化恒等式可得， . 故选：B. 3.（25-26高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以由极化恒等式得． 故选：B. 题型03 利用极化恒等式求数量积的取值范围 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 【典例3】（25-26高三下·江西）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 【跟踪训练】 1.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 2.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 与交于点，由得： ， 所以四边形是菱形，且，则，， 由图知，，而， ∴， 同理，，而， ∴， ∴， ∵点是圆内一点，则，∴， 故选：A. 3.（2026·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 题型04 利用等和线定理求值或最值 1.在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值或最值时，需要先通过变换基向量，使得需要研究的代数式为基的系数和，再去找基向量的等和线，转化为线段比例关系求解. 2.要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线. 【典例4-1】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，则． 故选：A． 【典例4-2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【跟踪训练】 1．(2026·安徽六安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】(1)法一(常规法)：因为E为线段AO的中点，所以＝＋)＝＝＋＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B. 法二(等和线法)：如图，AD是定值为1的等和线，延长BE交AD于点F，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝.故选B. 2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 【答案】2 【解析】法一：以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，则A(1，0)，B，设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α).由＝x＋y＝，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二：令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图②，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 题型05 利用等和线定理求取值范围 遇到平面向量线性表示 求 范围，优先用等和线定理. 固定基底 ，先确定 对应的基线 ；平行移动这条直线，得到不同 值. 观察动点 所在区域，读取等和线在基底方向上的截距，直接确定 上下范围. 核心是抓住平行线，分清同向放大、反向缩小；注意基底起点必须相同，结合图形边界判断范围，避开复杂坐标运算. 【典例5】（2026·山东烟台·模拟）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【跟踪训练】 1．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【解析】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 2.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】[1,4] 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 3．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是 【答案】 【分析】如图所示，连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①时，．②及点位于线段上时，．③除了①、②的情况满足，．综上可得：． 【解析】如图所示，    连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点． ①，，，，化为， 与向量，为实数）比较可得：． ②，又，． ，又， ，即，此时． ③当点位于线段上时，记作，则，此时． ④当点不在线段上时，． ． 综上可得：．即 1.设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】由极化恒等式得 故选：A. 2.已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 3.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 【答案】C 【解析】连接PO(图略)，由向量极化恒等式知·=-=-=9-4=5. 故选：C 4．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 5．如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A.B.C.2 D.2 【答案】C 【解析】设圆O与AB，AC边分别相切于点E、点N，由题知，＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，如图，作出定值k为1的等和线DE，DE与BO相交于点P，AC是过圆上的点最远的等和线，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C. 6.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 7．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 8．（2026·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，所以. 故选：A. 9．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆的圆心， 因为，所以， 当弦的长度最短时，， 在中，由正弦定理知，外接圆半径，即， 所以， 因为，即， 所以， 因为点为线段上的动点， 所以当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 综上，， 所以．    故选：D． 10．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】如图所示，令，，，易知， 则作矩形，根据矩形大法可知， 即， 根据，， 即， 11．已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 12．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，则，， ， 当且仅当且时取等号， 13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2． 令，则由 得． 由三点共线可得 14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 【答案】3 【解析】如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 15．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 16．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $