三角函数专练-2027届高三数学上学期一轮复习

**基本信息** 以题载法构建三角函数“定义-公式-性质-应用”全链条训练，融合数学思维与数学语言，实现从基础到综合的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|单选1-3、填空12|同角关系转化、二倍角公式、辅助角公式|从三角函数定义生成同角关系，推导二倍角公式，拓展辅助角化简| |函数性质分析|单选4-8、多选9-11、填空13-14|图像变换、对称性判断、周期计算、零点分析|由函数解析式研究周期性、对称性，结合图像解决零点与交点问题| |综合应用|解答15-19|三角恒等变换、不等式求解、新定义问题论证|整合公式与性质，通过推理运算解决实际问题，培养数学表达能力|

三角函数专练-2027届高三数学上学期一轮复习 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若的零点恰为的零点，则的最大值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（    ） A．点O B．点P C．点Q D．点R 6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期为 C．的一个零点为 D．的值域为 10．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，若曲线关于点对称，则满足条件的的可能值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知角的终边经过点，则______. 13．若，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则______. 14．已知函数（，），为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，且在区间上单调，则______，______. 四、解答题 15．已知，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数为奇函数，求的最小值. 17．已知角以轴的非负半轴为始边，终边落在第二象限，且与单位圆交于点． (1)求、、的值； (2)化简再求值：． 18．已知函数的最小正周期是. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若当时，方程恰好有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值. 19．对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《三角函数专练-2027届高三数学上学期一轮复习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C C B B D BCD BD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】根据同角的三角函数关系转化进行计算即可. 【详解】因为， 故原式可化为. 2．D 【详解】正切函数的周期是，定义域为， 在每个区间上单调递增， 由，在一个周期内，解得， 所以解集为. 3．C 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小即可. 【详解】对于； 对于； 对于； 而正弦函数在上单调递增，因此 ，故. 4．C 【分析】分别求出两个函数的零点集合，根据两集合相等的条件，结合正弦函数的有界性求解整数的最大值. 【详解】 设，，由题意得， 求解集合：由，可得，显然恒成立； 求解集合：由，得，即，， 要满足，需不存在使得（且）， 利用正弦函数有界性：对任意，，故， 要使区间内不存在非零的整数倍，需满足， 由于，且，因此整数的最大值为3. 5．C 【详解】圆的半径，周长， 已知，，，是圆上的四等分点，则， 线段长度为，沿圆逆时针缠绕，从出发，走到，再走到， 故点与圆上重合的点是． 6．B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 7．B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】已知角的终边经过点，由于点到原点的距离， 根据三角函数的定义，有，， . 8．D 【分析】先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，， 所以，根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，，则， 所以. 9．BCD 【分析】根据正弦型函数的对称性、周期、值域求解即可. 【详解】对于A，正弦函数的对称轴为，. 令，，则，，不存在整数，使得，A错误. 对于B，的最小正周期为，B正确. 对于C，当时，，所以的一个零点为，C正确. 对于D，正弦函数的值域为，所以的值域为，D正确. 10．BD 【分析】先由已知条件求，并结合的符号确定所在区间，从而确定 的值，再利用求，并用二倍角公式求，最后利用同角关系和两角差公式求，逐一判断选项． 【详解】由，得， 已知，且，所以， 又已知，所以， 假设，则，故， 此时 ， 所以，与矛盾，故不在第三象限，所以， 所以，所以A错误； 由，得， 所以，所以B正确； ，所以C错误； 因为，且，所以， 所以，所以D正确． 11．AD 【详解】∵ 曲线关于点对称， ∴ 对任意，恒成立. 又， ∴ ， . 代入对称条件得 对任意成立. 由和差化积公式，令，， 则上式可化简为. ∵ 和均不恒为0， ∴ ， ∴ ，，解得，.易知BC不符合. 当时，，故A正确. 当时，，故D正确. 12． 【分析】由三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义得：，，. 13． 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再作出两个函数的草图，数形结合确定菱形顶点坐标，借助菱形的性质列式求解. 【详解】函数， 在同一坐标系内作出函数与的图象， 取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设点，则， 由，得， 由，解得或， 由，得，解得， 不妨取，得点， 则，， 由，即，所以. 14． 6 1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解. 【详解】函数的最小正周期， 由为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴， 得，即，解得， 由在区间上单调，得，即，解得，因此， 由，得，而，则， 此时，符合题意， 函数在单调递减，符合题意，所以. 15．(1)， (2) 【分析】（1）运用同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据余弦二倍角公式，结合两角和正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 结合知，，则， 故. （2）因为， 结合（1）得 . 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式求解； （2）由为奇函数，得，进而求得答案. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 17．(1)，， (2)， 【分析】（1）利用单位圆方程结合象限符号求出余弦值，再用同角关系与二倍角正切公式逐层求解；（2）先用诱导公式、完全平方公式化简分式，再切化弦约分简化式子，最后代入三角函数值计算结果. 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以．由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即．所以，． 因此． （2）由诱导公式得． 所以原式等于， 所以原式的值为． 18．(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和差公式化简函数解析式，确定的值； （2）解三角不等式，利用整体代换思想解得的范围； （3）首先令，则根据有两个不同的根可以理解为直线与的图象有两个交点，即可求得实数的取值范围，再由对称性求得即可求得的值. 【详解】（1）因为， 所以. 因为函数的最小正周期，且，所以，解得. 因此. （2）不等式，即. 根据正弦函数的图象，解不等式，得. 令，代入得， 解得. 故不等式的解集为. （3）令，当时，， 方程恰好有两个不同的根等价于 在上的图象与直线有两个交点. 在上的大致图象，如图. 结合在上的图象，得 当时，直线与的图象有两个交点， 因此实数的取值范围为. 由正弦函数图象的对称性知，若，则，即， 整理得，故. 19．(1)； (2)由题意得“对任意，为‘跃点’函数”等价于： 对任意实数，关于的方程都有解， 所以当时，方程有解，即 所以， 反之，当时，， 则, 等价于, 显然，是此方程的解，故此方程对任意实数都有实数解． 综上所述，“”是“对任意， 为‘跃点’函数”的充要条件． (3)． 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）先将对任意 ， 为 跃点函数等价转化为对于任意实数，关于 的方程都有解，然后利用取特殊值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）由跃点定义代入函数化简为，问题转化为该方程在上解的个数等于，因函数周期为，结合图象分类讨论即可． 【详解】（1）（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）略． （3）令， 由已知得，， 化简得， 函数的最小正周期为， 根据该函数在上的图象分析： ①当时，函数在上有个“”跃点，故不可能有个跃点； ②当时，函数在上有个跃点，此时， ③当或时，函数在上有个跃点，故 综上，所有符合条件的分别为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $