第06章 三角函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 06 章　三角函数 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 目　录 第 06 章　三角函数 4 （一）三角函数 4 1. 任意角与弧度制 4 2. 任意角的三角函数定义 4 3. 同角三角函数的基本关系 5 4. 诱导公式 5 5. 三角函数的图象与性质 5 6. 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与变换 6 （二）三角恒等变换 6 1. 两角和与差的三角函数 6 2. 二倍角公式 6 3. 降幂公式与半角公式 7 4. 辅助角公式 7 5. 三角恒等变换的常用技巧 7 （三）解三角形 7 1. 正弦定理 7 2. 余弦定理 7 3. 三角形的面积 8 4. 解三角形的应用 8 （四）典型题型与方法 8 题型一　三角函数定义与符号 8 题型二　同角关系与诱导公式 8 题型三　三角函数的图象与性质 8 题型四　三角恒等变换 8 题型五　正弦、余弦定理的应用 9 题型六　解三角形中的最值与范围 9 （五）易错警示 9 （六）本章小结与口诀 9 （七）巩固练习 10 A 组　选择题 10 B 组　填空题 10 C 组　解答题 10 D 组　拓展练习 10 （八）综合提升训练 11 （九）本章知识清单（速记） 11 （十）章末综合检测 12 （十一）补充练习 13 第 06 章　三角函数 （一）三角函数 1. 任意角与弧度制 任意角：按逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针为负角，不作旋转为零角。 终边相同的角：与角 终边相同的角的集合为 弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角为 弧度。（ 为弧长， 为半径）。 角度与弧度： 弧度， 弧度， 弧度 =。 弧长与扇形面积（ 为弧度数）： · 弧长 ； · 扇形面积 。 例 1　把 化为弧度，把 化为角度。 例 2　已知扇形半径为 ，圆心角为 ，求其弧长与面积。 2. 任意角的三角函数定义 设角 终边上任一点 （异于原点），，则 三角函数在各象限的符号： · ：一、二象限为正； · ：一、四象限为正； · ：一、三象限为正。 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。 3. 同角三角函数的基本关系 例 3　已知 ，，求 与 。 4. 诱导公式 · 公式一：，，； · 公式二：，，； · 公式三：，，； · 公式四：，，； · 公式五：，； · 公式六：，。 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 例 4　求 与 。 5. 三角函数的图象与性质 函数 定义域 值域 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性： · 在 上递增，在 上递减； · 在 上递增，在 上递减； · 在 上递增。 对称性： 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称中心为 。 6. 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与变换 设 ，，则 · 振幅 ，周期 ，频率 ，初相 ； · 值域为 。 图象变换： · 由 向左（）或向右（）平移 个单位，得 ，再横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍； · 或先把横坐标变为 倍，再平移 个单位（注意平移量）。 例 5　求函数 的振幅、周期与初相。 （二）三角恒等变换 1. 两角和与差的三角函数 例 6　求 的值。 2. 二倍角公式 例 7　已知 ，，求 与 。 3. 降幂公式与半角公式 4. 辅助角公式 例 8　化简 。 5. 三角恒等变换的常用技巧 · 统一函数名：化为同名三角函数； · 统一角：化为同角（如把 化为 ）； · 降幂与升幂：利用二倍角公式降幂； · “1”的代换：； · 切化弦：把 化为 。 （三）解三角形 1. 正弦定理 其中 为三角形 外接圆的半径。 常用变形：；。 适用情形：已知两角与一边，或已知两边与其中一边的对角。 例 9　在三角形 中，，，，求 。 2. 余弦定理 （其余两边同理） 适用情形：已知三边，或已知两边及其夹角。 例 10　在三角形 中，，，，求 。 3. 三角形的面积 例 11　在三角形 中，，，，求面积 。 4. 解三角形的应用 · 测量距离：构造三角形，用正弦定理、余弦定理求解； · 测量高度：利用仰角、俯角构造直角三角形； · 测量角度：结合方位角。 （四）典型题型与方法 题型一　三角函数定义与符号 方法：由终边上点的坐标求三角函数值；由象限判断符号。 例 12　已知角 的终边经过点 ，求 、、。 题型二　同角关系与诱导公式 方法：利用平方关系、商数关系，配合诱导公式化简。 例 13　化简 。 题型三　三角函数的图象与性质 方法：整体代换，把 看作一个整体。 例 14　求 的单调递增区间。 题型四　三角恒等变换 方法：和差、倍角、辅助角公式的综合运用。 例 15　求 的最大值。 题型五　正弦、余弦定理的应用 方法：已知两角一边用正弦定理；已知两边夹角或三边用余弦定理。 例 16　在三角形 中，，，，求角 。 题型六　解三角形中的最值与范围 方法：结合余弦定理与基本不等式求最值。 例 17　在三角形 中，，，求 的最大值。 （五）易错警示 1. 角度与弧度混用：同一式子中不能既用角度又用弧度。 1. 诱导公式符号：使用”符号看象限”时，把 视为锐角来判断原函数符号。 1. 定义域忽视： 在 处无定义。 1. 正弦定理多解：已知两边及其中一边的对角时，可能有两解、一解或无解，需讨论。 1. 周期公式： 的周期为 （注意绝对值）。 1. 余弦定理使用：判断三角形形状时，注意最大角对应的边。 1. 辅助角公式的角：，但 所在象限由 共同确定。 （六）本章小结与口诀 知识主线：任意角与弧度制 三角函数定义与公式 图象与性质 恒等变换 解三角形。 核心口诀： · 诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”； · 符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； · 和差公式：“正余余正，余余正正”； · 二倍角：“余弦三变”（三个等价形式）； · 辅助角：“一提二配三定角”； · 解三角形：“知三求余，边角互化”。 （七）巩固练习 A 组　选择题 1. 的值是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 函数 的最小正周期是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 已知 ，且 是第一象限角，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 用 表示正确的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 把 化为角度为 。 6. 在三角形 中，，若 ，，，则 = 。 7. = 。 C 组　解答题 8. 已知 ，且 ，求 与 。 9. 在三角形 中，，，，求边 。 10. 求函数 的最大值与最小正周期。 D 组　拓展练习 11. 计算 。 12. 化简 。 13. 在三角形 中，，，，求 与面积 。 14. 求 的对称轴方程。 （八）综合提升训练 1. 已知 ，求 。 2. 求函数 的最大值。 3. 在三角形 中，，，，求最大角。 4. 已知 ，求 。 5. 求 的单调递增区间。 6. 在三角形 中，，，求外接圆半径 。 7. 化简 。 8. 在三角形 中，已知 ，求角 。 （九）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 弧度制 ；弧长 扇形面积 ，即 平方关系 商数关系 正切等于正弦比余弦 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 和差公式 正余余正，余余正正 二倍角 正弦二倍、余弦三形式、正切二倍 辅助角 化为 乘正弦 正弦定理 边比对应角正弦，皆等于外接圆直径 余弦定理 一边平方等于另两边平方和减两倍积乘夹角余弦 面积公式 两边与夹角正弦乘积的一半 周期公式 周期为 除以 的绝对值 （十）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 的值是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 函数 的最小正周期是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 若 是第二象限角，则（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 在三角形 中，，，，则 =（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. = 。 6. 已知 ，则 = 。 7. 在三角形 中，，，则外接圆直径 = 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）已知 ，，求 与 。 9.（13 分）在三角形 中，，，，求 与面积 。 （十一）补充练习 1. 把 化为弧度。 2. 已知 ，且 为第一象限角，求 与 。 3. 求 的值。 4. 化简 。 5. 在三角形 中，，，，求 。 6. 求函数 的最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与解析 第06章三角函数 (一)三角函数 1.任意角与弧度制 例1 解析：120°=120×C-27:5亚=5×180=150。 1803；66 例2 解析：弧长13×2=2元，面积S=号×32×27=3元。 3 3 3.同角三角函数的基本关系 例3 解析：&在第二象限，cosa<0。由cos2a=1-sin2a=1-9=16 25-25 得cosa=- sina_3/5_3 c0sa-4/54° 4.诱导公式 例4 解析： 6, 故 sin 7-si =-1 5=π+ 6 6-2 4, 故 5刀=-0s=- 2 cos 4 42。 6.函数y=Asin(wx+p)的图象与变换 例5 解析：A=2,T=受=，初相9=子。 高考数学知识点总结(2027版) (二) 三角恒等变换 1.两角和与差的三角函数 例6 解 析 cos15'=cosl45-30'=cms45c0s30°+sin45'sin30=2×3,2×1-6+2 2 222 4 2.二倍角公式 例7 解析：由例3得 c0sa=-4 5。故sin2ar=2 sin cosa=2× 24 5 5 25: cos2a=1-2sin'a=1-2×9=7 2525° 4.辅助角公式 例8 解析： s1nx+cosx=22 sinx+ -cosx=V2sin 2 (三) 解三角形 1.正弦定理 例9 2 2× 解析：由正弦定理 sinAsinB,得b=0sinB 2 -=2V2 sin A 2 2.余弦定理 例10 2 高考数学知识点总结(2027版) 解析：c2=a2+b2-2abc0sC=9+16-2×3×4×号=25-12=13，故c=13 3.三角形的面积 例11 S=zabsin C= 1 解析： 3 ×3x4x 2 =33。 (四) 典型题型与方法 题型一 三角函数定义与符号 例12 解析：r=-3+4=5,故sina=亏，cosa=- tana=- 3。 题型二同角关系与诱导公式 例13 解析：sinn-a=sina,cos2n-a=cosa,cos +a=-sina, 21 故原式= sinacosa=-cosa&。 -sina 题型三 三角函数的图象与性质 例14 解析：令-乃+2m≤2x-公≤号+2，解得 6=2 -+k≤x≤+kk∈Z, 6 即递龄区间为一名+红号+aL. 题型四 三角恒等变换 例15 高考数学知识点总结(2027版) 3 解析：y=2 sinx+. cosx=2sinx+ 3, 故最大值为2。 题型五 正弦、余弦定理的应用 例16 解析：cosC=+62-c-9+16-13-21 2ab 24型247，故C=60. 题型六解三角形中的最值与范围 例17 解析：由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,故 bc≤4，当b=c=2时取等，最大值为4。 (七)巩固练习 参考答案 1.A。2.C。3.A(第-象限cos>0)。4.A。 560.6×2×3×分3 22.71。 8.a在第三象限，sina<0,由 sin'a=1-16=9 2525 得 sina=- 5 tana= sina_3 cosa 4 9.a-b2+c2-2 bccosA=4+9-2×2×3×号-13-6=7，故a=V7. 2 10.最大值3，最小正周期T=2”=元。 参考答案 11.sin15cos15°=2sin30°=1 2 4 sin2a 2sing cosa=tana 12.1+c0s20 2cosa 4 高考数学知识点总结(2027版) 13.c2=4+12-2×2×293×盟=16-12=4，放c-2:s×2×23×号5。 14由X-石-得X=君+(ke2). (八)综合提升训练 参考答案 1.分子分母同除以c0sa: tana+1=3-3. tana-1 1 2.令t=cosx∈[-1,1]，y=1-t+2t=-t-1+2,当t=1(x=2m)时最大 值为2。 3.最大角对应最长边c=7,c0sC=9+25-49=-15=1 2×3×5=30-2,故C=120°。 4.两边平方：1+sin2a= 4故sin2a=-3 4° 5.y=2sinx-6 Tπ 由 +2m≤x-≤亚+2km 2 62 得递增区间 2L+2k]。 【-号+2a, 2R=Q=23 6 =4 「sinA3,故R=2。 2 7.cos'15'-sin215*=c0s30-3 29 8.由条件a+b-c2=3ab,即。2+6-c2=ab,故cosC=a+bC 2ab 2, C=60°。 高考数学知识点总结(2027版) (十)章未综合检测 参考答案 1.A。2.B。3.B。4.B(c2=1+3=4,c=2)。 51.62×对1=子22R=0品-4 9 sinA 1/2 防-呢-号黄ne=尝m2a1-2发 25 25 9. a2=b2+c2-2bcco5A=4+9-2×2x3×2=13-6=7, 2 故 a=7: S=×2×3×3-33 。 (十一)补充练习 参考答案 1.-60°=- 3 2.tana=1且第一象限，故&= 4（一个值)，sina=2 cos a=2 3.c0s π ,π_1 =CO 32 4.原式cosa·cosa--sinasina=cos2a+sin2a=1。 sin B=bsinA 2x股 5.由正弦定理 2_1,且b<a故B<A=45°，故B=30 a 21 2 6yn2x,最大值为是 6