第二章一元二次方程单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷 满分：100 分　　时间：45 分钟　　考试范围：第二章《一元二次方程》 班级：________　　　姓名：________　　　得分：________ 一、选择题：本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（　） A． B． C． D． 2． 把方程 化成 的形式，则 m + n 的值是（　） A．13 B．16 C．10 D．7 3．根据下列表格对应值： x 1.2 1.3 1.4 1.5 -0.60 0.31 1.68 2.75 判断关于 x 的方程 的一个解 x 的范围是（　） ． A． B． C． D．无法确定 4． 用配方法解一元二次方程 时，方程变形正确的是（　） A． B． C． D． 5． 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　） A． B． C． D． 6． 已知 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 p、q 的值分别是（　） A． B． C． D． 7． 某次同学聚会，每两人之间都握手一次，一共握手 45 次，则参加聚会的人数是（　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题：本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 8． 一元二次方程 化为一般形式为 ，它的常数项是 。 9． 若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。 10． 已知等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个等腰三角形的周长是 。 11． 若二次三项式 是完全平方式，则 k 的值为 。 12． 对于实数 a、b，定义运算 a⊕b = a² - b²。若 (x + 1)⊕(x - 1) = 12，则 x 的值为 。 13． 用一根总长为 40 m 的篱笆围成一个矩形花圃，矩形的一边靠墙（墙长足够长）。当矩形面积为 192 m² 时，垂直于墙的一边的长为 m。 14． 已知菱形两条对角线的长分别是一元二次方程 的两个根，则这个菱形的边长为 。 三、计算题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。解下列方程，要求写出必要的演算过程。 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） （5） （6） 四、解答题：本题共 3 小题，共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． (6分) 已知关于 x 的一元二次方程 。 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为 1，求 m 的值及方程的另一个根。 16． (6分) 某厂 2023 年产值为 50 万元，由于技术改造，2023 年至 2025 年产值连续两年增长，2025 年产值为 72 万元。求这两年产值平均每年的增长率。 17． (8分) 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值。试利用配方法解决下列问题： （1）求出 的最小值； （2）已知 P = ，Q = 2x - 1，试比较 P 与 Q 的大小，并说明理由； （3）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，M、N 分别是线段 AC、BC 上的动点，点 M 从点 A 出发以 1 cm/s 的速度向终点 C 运动，同时点 N 从点 C 出发以 2 cm/s 的速度向终点 B 运动，当其中一点到达终点时两点同时停止运动。设运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 AMNB 的面积最小？最小面积为多少？ 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 4 分，共 28 分） 1．D　2．A　3．C　4．A　5．A　6．A　7．B 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 8．2x² + 3x - 5 = 0，常数项为 -5　　9．1 或 4　　10．12 11．7 或 -5　　12．3　　13．8 或 12　　14． 三、计算题（每小题 4 分，共 24 分） （1），所以 ；（2），所以 ； （3），所以 ；（4），所以 ； （5），所以 ；（6），所以 。评分：每小题 4 分，变形方法正确 2 分，结果 2 分。 四、解答题（共 20 分） 15．（6 分） （1），所以该方程总有两个实数根（3 分）。（2）将 x = 1 代入，得 1 - (m + 2) + 2m = 0，解得 m = 1。方程化为 ，即 ，所以另一个根为 2（3 分）。 16．（6 分） 设这两年产值平均每年的增长率为 x。由题意得 ，即 ，解得 x₁ = 0.2，x₂ = -2.2（不合题意，舍去）。答：平均每年的增长率为 20%。（设列方程 3 分，解方程 2 分，取舍并作答 1 分） 17．（8 分） （1），所以最小值为 3（2 分）。（2），所以 P ≥ Q（当 x = 2 时取等号）（3 分）。（3）由题意得 CM = 6 - t，CN = 2t（0 ≤ t ≤ 4），△CMN = 。四边形 AMNB 的面积 = 24 - t(6 - t) = ，所以当 t = 3 时，四边形 AMNB 的面积最小，最小面积为 15 cm²（3 分）。 学科网（北京）股份有限公司 $