《第二章 一元二次方程》单元试卷（卷一）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第二章一元二次方程培优卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过基础题、综合题及创新题型（如换元法、新定义）梯度设计，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|一元二次方程定义、解法、根的判别式|基础概念辨析，如方程定义判断（第1题）| |填空题|5/20|配方、因式分解、应用题|简洁考查核心技能，如病毒传播问题（第14题）| |解答题|10/90|四种解法、开放题、几何综合、换元法、新定义|综合应用与创新，如换元法解方程（第24题）、“倍根方程”新定义（第25题），体现模型意识与推理能力|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 九年级 (上) 第二章 一元二次方程（卷一） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1．下列关于 x 的方程：① 3x²-2=0；② x²+-3=0；③ (x-1)(x+2)=x²；④ x²+y=1；⑤ ax²+bx+c=0（a、b、c 为常数）。其中一定是关于 x 的一元二次方程的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 2．将一元二次方程 x²-6x-5=0 化成 (x+a)²=b 的形式，则 a、b 的值分别为（　　） A．a=-3，b=14　　　B．a=3，b=14 C．a=-3，b=5　　　　D．a=-3，b=-14 3．一元二次方程 x²=2x 的解是（　　） A．x₁=0，x₂=2　　　B．x=2　　　C．x₁=1，x₂=2　　　D．x₁=0，x₂=-2 4．若关于 x 的一元二次方程 x²-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k<1　　　B．k≤1　　　C．k>1　　　D．k=1 5．若关于 x 的一元二次方程 x²+px+q=0 的两个根分别为 2 和 -3，则 p+q 的值为（　　） A．-5　　　B．5　　　C．-6　　　D．-1 6．若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x²+x+m²-1=0 的一个根是 0，则 m 的值为（　　） A．1　　　B．-1　　　C．±1　　　D．2 7．已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²-4x+1=0 的两个实数根，则 x₁x₂+x₁+x₂ 的值为（　　） A．5　　　B．3　　　C．1　　　D．-3 8．某种商品原价为 100 元/件，经过连续两次涨价后，售价变为 121 元/件。设平均每次涨价的百分率为 x，则 x 的值为（　　） A．10%　　　B．20%　　　C．21%　　　D．9.5% 9．若实数 a 满足 a²-a-1=0，则代数式 a³-2a+1 的值为（　　） A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．-1 10．已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m=0（m 为常数），给出下列四个结论：① 当 m=4 时，方程有两个相等的实数根；② 当 m<4 时，方程有两个不相等的实数根；③ 若 x=1 是方程的一个根，则 m 的值为 3；④ 若方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁x₂>0，则 m>4。其中正确的结论有（　　） A．1 个　　　B．2 个　　　C．3 个　　　D．4 个 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．将一元二次方程 x²+6x-1=0 配方成 (x+a)²=b 的形式，则此形式为________。 12．一元二次方程 x(x-3)=x-3 的解是________。 13．已知 m 是关于 x 的一元二次方程 x²-x-2=0 的一个根，则代数式 m²-m+2026 的值为________。 14．电脑病毒传播很快：一台电脑被感染后，每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑。若一台电脑被感染，经过两轮感染后共有 81 台电脑被感染，则 x=________。 15．已知关于 x 的一元二次方程 x²+bx+c=0 与 x²+cx+b=0（b、c 为常数，且 b≠c）有一个公共根，则这个公共根为________，b+c=________。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（8分）用指定方法解下列方程： （1）3(x-1)²-27=0（用直接开平方法）； （2）x²+4x-1=0（用配方法）； （3）2x²-5x+1=0（用公式法）； （4）(x-3)²=2(x-3)（用因式分解法）。 17．（6分）（条件开放题）已知关于 x 的一元二次方程 x²+2x+c=0（c 为常数）。 （1）若该方程的一个根为 1，求 c 的值及方程的另一个根； （2）若该方程没有实数根，请写出一个符合条件的 c 的值，并说明理由。 18．（6分）已知实数 a 满足 a²-3a+1=0，求下列各式的值： （1）a+；（2）a²+。 19．（8分）两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数。 20．（8分）某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。销售中发现：售价越低，销量越大。设该商品的售价为 x 元/件时，每天的销售量为 y 件，部分销售数据如下表： 售价 x（元/件） 62 61 60 59 58 日销售量 y（件） 80 90 100 110 120 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若某天该商品的销售利润恰为 2250 元，求当天的售价； （3）该商品每天的销售利润能否达到 2400 元？请通过计算说明理由。（利润=（每件售价-每件进价）×销售量） 21．（10分）为美化环境，某小区计划在一块长 20 m、宽 12 m 的矩形荒地 ABCD 上修建一横一纵两条道路（横向道路平行于荒地的长，纵向道路平行于荒地的宽，两条道路互相垂直，宽度都为 x m）。除道路外的剩余部分全部种上草皮。若要使草皮的面积为 180 m²，求道路的宽。 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2m+1)x+m²+m=0。 （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=5，求 m 的值。 23．（11分）在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm。点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动。当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t s。 （1）用含 t 的代数式表示 △PBQ 的面积 S（单位：cm²）； （2）当 △PBQ 的面积为 8 cm² 时，求 t 的值； （3）当 PQ=3 cm 时，求 t 的值。（参考：点 P 在边 AB 上，点 Q 在边 BC 上，∠ABC=90°） 24．（11分）【阅读理解】在解方程 x⁴-5x²+4=0 时，可以把 x² 看成一个整体。设 x²=y，则 x⁴=y²，原方程化为 y²-5y+4=0，解得 y₁=1，y₂=4。再由 x²=1 得 x=±1，由 x²=4 得 x=±2，所以原方程的解为 x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2。像这样通过引入新的未知数，把新问题转化为已经学过的问题的方法叫做换元法。请利用换元法解答下列问题： （1）解方程：x⁴-13x²+36=0； （2）解方程：(x²+2x)²-7(x²+2x)-8=0； （3）请说明：方程 x⁴-2x²+2=0 没有实数根。 25．（12分）【新定义】若一个一元二次方程的两个实数根中，其中一个根恰好等于另一个根的 2 倍，则称这个方程为“倍根方程”。例如：一元二次方程 x²-3x+2=0 的两个根为 x₁=1，x₂=2，因为 x₂=2x₁，所以 x²-3x+2=0 是一个倍根方程。根据以上定义，回答下列问题： （1）判断方程 x²+3x+2=0 是否为倍根方程，并说明理由； （2）若关于 x 的一元二次方程 x²-6x+m=0 是倍根方程，求 m 的值； （3）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0（k 为常数）的两个根分别是某个等腰三角形的腰长和底边长，且这个等腰三角形的周长为 16，求 k 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 九年级 (上) 第二章 一元二次方程（卷一） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1．下列关于 x 的方程：① 3x²-2=0；② x²+-3=0；③ (x-1)(x+2)=x²；④ x²+y=1；⑤ ax²+bx+c=0（a、b、c 为常数）。其中一定是关于 x 的一元二次方程的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 2．将一元二次方程 x²-6x-5=0 化成 (x+a)²=b 的形式，则 a、b 的值分别为（　　） A．a=-3，b=14　　　B．a=3，b=14 C．a=-3，b=5　　　　D．a=-3，b=-14 3．一元二次方程 x²=2x 的解是（　　） A．x₁=0，x₂=2　　　B．x=2　　　C．x₁=1，x₂=2　　　D．x₁=0，x₂=-2 4．若关于 x 的一元二次方程 x²-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k<1　　　B．k≤1　　　C．k>1　　　D．k=1 5．若关于 x 的一元二次方程 x²+px+q=0 的两个根分别为 2 和 -3，则 p+q 的值为（　　） A．-5　　　B．5　　　C．-6　　　D．-1 6．若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x²+x+m²-1=0 的一个根是 0，则 m 的值为（　　） A．1　　　B．-1　　　C．±1　　　D．2 7．已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²-4x+1=0 的两个实数根，则 x₁x₂+x₁+x₂ 的值为（　　） A．5　　　B．3　　　C．1　　　D．-3 8．某种商品原价为 100 元/件，经过连续两次涨价后，售价变为 121 元/件。设平均每次涨价的百分率为 x，则 x 的值为（　　） A．10%　　　B．20%　　　C．21%　　　D．9.5% 9．若实数 a 满足 a²-a-1=0，则代数式 a³-2a+1 的值为（　　） A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．-1 10．已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m=0（m 为常数），给出下列四个结论：① 当 m=4 时，方程有两个相等的实数根；② 当 m<4 时，方程有两个不相等的实数根；③ 若 x=1 是方程的一个根，则 m 的值为 3；④ 若方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁x₂>0，则 m>4。其中正确的结论有（　　） A．1 个　　　B．2 个　　　C．3 个　　　D．4 个 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．将一元二次方程 x²+6x-1=0 配方成 (x+a)²=b 的形式，则此形式为________。 12．一元二次方程 x(x-3)=x-3 的解是________。 13．已知 m 是关于 x 的一元二次方程 x²-x-2=0 的一个根，则代数式 m²-m+2026 的值为________。 14．电脑病毒传播很快：一台电脑被感染后，每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑。若一台电脑被感染，经过两轮感染后共有 81 台电脑被感染，则 x=________。 15．已知关于 x 的一元二次方程 x²+bx+c=0 与 x²+cx+b=0（b、c 为常数，且 b≠c）有一个公共根，则这个公共根为________，b+c=________。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（8分）用指定方法解下列方程： （1）3(x-1)²-27=0（用直接开平方法）； （2）x²+4x-1=0（用配方法）； （3）2x²-5x+1=0（用公式法）； （4）(x-3)²=2(x-3)（用因式分解法）。 17．（6分）（条件开放题）已知关于 x 的一元二次方程 x²+2x+c=0（c 为常数）。 （1）若该方程的一个根为 1，求 c 的值及方程的另一个根； （2）若该方程没有实数根，请写出一个符合条件的 c 的值，并说明理由。 18．（6分）已知实数 a 满足 a²-3a+1=0，求下列各式的值： （1）a+；（2）a²+。 19．（8分）两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数。 20．（8分）某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。销售中发现：售价越低，销量越大。设该商品的售价为 x 元/件时，每天的销售量为 y 件，部分销售数据如下表： 售价 x（元/件） 62 61 60 59 58 日销售量 y（件） 80 90 100 110 120 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若某天该商品的销售利润恰为 2250 元，求当天的售价； （3）该商品每天的销售利润能否达到 2400 元？请通过计算说明理由。（利润=（每件售价-每件进价）×销售量） 21．（10分）为美化环境，某小区计划在一块长 20 m、宽 12 m 的矩形荒地 ABCD 上修建一横一纵两条道路（横向道路平行于荒地的长，纵向道路平行于荒地的宽，两条道路互相垂直，宽度都为 x m）。除道路外的剩余部分全部种上草皮。若要使草皮的面积为 180 m²，求道路的宽。 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2m+1)x+m²+m=0。 （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=5，求 m 的值。 23．（11分）在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm。点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动。当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t s。 （1）用含 t 的代数式表示 △PBQ 的面积 S（单位：cm²）； （2）当 △PBQ 的面积为 8 cm² 时，求 t 的值； （3）当 PQ=3 cm 时，求 t 的值。（参考：点 P 在边 AB 上，点 Q 在边 BC 上，∠ABC=90°） 24．（11分）【阅读理解】在解方程 x⁴-5x²+4=0 时，可以把 x² 看成一个整体。设 x²=y，则 x⁴=y²，原方程化为 y²-5y+4=0，解得 y₁=1，y₂=4。再由 x²=1 得 x=±1，由 x²=4 得 x=±2，所以原方程的解为 x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2。像这样通过引入新的未知数，把新问题转化为已经学过的问题的方法叫做换元法。请利用换元法解答下列问题： （1）解方程：x⁴-13x²+36=0； （2）解方程：(x²+2x)²-7(x²+2x)-8=0； （3）请说明：方程 x⁴-2x²+2=0 没有实数根。 25．（12分）【新定义】若一个一元二次方程的两个实数根中，其中一个根恰好等于另一个根的 2 倍，则称这个方程为“倍根方程”。例如：一元二次方程 x²-3x+2=0 的两个根为 x₁=1，x₂=2，因为 x₂=2x₁，所以 x²-3x+2=0 是一个倍根方程。根据以上定义，回答下列问题： （1）判断方程 x²+3x+2=0 是否为倍根方程，并说明理由； （2）若关于 x 的一元二次方程 x²-6x+m=0 是倍根方程，求 m 的值； （3）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0（k 为常数）的两个根分别是某个等腰三角形的腰长和底边长，且这个等腰三角形的周长为 16，求 k 的值。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 九年级 (上) 第二章 一元二次方程（卷一） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：___________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1．下列关于 x 的方程：① 3x²-2=0；② x²+-3=0；③ (x-1)(x+2)=x²；④ x²+y=1；⑤ ax²+bx+c=0（a、b、c 为常数）。其中一定是关于 x 的一元二次方程的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 【答案】 A 【解析】 一元二次方程必须同时满足三个条件：只含一个未知数（一元）；未知数的最高次数是 2（二次）；是整式方程且整理后二次项系数不为 0。逐项对照排查。③ 展开后二次项被消去，是易错点。 【解答】 解：① 是一元二次方程；② 的分母中含有未知数 x，是分式方程，不是整式方程；③ 展开得 x²+x-2=x²，整理得 x-2=0，化简后是一元一次方程；④ 含两个未知数，是二元二次方程；⑤ 中当 a=0 时二次项消失，不是二次方程，只有 a≠0 时才是，不能说“一定是”。综上，一定是一元二次方程的只有①，共 1 个。 故选：A。 2．将一元二次方程 x²-6x-5=0 化成 (x+a)²=b 的形式，则 a、b 的值分别为（　　） A．a=-3，b=14　　　B．a=3，b=14 C．a=-3，b=5　　　　D．a=-3，b=-14 【答案】 A 【解析】 用配方法：先把常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。注意一次项系数为 -6 时，加上的是 9，左边凑出完全平方式，右边为 5+9。 【解答】 解：移项，得 x²-6x=5。两边同时加上 (-6 的一半的平方) 9，得 x²-6x+9=5+9，即 (x-3)²=14。所以 a=-3，b=14。 故选：A。 3．一元二次方程 x²=2x 的解是（　　） A．x₁=0，x₂=2　　　B．x=2　　　C．x₁=1，x₂=2　　　D．x₁=0，x₂=-2 【答案】 A 【解析】 不能在方程两边同时除以 x——x 的值可能为 0，约去会丢根。正确做法是先移项，再用因式分解法。 【解答】 解：移项，得 x²-2x=0，即 x(x-2)=0。所以 x-2=0 或 x=0，解得 x₁=0，x₂=2。 故选：A。 4．若关于 x 的一元二次方程 x²-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k<1　　　B．k≤1　　　C．k>1　　　D．k=1 【答案】 A 【解析】 由根的判别式：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根，Δ=0 时有两个相等的实数根，Δ<0 时没有实数根。本题不要丢掉“不相等”这一条件，也不能把不等号错写成等号。 【解答】 解：Δ=(-2)²-4×1×k=4-4k。因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ>0，即 4-4k>0，解得 k<1。 故选：A。 5．若关于 x 的一元二次方程 x²+px+q=0 的两个根分别为 2 和 -3，则 p+q 的值为（　　） A．-5　　　B．5　　　C．-6　　　D．-1 【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系：x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。先分别求出 p、q，再计算 p+q。 【解答】 解：由根与系数的关系，得 x₁+x₂=2+(-3)=-1=-p，x₁x₂=2×(-3)=-6=q，所以 p=1，q=-6。所以 p+q=1+(-6)=-5。 故选：A。 6．若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x²+x+m²-1=0 的一个根是 0，则 m 的值为（　　） A．1　　　B．-1　　　C．±1　　　D．2 【答案】 B 【解析】 把 x=0 代入方程可求出 m，但注意“一元二次方程”这一身份要求二次项系数 m-1≠0，求出的值必须代回检验，把不合条件的值舍去。 【解答】 解：把 x=0 代入方程，得 m²-1=0，解得 m₁=1，m₂=-1。因为方程是一元二次方程，所以二次项系数 m-1≠0，即 m≠1，故 m₁=1 舍去。所以 m=-1。 故选：B。 7．已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²-4x+1=0 的两个实数根，则 x₁x₂+x₁+x₂ 的值为（　　） A．5　　　B．3　　　C．1　　　D．-3 【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系分别得到两根之和与两根之积，再整体代入求值，不必解出方程的根。 【解答】 解：由根与系数的关系，得 x₁+x₂=-(-4)=4，x₁x₂=1。所以 x₁x₂+x₁+x₂=1+4=5。 故选：A。 8．某种商品原价为 100 元/件，经过连续两次涨价后，售价变为 121 元/件。设平均每次涨价的百分率为 x，则 x 的值为（　　） A．10%　　　B．20%　　　C．21%　　　D．9.5% 【答案】 A 【解析】 平均增长率（百分率）模型：a(1+x)²=b。注意 21% 是两次涨价累计的增长率，不是每一次的百分率，这是常见易错点；求出 x 后还要按实际意义保留正值。 【解答】 解：由题意，得 100(1+x)²=121，即 (1+x)²=1.21。开平方，得 1+x=±1.1。因为 1+x>0，所以 1+x=1.1，x=0.1=10%。 故选：A。 9．若实数 a 满足 a²-a-1=0，则代数式 a³-2a+1 的值为（　　） A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．-1 【答案】 C 【解析】 用整体代入（降次）思想：由条件得 a²=a+1，据此把 a³ 逐次降为一次式，再整体代入所求式，避免直接解出无理根代入的繁琐运算。 【解答】 解：由 a²-a-1=0，得 a²=a+1。所以 a³=a·a²=a(a+1)=a²+a=(a+1)+a=2a+1。所以 a³-2a+1=(2a+1)-2a+1=2。 故选：C。 10．已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m=0（m 为常数），给出下列四个结论：① 当 m=4 时，方程有两个相等的实数根；② 当 m<4 时，方程有两个不相等的实数根；③ 若 x=1 是方程的一个根，则 m 的值为 3；④ 若方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁x₂>0，则 m>4。其中正确的结论有（　　） A．1 个　　　B．2 个　　　C．3 个　　　D．4 个 【答案】 C 【解析】 ①②用根的判别式 Δ=16-4m 逐一判断；③把 x=1 代入方程求 m；④由根与系数的关系得 x₁x₂=m，由 x₁x₂>0 只能得 m>0，再结合“方程有实数根需 Δ≥0”举反例即可判断。四个结论须逐一核验，防止漏判、错判，最后数出正确结论的个数。 【解答】 解：① 当 m=4 时，方程为 x²-4x+4=0，Δ=(-4)²-4×1×4=0，方程有两个相等的实数根（x₁=x₂=2），正确；② Δ=(-4)²-4×1×m=16-4m=4(4-m)，当 m<4 时，Δ=4(4-m)>0，方程有两个不相等的实数根，正确；③ 把 x=1 代入方程，得 1-4+m=0，解得 m=3，正确；④ 由根与系数的关系，得 x₁x₂=m。由 x₁x₂>0 只能得出 m>0；又方程有实数根需 Δ=16-4m≥0，即 m≤4。例如取 m=1，方程 x²-4x+1=0 的两个根之积 x₁x₂=1>0，但 m=1<4，并不满足 m>4，所以“则 m>4”错误。综上，正确的结论有 ①②③，共 3 个。 故选：C。 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．将一元二次方程 x²+6x-1=0 配方成 (x+a)²=b 的形式，则此形式为___(x+3)²=10_____。 【答案】 (x+3)²=10 【解析】 配方法：移项后，方程两边同时加上一次项系数 6 的一半的平方 9，把左边凑成完全平方式。 【解答】 解：移项，得 x²+6x=1。两边同时加上 9，得 x²+6x+9=1+9，即 (x+3)²=10。 故答案为：(x+3)²=10。 12．一元二次方程 x(x-3)=x-3 的解是___x₁=1，x₂=3_____。 【答案】 x₁=1，x₂=3 【解析】 不能两边同时除以 (x-3)——它的值可能为 0，约去会丢根。应先移项，再用提取公因式法因式分解。 【解答】 解：移项，得 x(x-3)-(x-3)=0。提取公因式 (x-3)，得 (x-3)(x-1)=0。所以 x-3=0 或 x-1=0，解得 x₁=1，x₂=3。 故答案为：x₁=1，x₂=3。 13．已知 m 是关于 x 的一元二次方程 x²-x-2=0 的一个根，则代数式 m²-m+2026 的值为___2028_____。 【答案】 2028 【解析】 整体代入：由 m 是方程的根，得 m²-m-2=0，即 m²-m=2，把它整体代入所求代数式即可，无需解出方程的根再代入。 【解答】 解：因为 m 是方程 x²-x-2=0 的根，所以 m²-m-2=0，即 m²-m=2。所以 m²-m+2026=2+2026=2028。 故答案为：2028。 14．电脑病毒传播很快：一台电脑被感染后，每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑。若一台电脑被感染，经过两轮感染后共有 81 台电脑被感染，则 x=____8____。 【答案】 8 【解析】 传播问题的数学模型：第一轮感染后共有 (1+x) 台被感染；第二轮中这 (1+x) 台每台又感染 x 台，两轮后共 (1+x)² 台。列出方程后注意舍去负根。 【解答】 解：第一轮感染后，被感染的电脑共有 1+x 台；第二轮中这 1+x 台电脑每台又感染 x 台，所以两轮感染后共有 (1+x)(1+x)=(1+x)² 台电脑被感染。由题意得 (1+x)²=81，开平方得 1+x=±9。因为 1+x>0，所以 1+x=9，x=8。 故答案为：8。 15．已知关于 x 的一元二次方程 x²+bx+c=0 与 x²+cx+b=0（b、c 为常数，且 b≠c）有一个公共根，则这个公共根为____1____，b+c=____-1____。 【答案】 1；-1 【解析】 两个方程有一个公共根，可设这个公共根为 r，把 r 分别代入两个方程，得到两个新等式；两式相减可消去二次项 r²，得到只含一次项的等式，结合 b≠c 即可求出公共根；再把公共根代回原方程求 b+c 的值。两式相减消元是处理公共根问题的通用方法。 【解答】 解：设这个公共根为 r，则 r²+br+c=0 ①，r²+cr+b=0 ②。①-②，得 (b-c)r+(c-b)=0，整理得 (b-c)r-(b-c)=0，即 (b-c)(r-1)=0。因为 b≠c，所以 b-c≠0，所以 r-1=0，即 r=1。把 r=1 代入①，得 1+b+c=0，所以 b+c=-1。所以这个公共根为 1，b+c=-1。 故答案为：1；-1。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（8分）用指定方法解下列方程： （1）3(x-1)²-27=0（用直接开平方法）； （2）x²+4x-1=0（用配方法）； （3）2x²-5x+1=0（用公式法）； （4）(x-3)²=2(x-3)（用因式分解法）。 【答案】 （1）x₁=4，x₂=-2；（2）x₁=-2+，x₂=-2-；（3）x₁=，x₂=；（4）x₁=3，x₂=5 【解析】 本题集中考查解一元二次方程的四种基本方法，关键是根据方程的结构特征选择方法：形如 (x±a)²=b 的用直接开平方法；系数简单时用配方法（配上一次项系数一半的平方）；一般情形先算 Δ 再用公式法；一边为 0 且易于分解的用因式分解法。第（4）小题不能两边直接除以 (x-3)，否则会丢根。 【解答】 解：（1）移项，得 3(x-1)²=27， 方程两边都除以 3，得 (x-1)²=9。 开平方，得 x-1=±3。 所以 x-1=3 或 x-1=-3， 解得 x₁=4，x₂=-2； （2）移项，得 x²+4x=1。 方程两边同时加上 4，得 x²+4x+4=1+4， 即 (x+2)²=5。开平方，得 x+2=±。 所以 x₁=-2+，x₂=-2-； （3）这里 a=2，b=-5，c=1。 Δ=b²-4ac=(-5)²-4×2×1=25-8=17>0，方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得 x===。 所以 x₁=，x₂=； （4）移项，得 (x-3)²-2(x-3)=0。 提取公因式 (x-3)，得 (x-3)(x-5)=0。 所以 x-3=0 或 x-5=0， 解得 x₁=3，x₂=5。 17．（6分）（条件开放题）已知关于 x 的一元二次方程 x²+2x+c=0（c 为常数）。 （1）若该方程的一个根为 1，求 c 的值及方程的另一个根； （2）若该方程没有实数根，请写出一个符合条件的 c 的值，并说明理由。 【答案】 （1）c=-3，另一个根为 x=-3；（2）c>1 皆可，如 c=2（答案不唯一） 【解析】 第（1）问把已知根代入方程即可求出 c，再用根与系数的关系（两根之和为 -2）或因式分解求另一个根；第（2）问逆向运用根的判别式：方程没有实数根 ⇔ Δ<0，据此求出 c 的取值范围，范围内任取一个值均可。本题为条件开放题，第（2）问答案不唯一，考查判别式的逆向运用。 【解答】 解：（1）把 x=1 代入方程，得 1+2+c=0，解得 c=-3。 此时方程为 x²+2x-3=0，因式分解，得 (x-1)(x+3)=0， 所以 x₁=1，x₂=-3。 所以 c=-3，方程的另一个根为 -3。 （2）方程没有实数根，即 Δ<0。Δ=2²-4×1×c=4-4c， 由 4-4c<0，解得 c>1。 所以只要写出一个大于 1 的 c 的值即可， 如 c=2（此时 Δ=4-4×2=-4<0，方程没有实数根）。答案不唯一。 18．（6分）已知实数 a 满足 a²-3a+1=0，求下列各式的值： （1）a+；（2）a²+。 【答案】 （1）3；（2）7 【解析】 由 a²-3a+1=0 可知 a≠0（若 a=0，则左边为 1≠0，矛盾），于是方程两边可以同时除以 a，得到第（1）问的值；第（2）问利用完全平方公式 a²+=(a+)²-2 整体代入。 【解答】 解：由 a²-3a+1=0 知 a≠0。方程两边都除以 a，得 a-3+=0，即 a+=3；（2）a²+=(a+)²-2=3²-2=9-2=7。 19．（8分）两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数。 【答案】 12、14 或 -14、-12 【解析】 设其中一个偶数为 x，则另一个为 x+2，由“积为 168”列一元二次方程求解。注意：偶数包括负偶数，方程的两个根都可能符合实际意义，须分类作答，不能漏掉负数解。 【解答】 解：设较小的偶数为 x，则另一个连续偶数为 x+2。由题意得 x(x+2)=168， 整理得 x²+2x-168=0。 因式分解，得 (x+14)(x-12)=0。 解得 x₁=12，x₂=-14。当 x=12 时， 这两个连续偶数为 12、14， 检验：12×14=168，符合题意； 当 x=-14 时，这两个连续偶数为 -14、-12， 检验：(-14)×(-12)=168，符合题意。 所以这两个偶数是 12、14 或 -14、-12。 20．（8分）某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。销售中发现：售价越低，销量越大。设该商品的售价为 x 元/件时，每天的销售量为 y 件，部分销售数据如下表： 售价 x（元/件） 62 61 60 59 58 日销售量 y（件） 80 90 100 110 120 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若某天该商品的销售利润恰为 2250 元，求当天的售价； （3）该商品每天的销售利润能否达到 2400 元？请通过计算说明理由。（利润=（每件售价-每件进价）×销售量） 【答案】 （1）y=700-10x；（2）55 元/件；（3）不能，理由见解答 【解析】 （1）观察表格：x 每减少 1，y 就增加 10，猜测 y 是 x 的一次函数，用待定系数法求解并检验；（2）利润=每件利润×销售量，即 (x-40)y，令其等于 2250，列一元二次方程求解；（3）假设利润能达到 2400 元，列出方程后用根的判别式判断方程是否有实数解，从而得出结论。 【解答】 解：（1）设 y=kx+b（k≠0）。 将 (62,80)、(60,100) 代入， 得 62k+b=80，60k+b=100。 两式相减，得 2k=-20，即 k=-10； 把 k=-10 代入 62k+b=80，得 b=700。 所以 y=700-10x。 经验证：当 x=58 时，y=700-580=120，与表格数据吻合。 所以 y 与 x 的关系式为 y=700-10x； （2）由题意，得 (x-40)(700-10x)=2250。 整理，得 -10x²+1100x-30250=0， 即 x²-110x+3025=0。 因式分解，得 (x-55)²=0， 解得 x₁=x₂=55。 当 x=55 时，每件利润为 55-40=15（元）， 销售量为 700-550=150（件），利润为 15×150=2250（元），符合题意。 所以当天的售价为 55 元/件； （3）假设每天的销售利润能达到 2400 元，则 (x-40)(700-10x)=2400。 整理，得 x²-110x+3040=0。 此时 Δ=(-110)²-4×1×3040=12100-12160=-60<0， 方程没有实数根，说明不存在使利润为 2400 元的售价，假设不成立。 所以该商品每天的销售利润不能达到 2400 元。 21．（10分）为美化环境，某小区计划在一块长 20 m、宽 12 m 的矩形荒地 ABCD 上修建一横一纵两条道路（横向道路平行于荒地的长，纵向道路平行于荒地的宽，两条道路互相垂直，宽度都为 x m）。除道路外的剩余部分全部种上草皮。若要使草皮的面积为 180 m²，求道路的宽。 【答案】 道路的宽为 2 m 【解析】 面积问题的关键是“化不规则为规则”：用平移法把两条道路分别平移到矩形的一组相邻边上，则草皮部分恰好拼成一个矩形，其长为 (20-x) m、宽为 (12-x) m。列方程求解后，注意检验所得的根是否小于荒地的宽，舍去不合题意的根。 【解答】 解：把两条道路分别平移到矩形荒地的一组相邻边上，则草皮部分是一个矩形，它的长为 (20-x) m，宽为 (12-x) m。 由草皮面积为 180 m²， 得 (20-x)(12-x)=180。 整理，得 x²-32x+240=180， 即 x²-32x+60=0。因式分解，得 (x-2)(x-30)=0。 解得 x₁=2，x₂=30。 因为道路的宽必须小于荒地的宽 12 m，且 x>0， 所以 x₂=30 不合题意，舍去；x₁=2 符合题意。 检验：(20-2)×(12-2)=18×10=180（m²）。 答：道路的宽为 2 m。 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2m+1)x+m²+m=0。 （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=5，求 m 的值。 【答案】 （1）证明见解答；（2）m₁=1，m₂=-2 【解析】 （1）计算根的判别式并整理，说明它恒为正数，即与 m 的取值无关；（2）由根与系数的关系，把 x₁²+x₂² 用 (x₁+x₂)²-2x₁x₂ 表示，代入得到关于 m 的方程再求解。 【解答】 解：（1）Δ=[-(2m+1)]²-4×1×(m²+m)=(2m+1)²-4m²-4m=4m²+4m+1-4m²-4m=1。 因为 Δ=1>0 恒成立，与 m 的取值无关， 所以无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，得 x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+m。 所以 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m+1)²-2(m²+m)=4m²+4m+1-2m²-2m=2m²+2m+1。 由 x₁²+x₂²=5，得 2m²+2m+1=5， 整理得 m²+m-2=0。因式分解，得 (m+2)(m-1)=0， 解得 m₁=1，m₂=-2。 由（1）知对任意 m 都有 Δ=1>0，两根总存在， 所以 m=1 和 m=-2 均符合题意。 23．（11分）在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm。点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动。当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t s。 （1）用含 t 的代数式表示 △PBQ 的面积 S（单位：cm²）； （2）当 △PBQ 的面积为 8 cm² 时，求 t 的值； （3）当 PQ=3 cm 时，求 t 的值。（参考：点 P 在边 AB 上，点 Q 在边 BC 上，∠ABC=90°） 【答案】 （1）S=(6t-t²) cm²；（2）t₁=2，t₂=4；（3）t=3 【解析】 （1）用含 t 的式子表示 PB 与 BQ：PB=AB-AP=(6-t) cm，BQ=2t cm；（2）由 S=8 列一元二次方程求解，两个根都要检验是否在运动时间范围内；（3）在 Rt△PBQ 中用勾股定理建立方程，求出 t 后舍去负根。 【解答】 解：（1）由题意，AP=t cm，BQ=2t cm， 所以 PB=AB-AP=(6-t) cm。 因为四边形 ABCD 是矩形，∠ABC=90°，即 PB⊥BQ， 所以 S=×PB×BQ=(6-t)·2t=(6t-t²)（cm²）（0≤t≤6）； （2）由 S=8，得 6t-t²=8， 整理得 t²-6t+8=0。因式分解，得 (t-2)(t-4)=0， 解得 t₁=2，t₂=4。 经检验，t=2 时 PB=4，BQ=4；t=4 时 PB=2，BQ=8， 两组值均使 PB、BQ 为正数且不超过相应边长，符合题意； （3）在 Rt△PBQ 中，PB=6-t，BQ=2t。 由勾股定理，得 PB²+BQ²=PQ²， 即 (6-t)²+(2t)²=(3)²=45。 整理，得 5t²-12t-9=0。 因式分解，得 (5t+3)(t-3)=0， 解得 t=3 或 t=-。 因为 0≤t≤6，所以 t=- 不合题意，舍去，t=3。 检验：t=3 时，PB=3 cm，BQ=6 cm，PQ===3 cm，符合题意。 所以当 PQ=3 cm 时，t=3。 24．（11分）【阅读理解】在解方程 x⁴-5x²+4=0 时，可以把 x² 看成一个整体。设 x²=y，则 x⁴=y²，原方程化为 y²-5y+4=0，解得 y₁=1，y₂=4。再由 x²=1 得 x=±1，由 x²=4 得 x=±2，所以原方程的解为 x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2。像这样通过引入新的未知数，把新问题转化为已经学过的问题的方法叫做换元法。请利用换元法解答下列问题： （1）解方程：x⁴-13x²+36=0； （2）解方程：(x²+2x)²-7(x²+2x)-8=0； （3）请说明：方程 x⁴-2x²+2=0 没有实数根。 【答案】 （1）x₁=2，x₂=-2，x₃=3，x₄=-3；（2）x₁=2，x₂=-4，x₃=-1；（3）说明见解答 【解析】 （1）（2）按材料提供的方法设元，先解关于新未知数 y 的方程，再回代解关于 x 的方程；（2）中新元 y 的两个值都要回代，其中 y=-1 对应的一元二次方程同样要完整求解；（3）设 x²=y，把原方程转化为关于 y 的一元二次方程，用根的判别式说明它无实数根，从而原方程没有实数根。 【解答】 解：（1）设 x²=y，则原方程化为 y²-13y+36=0。 因式分解，得 (y-4)(y-9)=0， 解得 y₁=4，y₂=9。 当 y=4 时，x²=4，x=±2； 当 y=9 时，x²=9，x=±3。 所以原方程的解为 x₁=2，x₂=-2，x₃=3，x₄=-3； （2）设 x²+2x=y，则原方程化为 y²-7y-8=0。 因式分解，得 (y+1)(y-8)=0， 解得 y₁=8，y₂=-1。 当 y=8 时，x²+2x=8， 即 x²+2x-8=0， 因式分解得 (x+4)(x-2)=0， 解得 x=2 或 x=-4； 当 y=-1 时，x²+2x=-1， 即 x²+2x+1=0，也就是 (x+1)²=0， 解得 x=-1。 所以原方程的解为 x₁=2，x₂=-4，x₃=-1； （3） 设 x²=y，则原方程化为 y²-2y+2=0。 Δ=(-2)²-4×1×2=4-8=-4<0， 所以关于 y 的方程 y²-2y+2=0 没有实数根。 于是不存在实数 y 满足该方程， 更不存在使 x²=y 的实数 x， 所以方程 x⁴-2x²+2=0 没有实数根。 25．（12分）【新定义】若一个一元二次方程的两个实数根中，其中一个根恰好等于另一个根的 2 倍，则称这个方程为“倍根方程”。例如：一元二次方程 x²-3x+2=0 的两个根为 x₁=1，x₂=2，因为 x₂=2x₁，所以 x²-3x+2=0 是一个倍根方程。根据以上定义，回答下列问题： （1）判断方程 x²+3x+2=0 是否为倍根方程，并说明理由； （2）若关于 x 的一元二次方程 x²-6x+m=0 是倍根方程，求 m 的值； （3）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0（k 为常数）的两个根分别是某个等腰三角形的腰长和底边长，且这个等腰三角形的周长为 16，求 k 的值。 【答案】 （1）是倍根方程；（2）m=8；（3）k 的值为 4 或 【解析】 （1）先解方程求出两个根，再按定义逐一检验倍数关系（注意负根时“2 倍”同样成立）；（2）由倍根方程的结构，设两个根为 r 与 2r，利用根与系数的关系“两根之和等于 6”求出 r，再由两根之积求 m；（3）先把方程左边因式分解，得两个根为 k+1 与 k+2，再按“腰为 k+1、底为 k+2”与“腰为 k+2、底为 k+1”两类分别用周长 16 列方程求解，最后用三角形三边关系检验。 【解答】 解：（1）解方程 x²+3x+2=0，因式分解，得 (x+1)(x+2)=0， 解得 x₁=-1，x₂=-2。 因为 x₂=-2=2×(-1)=2x₁，两根满足“一个根等于另一个根的 2 倍”， 所以方程 x²+3x+2=0 是倍根方程； （2）因为方程 x²-6x+m=0 是倍根方程，设它的两个根为 r 和 2r。 由根与系数的关系，得 r+2r=6， 即 3r=6，解得 r=2。 所以两个根为 2 和 4， m=两根之积=2×4=8。 检验：当 m=8 时，方程为 x²-6x+8=0， 即 (x-2)(x-4)=0，两根为 2 和 4，且 4=2×2，确实是倍根方程， 所以 m=8； （4）x²-(2k+3)x+k²+3k+2=x²-[(k+1)+(k+2)]x+(k+1)(k+2)=[x-(k+1)][x-(k+2)]， 所以方程的两个根为 x₁=k+1，x₂=k+2（两根不相等）。 设等腰三角形的腰长为 a、底边长为 c。 1 当腰长为 k+1、底边长为 k+2 时， 周长为 2(k+1)+(k+2)=3k+4。 由 3k+4=16，解得 k=4。 此时两根为 5 和 6， 三角形三边为 5、5、6， 因为 5+5>6，且两根均为正数， 能构成等腰三角形，k=4 符合题意； 2 当腰长为 k+2、底边长为 k+1 时， 周长为 (k+1)+2(k+2)=3k+5。 由 3k+5=16，解得 k=。此时两根为 和 ，三角形三边为 、、，因为 +=>，且两根均为正数，能构成等腰三角形，k= 符合题意。 综上，k 的值为 4 或 。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $