1.2集合间的基本关系课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2集合间的基本关系 生长型课堂结构化课时作业 一．作业设计基本信息 项目 内容 作品名称 1.2集合间的基本关系生长型课堂结构化课时作业 学段年级学科 高中高一上学期（人教A版必修第一册）【数学】 对应章节 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 建议作业时长 课前自主学习任务：10分钟； 课中课堂探究任务：课堂内完成（不计入课后作业时长）； 课后书面分层作业：55-60分钟. 作业类型 生长型结构化课时作业；任务划分为【课前自主学习任务】【课中课堂探究任务】【课后分层作业】三大部分，融合基础巩固、能力提升、新定义创新、数学文化、错题反思. 设计者 汪孝 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 （1）课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象（渗透数学运算、数学建模），需达成必修课程主题1集合与常用逻辑用语对应的学业质量水平1‑2学业质量标准 （2）教材地位：本单元课时承载的核心概念为子集、真子集、集合相等、空集；核心方法为Venn图、数轴、从特殊到一般的归纳推理、分类讨论；价值观方面，实现初高中数学思维从具象到抽象的过渡，借助数学文化增强文化自信，培养反思纠错的学习习惯；本节课是集合章节的核心课时，承接集合概念与表示，同时为后续集合运算、常用逻辑用语的学习奠定基础。 （3）教学重难点：子集、真子集、集合相等、空集的概念辨析，集合间关系符号使用，有限集合子集个数规律；难点：区分与，空集相关问题，含参数集合的包含关系中分类讨论与端点取舍。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生初中已经学习数系分类、数集、不等式解集，能够识别矩形、正方形等集合实例，会列举简单集合，具备初步的实例观察、归纳的经验，但尚未系统学习集合之间的包含关系。 现有困惑 极易混淆元素属于符号和集合包含符号；对空集的规定理解模糊，分不清与；处理含参数集合包含关系时容易忽略空集情况，端点等号取舍经常出错；缺少符号语言、图形语言相互转化的训练。 差异分析 一部分学生理解能力强，可以快速掌握概念，有能力完成含参综合、新定义、数学文化拓展习题；中等学生能够掌握基础概念与简单判断，但面对变式、多步骤参数问题思考不完整；学困生可以识记基础概念，但容易混淆符号，复杂综合题难以独立完成，需要依托基础分层任务巩固概念。 3.设计意图 本作业采用生长型课堂理念，落实《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》集合单元教学要求，遵循学生认知生长路径：课前自主生长（初高中衔接，搭建旧知到新知桥梁）→课中探究生长（概念辨析、例题实操、规律归纳）→课后延伸生长（分层梯度训练，错题溯源+反思生长）.以集合的基本关系为载体，借助Venn图、实例辨析、归纳猜想，落实集合子集、真子集、相等、空集、子集个数规律核心概念；设置分层习题适配不同层次学生，嵌入数学文化、新定义情境，引导学生自主纠错反思，实现知识、能力、核心素养循序渐进生长. 三．作业设计目标 （一）知识目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念，掌握符号 、、、、 的含义，能读懂、书写集合之间的关系. 2.会使用Venn图表示集合间的包含关系，掌握空集两条重要规定：； 是任何非空集合的真子集，重点辨析 、 易混对象. 3.掌握有限集合子集、真子集、非空真子集个数公式： 个元素集合，子集 个，真子集 个，非空真子集 个. 4.能够辨析“元素属于 ”与“集合包含 ”两类符号的本质区别. （二）能力目标 1.辨析判断能力：可以准确判断两个集合之间子集、真子集、相等关系，甄别空集相关易错命题. 2.归纳推理能力：通过列举有限集合的子集，归纳出 子集个数规律，体会从特殊到一般推理方法. 3.数形结合能力：借助Venn图可视化集合关系，利用数轴处理含参数集合的包含关系问题. 4.迁移应用能力：面对数学文化、新定义创新题型，完成信息读取、知识迁移解决陌生情境问题. （三）素养目标 重点素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象；渗透素养：数学运算、数学建模. 1.数学抽象：从数系、几何图形实例抽象出子集、真子集、空集数学概念. 2.逻辑推理：子集个数归纳、集合关系判断、新定义证明，训练演绎推理与合情推理. 3.直观想象：利用Venn图、数轴直观表达集合间关系，建立图形与符号双向转化. 4.数学运算（渗透）：求解含参数集合，结合集合包含关系求解参数取值范围. 5.数学建模（渗透）：数学文化古题，把实际问题转化方程组+集合包含模型求解. （四）育人目标 1.通过初高中知识衔接，帮助学生平稳完成从初中具象到高中符号抽象思维过渡（间接达成效果）. 2.设置错题溯源、反思生长模块，培养学生自我诊断、复盘纠错的良好学习习惯. 3.引入《九章算术》数学文化素材（供选做层级学生使用），感受中国古代数学成就，增强文化自信. 4.分层任务尊重学生个体差异，让不同水平学生都可以获得成功体验，树立学习自信心. 四．作业整体结构（梯度） 本课时作业分为三大模块，七层梯度，遵循“预习生长→探究生长→延伸生长→元认知反思”认知路径. 作业模块 层级定位 对应题号 任务说明 建议时长 实施提示 模块一： 课前预习—自主生长 基础感知层 1-11 1.初高中衔接5道小题，从数系、图形、解方程解集类比引出集合包含关系； 2.教材概念填空，自主阅读教材完成概念表格，生成预习疑问. 10分钟 课前自主完成；激活已有旧知，带着疑问进入课堂. 模块二： 课中交流—探究生长 概念建构层 12-17 1.子集判断、集合相等、真子集、空集辨析； 2.列举集合子集，归纳子集个数公式； 3.绘制本课时知识结构图. 梯度逻辑：实例判断→表格辨析→例题模仿→归纳一般规律→结构化知识梳理. 课堂内完成，不计入课后作业时长 课堂随堂完成，使用课堂教学时间；以小组交流、课堂探究形式当堂建构概念. 模块三： 课后巩固—延伸生长—子模块1 知识生长 （全员必做） 18-20 回归课本基础习题，巩固集合核心概念与符号使用. 8-10分钟 全体学生必须完成，落实基础知识底线. 模块三： 课后巩固—延伸生长—子模块2 思维生长 （全员必做） 21-24 选择、多选题，基础-中档难度，训练集合关系判断、简单参数分析. 15分钟 全体学生必须完成，夯实基础思维. 模块三： 课后巩固—延伸生长—子模块3 能力生长 【选做A】 25-26 2道解答大题，结合数轴求解含参数集合的包含关系，训练数形结合、分类讨论思想. 15分钟 建议基础扎实的学生完成；可根据自身学情自主决定完成程度，允许部分小问缓做. 模块三： 课后巩固—延伸生长—子模块4 素养生长 【选做B】 27-28 数学文化古题、集合新定义证明综合题，拓展思维边界. 15分钟 学有余力学生自主选做；遇到困难可优先跳过，不必强行完成. ⚠注：第27题第(2)小问为命题改编拓展，并非《九章算术》古籍原题. 模块三： 课后巩固—延伸生长—子模块5、6 元认知反思层（全体学生完成） 错题溯源、反思生长 子模块5：错题摘抄，勾选错误根源，制定整改措施； 子模块6：自主复盘知识、思想方法，制定后续提升计划. 5-7分钟 全体学生完成；整改措施拒绝套话，可参考示例书写，形成学习闭环. 五．具体作业内容 模块一：课前预习--自主生长 任务 1：初、高中衔接--自然生长 1.初中数系分类：自然数集 、整数集 、有理数集 、实数集 ，范围由小到大依次为：___________________________ . 2.辨析范围：所有正数一定是实数吗？所有实数一定是正数吗？用文字描述两者范围之间的从属关系. 3.图形范围思考：矩形与正方形，哪个范围更大？ 和 谁包含谁？ 4.解方程：，解集为__________；解方程 ，解集为__________，观察两个解集之间存在什么关系？ 5.思考：试想存在不包含任何正数的数集，请类比猜想：一个不含任何元素的集合，和其他集合之间可能存在怎样的包含联系？ 任务 2：教材领悟--知识生长 自主填写：（阅读课本第7-8页，完成以下问题.） 6. Venn图：用平面上封闭曲线的_______代表集合，这种图称为Venn图. 7.子集 定义 一般地，对于两个集合，如果集合中____一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. 记法与读法 记作：_______（或），读作“__________”（或“包含”） 图示 或 结论 （1）任何一个集合都是它本身的子集，即_______________； （2）对于集合，若，且，则____________. 8.集合相等：一般地，如果集合的________元素都是集合的元素，同时集合的________元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作______.即若______且______，则. 9.真子集 定义 如果集合，但存在元素，且______，就称集合是集合的真子集 记法与读法 记作：______（或）读作“________”（或“真包含”） 图示 10.空集 （1）定义：一般地，我们把不含_________元素的集合叫做空集，记为_________. （2）规定：___________是任何集合的子集，即. （3）性质：空集是_____________集合的真子集. 11.预习疑问：请写出你的疑惑. 模块二：课中交流--探究生长 12.子集的判断： 判断下列各组中A是否为B的子集，并说明理由： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的正约数}.B用列举法表示为_________________________________；A_________（是/不是）B的子集，理由：_________________________________. (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}.A_________B的子集，理由：___________________________________. (3)A＝Z，B＝N.A_________B的子集，理由：_________________________；反过来，B_________A（填⊆或）. Venn图练习：在下面空白处画出A⊆B的Venn图. 13.集合相等与真子集 （1）E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}，则E_________F，理由：___________________________________. （2）子集与真子集的区别：A⊆B允许A_________B成立；AB表示A⊆B且A_________B. （3）用将N、Z、Q、R连成包含链：_________________________，并各举一个"在外不在内"的元素：_________、_________、_________. 14.空集 （1）方程x²＋1＝0的实数根组成的集合是_________（用符号表示）. （2）判断正误（对的打√，错的打×并改正）： ①⊆{0}（　　）改正：_________　 ②0∈∅（　　）改正：_________　 ③＝{0}（　　）改正：_________ ④空集是任何集合的真子集（　　）改正：_________ （3）用适当的符号（∈、∉、⊆、、＝）填空：0_____{0}；_____{0}； {0}_____{0，1，2}. 15.子集的罗列 例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 罗列口诀（听讲后补全）：先写_________，再按元素个数从_________到_________写，最后写_________；写真子集时只去掉_________. 练习：写出{a，b，c}的所有子集（写完数一数个数）： ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16.　★子集个数规律 （1）有_____个子集；{a}有_____个；{a，b}有_____个；{a，b，c}有_____个. （2）归纳：含n个元素的集合，子集共_____个，真子集_____个，非空真子集_____个. （3）道理（一句话）：每个元素都有_____两种情况，n个元素共2×2×…×2种. （4）满足{1}M⊆{1，2，3}的集合M有：_________________________，共_____个. 17.请绘制本课时知识结构图： 模块三：课后巩固--延伸生长 子模块 1：生长回顾--知识生长（全员必做，3 题） 18．已知集合，，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 19.写出所有满足的集合. 20.（北师大版（2019）必修第一册课本习题改编题）选择适当的符号（“”“”“”“”“”“”“”）填空： （1）0______，______，______， ______，______； （2）设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边形组成的集合，则A______B，B______C； （3）若集合，，则A______C． 子模块 2：筑基层--思维生长（全员必做，4 题） 21． （25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 24．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 子模块 3：提升层--能力生长（选做A，建议基础扎实学生完成，2 题） 25．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 26.已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合. 子模块 4：拓展层--素养生长（选做B，学有余力学生完成，遇到困难可跳过，2 题） 27．（数学文化题）《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等. (1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题； (2)在（1）的条件下，设集合，，若，求p的取值范围. 28．（新定义创新题）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 子模块 5：错题溯源--纠错生长（全员必做） 错题摘抄：________________________ 错误根源：□概念理解偏差 □步骤书写不规范 □作差变形失误 □审题疏漏 整改措施：________________________ （示例参考：区分 与 ：元素和集合之间用 ，集合与集合之间用 .） 子模块 6：反思生长（从知识、思想、方法、能力和素养方面）（全员必做） 本节课 + 本次作业我的收获：________________________ 后续提升计划：________________________ （示例参考：整理本课时错题，重点巩固空集参与集合包含、与符号辨析两类易错题型.） 六．分层评价体系与评价原则 （一）分层评价体系 1. 课前预习部分（自主生长） 评价主体：学生自评+教师抽查 评价要点：① 初高中衔接题目是否完成；② 教材概念填空填写正确率；③ 是否真实写出预习疑问. 等级： A（全部完成，疑问有思考价值）； B（基本完成，少量空）； C（预习完成度较低，存在较多空白，预习疑问未填写）. 注：不主观判定学生“未阅读教材”，允许预习存在不会、空白. 2. 课中交流探究部分（探究生长） 评价主体：课堂小组互评+教师课堂点评 评价要点：集合关系判断理由书写；子集列举有无遗漏；子集个数规律归纳；Venn图、知识结构图 绘制完整性. 重点关注：空集易错判断题、区分 与 符号. 等级： A：概念理解准确，理由完整，结构图完整； B：少量概念疏漏； C：概念混淆，理由缺失. 3. 课后巩固分层作业评价 1）全员必做题（子模块1、2）：全体学生必须完成，教师全批全改. 评分：按得分率划分：合格（）、良好（）、优秀（）.重点标记符号混淆、空集概念错误高频错题. 客观题除看答案，同步核查草稿、Venn图、数轴草图作为过程依据. 2）选做A（子模块3，建议基础扎实学生完成）：重点评价含参数集合的分类讨论，数轴使用，等号取舍是否完整.学生可以根据学情自主决定完成程度，允许部分小问缓做. 3）选做B（子模块4，学有余力学生自主选做）：数学文化、新定义证明题，不只看答案，重点评价审题建模、逻辑证明书写过程.采用等级制：优秀（建模正确，推理严谨）、合格（思路大体正确，少量漏洞）、待改进（无法读懂新定义）. 4. 错题溯源与反思生长模块（全体学生完成） 评价主体：学生自评，教师二次批阅. 评价：是否摘抄典型错题；错误根源归类是否准确；整改措施、学习反思是否具体，拒绝套话，提供整改示例供学生参考. （二）评价原则 1.分层适配原则：对不同层次任务使用不同评价标准；不使用统一标尺衡量全部学生；学生完成哪一层任务就执行对应层级评价. 2.重过程不只重结果原则：不只盯最终答案，关注理由书写、作图、分类讨论步骤、证明逻辑.例如集合判断题，理由写对即使答案小失误也给予部分得分；客观题参考草稿、作图痕迹评判过程. 3.概念优先原则：本课时极易混淆 与 、空集 与 ，评价优先甄别概念理解错误，概念错误作为核心反馈点. 4.激励性评价原则：肯定学生预习疑问、知识结构图、反思复盘；对于选做题允许学生不会做，重在引导思考. 5.反馈闭环原则：作业批改后，针对高频错题课堂集中讲评，错题本落实整改，形成“做题-批改-讲评-纠错-反思”闭环. 七．作业设计特色亮点 1.生长型结构化设计，打通课前-课中-课后完整链条 作业不是孤立课后习题，把课前预习、课堂探究、课后巩固一体化；从初高中旧知生长出新集 合概念，课堂完成建构，课后分层巩固，符合认知发展规律. 2.突出概念辨析，直击高一高频易错点 专门设置空集辨析、 与 符号区分、子集与真子集对比、等号取舍训练，针对学生初学集 合最容易踩坑点专项训练. 3.任务分层，落实分层作业理念 习题划分为全员必做、选做A、选做B；不贴学生能力标签，教师给出学习建议，学生结合自 身学情自主选择选做题；基础题保底，中档训练思维，拓展题设置数学文化、新定义题型，满足不同层次学生发展需求. 4.重视思维方法，落实数学核心素养 充分使用Venn图、数轴，训练直观想象；子集个数从特殊集合归纳得到 一般结论，训练合 情推理；参数集合训练分类讨论；新定义训练阅读理解与逻辑证明；古题《九章算术》落实数学建模与文化育人. 5.设置错题溯源+反思生长，重视元认知能力培养 专门模块引导学生摘抄错题、归类错误根源，写学习反思，不只是刷题，培养学生自我诊断、 自我改进的学习能力，是本作业突出创新点. 6.教材母题改编为主，对接高一学业质量要求 习题大多来自人教A、北师大版教材习题改编，同时对接高一期中期末模拟试题，集合章节高 考极少单独命题，实现教材、课堂、阶段性考试三者衔接. 7.知识结构图自主绘制 第17题要求学生自主绘制本课时知识结构图，促进知识结构化. 八．作业教学反思 1. 设计反思 本作业以“生长型课堂”理念为指导，力求体现“以学生发展为本”的教学思想.在设计中，注重从学生已有知识经验出发，通过初高中衔接自然引入新概念；注重概念的形成过程，而非简单灌输；注重三种数学语言的相互转化；注重分层设计，满足不同学生的发展需求. 2. 预期效果 通过本作业的实施，预期学生能够： （1）准确理解子集、集合相等、真子集、空集的概念，并能用三种语言表达； （2）掌握子集、真子集的判断方法和子集个数规律，理解 的算理； （3）能解决简单的含参集合问题，体会分类讨论与数形结合思想； （4）形成结构化知识网络，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养； （5）养成错题反思、自我监控的良好学习习惯. 九．参考答案 1. 范围由小到大依次为： 1. 所有正数一定是实数；所有实数不一定是正数（实数还包含0和负数）. 从属关系：正数集是实数集的真子集. 1. 矩形范围更大；矩形包含正方形（正方形是特殊的矩形），即 . 1. 的解集为 ； 的解集为 ；两个解集相等. 1. 不含任何元素的集合是空集；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 1. 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn（韦恩）图. 1. 子集 分类 内容 定义 一般地，对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集. 记法与读法 记作：（或 ），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 结论 （1）对于任何一个集合，它是本身的子集，即 ； （2）对于集合 ，若 ，且 ，则 . 1. 集合相等：一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与 相等，记作 .即若 且 ，则 . 1. 真子集 分类 内容 定义 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合 是集合 的真子集. 记法与读法 记作：（或 ），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 1. 空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . （2）规定：空集是任何集合的子集，即 . （3）性质：空集是任何非空集合的真子集. 1. 预习疑问（学生自主填写） 1. 子集的判断 （1） 用列举法表示为 ； 不是 的子集，理由：，但 . （2） 是 的子集，理由：等边三角形一定是等腰三角形（三边相等必满足两边相等）. （3） 不是 的子集，理由：负整数属于整数集 ，但不属于自然数集 ；反过来，. Venn图：画一个大椭圆标注 ，内部画一个小椭圆标注 . 1. 集合相等与真子集 （1），理由：两条边相等的三角形就是等腰三角形，两个集合的元素完全相同. （2） 允许 成立； 表示 且 . （3）包含链：； 举例“在外不在内”的元素：（在 不在 ）、（在 不在 ）、（在 不在 ）. 1. 空集 （1）方程 的实数根组成的集合是 . · （2）判断正误 ① （√）改正：无需改正 ② （×）改正： · ③ （×）改正： ④ 空集是任何集合的真子集（×）改正：空集是任何非空集合的真子集 · （3）填空：；；. 1. 子集的罗列 例1 集合 的所有子集：； 真子集：. · 罗列口诀：先写空集，再按元素个数从少到多写，最后写集合本身；写真子集时只去掉集合本身. · 练习： 的所有子集： （共 8 个） 1. ★子集个数规律 （1） 有 1 个子集； 有 2 个； 有 4 个； 有 8 个. （2）归纳：含 个元素的集合，子集共 个，真子集 个，非空真子集 个. （3）道理：每个元素都有在子集内、不在子集内两种情况， 个元素共 种. （4）满足 的集合 有：，共 3 个. 1. 本课时知识结构图（学生自主绘制，核心框架：子集→集合相等→真子集→空集→子集个数规律） 18.【答案】 C 【详解】由得，解得或， 所以，因为，所以，又， 所以. 19.【详解】因为，所以集合中必含元素，且不等等于； 因为，所以不能等于， 所以由元素与的非空真子集中的元素合并构成， 所以满足条件的集合：. 20.【答案】 （1） ， ， ， ，，（2），，（3） 【详解】（1），， 由无解，故， 由或2，则， 由或，则； （2）由正方形都是矩形，但矩形不一定是正方形，则， 由矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，则； （3）由，，则. 21．D 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 22．A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 23．A 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以.故选：A. 24．BCD 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0．故选：BCD． 25.【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为A是B的真子集，则，等号不能同时取到，所以； （2）因为B是A的子集，因为，则，又， 所以. 26.【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数，所以，解得， 当时，，符合题意，当时，， 若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 27．(1)每只燕重斤，每只雀重斤 (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组即可求解； （2）由（1）可得集合，结合题意分为和分析即可求解. 【详解】（1）根据题意，可列方程组为解得 所以每只燕重斤，每只雀重斤. （2）由（1）可得集合， 因为， ①当时，，解得； ②当时，即且且等号不同时成立， 解得所以.综上，p的取值范围是. 28．(1) (2)证明见详解 【详解】（1）因为， ，， 所以. （2）且，所以， ①证明： 因为，所以， 所以. ②证明：因为，又， 因为，所以，所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $