13.2.2 三角形三角形的中线、角平分线、高 讲义 2026-2027学年人教版八年级上册数学

目录 【知识点1】三角形的中线.2 (1)三角形中线的定义 .2 (2)三角形的重心… 2 (3)三角形中线的性质 2 【知识点2】三角形的角平分线2 (1)三角形角平分线的定义 2 (2)三角形角平分线的性质 …2 【知识点3】三角形的高.… 3 (1)三角形高的定义 .3 (2)三角形三条高交点的位置 3 【基础训练】 .4 【培优训练】 .7 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【知识点1】三角形的中线 (1)三角形中线的定义 连接三角形的顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线 A B D (1) (2) 任意一个三角形都有三条中线，且三条中线相交于一点 温馨提示：三角形中线是线段， (2)三角形的重心 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.所有三角形的重心都在三角形的内部， (3)三角形中线的性质 三角形中线将三角形分成面积相等的两部分 【知识点2】三角形的角平分线 (1)三角形角平分线的定义 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平 分线 B B D D (1) (2) 任意一个三角形都有三条角平分线，且三条角平分线相交于一点.所有三角形三条角平分线的 交点都在三角形的内部 温馨提示：三角形的角平分线是线段 (2)三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.（下一章学到） 【知识点3】三角形的高 (1)三角形高的定义 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 线，简称高 A B B D D (1) (2) 任意一个三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点 (2)三角形三条高交点的位置 锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点：（上面的图(2）) 直角三角形有两条高和直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们的交点就是直角顶点： (图3) 钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在 的直线相交于三角形外一点.（图（4）) A D D B F B E (3) (4) 温馨提示：三角形的高是线段， 【基础训练】 【1】在△ABC中，点D在边BC上，BD=CD,则下列说法正确的是() A.ADLBC B.∠CAD=LBAD C.射线AD是△ABC的中线 D.线段AD是△ABC的中线 【答案】D 【解析】解：三角形中线不一定垂直于边，A选项错：三角形的中线不一定平分三角形的内 角，B选项：三角形的中线是线段，不是射线，C选项错：正确的选项为D, 【2】下列说法不正确的是() A.三角形的一条中线把三角形分成两个形状和大小都相同的三角形 B.三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形 C.三角形两条中线的交点一定是该三角形的重心 D.所有三角形的重心都在三角形的内部 【答案】A 【解析】解：三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，两个三角形面积相等 只是大小相等，而形状不一定相同 【3】BD是△ABC的中线，若△ABD与△CBD的周长相等，则△ABC() A.一定是锐角三角形 B.一定不是直角三角形 C.一定是等边三角形 D.一定是等腰三角形 【答案】D 【解析】解：如图，BD是△ABC的中线，：CD=AD,△ABD与△CBD的周长相等， ∴BC+CD+BD=BA+AD+BD,∴BC=BA,△ABC是等腰三角形.又：等腰三角形可以是锐角三角 形(A选项错)，也可以是直角三角形或等边三角形，所以B、C选项都错，故答案是D. B D 【4】如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABC的角平分线，AD与BE相交于点F,则 A.AF是△ABE的中线 B.FE是△ADC的中线 C.BF是△ABD的角平分线D.BF是△ABD的中线 4题图 【答案】C 【解析】解：BF和EF不一定相等，所以A选项错：EF不是△ADC的中线，所以B选项 错：BF是△ABD的角平分线符合三角形角平分线的定义，所以C选项正确；AF和DF不一 定相等，所以D选项错.故答案是C 【5】如图，AD是△ABC的中线，∠BAE=LEAD,∠DAF=LAC,则( ) A.AD是△ABF的角平分线 B.AF是△ADC的角平分线 C.AD是△AEF的角平分线D.AD是△ABC的角平分线 B 5题图 【答案】B 【解析】解：∠BAD和LDAF不一定相等，所以A选项错误；因为LDAF=∠AC,所以AF是 △ADC的角平分线，选项B正确：∠EAD和LDAF不一定相等，所以C选项错误：AD是 △ABC的中线，但∠BAD和LDAC不一定相等，所以D选项错误.故答案是B. 【6】下列说法正确的是( ) A.三角形的高与三角形的边垂直并且相交 B.三角形的三条高相交于一点 C.三角形三条高的交点可以在三角形内部也可以在三角形的外部还可以在三角形顶点处 D.三角形三条高所在的直线相交于一点 【答案】D 【解析】解：钝角三角形有两条高与三角形的边垂直但不相交，所以A选项错误；钝角三角 形的三条高不相交，所以B选项错误；三角形的三条高不一定相交，所以C选项错误：D选 项的说法符合三角形高的定义，所以D选项正确.故答案为D 【7】如图，过△ABC的顶点A分别画出它的高、中线和角平分线. A C 7题图 【答案】如图，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. B 【解析】解：注意钝角三角形中较短的边上高的画法. 【8】AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,则△ABD与△ACD周长的差为 【答案】3 【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD,△ABD的周长-△ACD周长=AB+BD+AD- (AC+CD+AD)=AB+BD+AD-AC-CD-AD-AB-AC=8-5-3. 【9】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，AE是角平分线，AF是高 B DEF 9题图 (1)∠BAE= (2)若S△4BD=3,AC=3,则AB= (3)在(2)的条件下，若DB=2.5,则AF= 【答案】(1)45°：(2)4：(3)2.4 【解析】解：(1)∠BAE-2BAC-45°； (2)SAARC=-SaAD-6=2 ACXAB-2×3AB,所以AB-4: 3)BC-2BD-5,所以，BC XAF-=×5AF=6,所以AF=-2.4, 【10】如图，AD是△ABC的中线，AE1BC于点E,已知BD=3,CE=2DE,△ACE是等腰三 角形 (1)图中以AE为高的三角形有个： (2)S△ADE= A B D E 10题图 【答案】(1)6：(2)1 【解析】解：(1)△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC (2)CD=BD=3,又CE=2DE,CE=2,DE=1,因为△ACE是等腰三角形，且 AE1BC,所以AE=CE-2,所以SADE-号DE XAE=-×1×2=1, 【11】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6，若AB=12,则 AC= A B D 11题图 【答案】6 【解析】解：因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD,又△ABD的周长-△ACD的周长-6，即 AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=6,整理，得AB-AC=6,所以AC=AB-6=12-6=6. 【培优训练】 【12】如图，ABLBD于点B,AC⊥CD于点C,且AC与BD相交于点E. (1)△ADE的边DE上的高为 ,边AE上的高为 (2)若AE=5,DE=2,CD=}则AB= 12题图 【答案】(1)AB,DC;(2)4.5. 【解析】解：(1)根据三角形高的定义可得： (2)S△ADEDE XAB-3AE×CD,所以号×2AB号×5×，所以AB-4.5. 【13】如图，在△ABC中，点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，且S△ABC=4,则 S△BEF= y E D 13题图 【答案】1 【解析】解：SABEF-SABCE=(SABDE+SACDE)=(SAABD+SAACD) SAABC-×4=1. 【14】如图，△ABC的中线AD,BE相交于点F,FG1BC,垂足为G.若S△4BC=15,BC= 6,则FG长为 【答案】哥 【解析】解：作射线CF交AB于点H,因为AD,BE是△ABC的中线，所以CH是△ABC的 中线，SAC8SacB8=2之SAARC,SACBH-SACBF-SACBE-SACBF,S△BH-SARCR.又：SARBH SA1HH S△FCB-S△AB,S△A-S△EAB.同t理，S△FCE=S△FCD,S△FBD广S△FBH, SAPC SAPSRG 6 BDXFG-×3FGg,FG胃 A H E B DG 14题图 【15】等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部 分，求这个等腰三角形的腰长为，底边长为 【答案】10,1 【解析】解：设腰长为x,底长为y. x+=15, ① +y=6. 解得x=10,y=1,三边长为10,10,1，能构成三角形； x+等=6 ② 5+y=15. 解得x=4,y=13,三边长为4,4,13,4+4<13，不能构成三角形. 所以答案是10,1 【16】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AB=10,AC=6.点H在AC上，连接DH,若 DH将△ABC的周长分成两部分的差是，求线段AH的长. B D 16题图 【答案】 【解析】解：AD是△ABC的中线，BD=CD,4B+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=10-6=4. 于是，根据题意，得AB+BD+DH+AH-(CD+CH+DH)=AB+AH-CH=AB+AH-(AC-AH)=AB- AC+21H9,4+21H总，解得AH号 【17】如图，在△ABC中，三条中线AD,BF,CE相交于点G,试判断S△4BG与S△4FG有怎 样的数量关系，并说明理由 E G B D 17题图 【答案】S△4EGS△AFG 【解析】解：S△4sGS△4G,理由如下： AD,BF,CE是△ABC的中线，SACBR SACBR-SAARC,SACB-SACBG SACB-SACRG, S△BBG=S△FCG.又：S△BGS△4GB（等底同高)，S△CG-S△AG（等底同高)，S△4GB=S△AFG. 【18】如图，在△ABC中，AD1BC,CELAB,己知AB=3,CE:AD=2,求CB的长 A D 18题图 【答案】6 【解析】解：AD1BC,CELAB,S△ABC三BCXAD-ABXCE,BCXAD=ABXCE, ∴BC-ABXCE ,AB-3,CE:AD-2,BC-ABXCE =3x2=6. AD AD 【19】如图，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE-CE.设△ADF的面积 为S1,△CEF的面积为S,若S△4Bc=6,求S-S的值. D B 19题图 【答案】1 【解析】解：“S△ABC6,BE=CE,·S△ABS△ABC2x6-3, AD=2BD,AD:AB-2:3,SAACD-SAARC36-4. 2 由图可知：S△4CD=S1+S△4FC,S△ABC=S+S△4FC 两式相减得：S△4cD-S△4Bc=S1-S,S1-S=4-3=1 【20】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，A(0,4.8),B(-3.6, 0),C(6.4,0),AB=6,∠BAC=90°.点P从点B开始向点C运动，运动的速度是2单位长度 /s,同时，点Q从点C开始向点A运动，速度为v单位长度/s.连接AP,BQ,AP与BQ相 交于点M.在运动过程中，若某一时刻点M恰好为△ABC的重心，求v的值. 20题图 【答案】1.6 【解析】解：BC-6.4-(3.6)-10,OA=4.8.由题意，得△AB-BC×OA之ABXAC, 10×4.8=6AC,AC-8.当点P运动到BC的中点，点Q恰好运动到AC的中点时，点M恰好 是A4BC的重心，此时运动的时间为258，喜16 【21】如图，在平面直角坐标系中，A(4,4),B(-8,0),点P从点B出发，沿x轴正方向以 4单位长度/s的速度运动，同时点Q从原点O出发以1个单位长度/s的速度沿x轴正方向运 动，设运动的时间为t（单位：s), (1)当F时，AO是△AP0的中线： (2)当仁 时，△APQ是的中线AM也是△APQ的高： (3)当△APO的面积为8平方单位长度时，求t的值， P 21题图 【答案】(1)1.6：(2)32：(3)或4 【解析】解：（1)根据题意，知P(-8+4t,0),Q(t,0).当AO是△APQ的中线时，点O是边PQ 的中点，根据中点坐标公式，得8+4+t0,解得1.6 2 (2)△4P0的中线4M1P吧，M=x4,p+Q4,即-8+=4，解得3.2 2 2 (3)P0-xQxp=f(-8+40=8-31,由S△APQ8,得号l8-34-8,18-3=4,8-3t=4或 8-3-4，解得或4. 【22】如图，在△ABC中，设S△4BC=1,D是BC的中点，D1是AC的中点，D2是D1C的中 点，是DC的巾点，一请你利用这个图形求之+员+是+是+…十26的值 A 2 B D 22题图 【答案】1- 1 22026 【解析】：S△ABC=l,D是BC的中点，D1是AC的中点，D是D1C的中点，D3是DC的中 11 11 点，，Sa4e025a0c422Sa0109g=2京，…，以此类推. 发1京京+1京是++=1-京 所以，22+京+云+元+…十2s=1-2 1,1 1 .1 ，1目录 【知识点1】三角形的中线.2 (1)三角形中线的定义 .2 (2)三角形的重心… 2 (3)三角形中线的性质 2 【知识点2】三角形的角平分线2 (1)三角形角平分线的定义 2 (2)三角形角平分线的性质 …2 【知识点3】三角形的高.… 3 (1)三角形高的定义 .3 (2)三角形三条高交点的位置 3 【基础训练】 …4 【培优训练】 6 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【知识点1】三角形的中线 (1)三角形中线的定义 连接三角形的顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线 A B D (1) (2) 任意一个三角形都有三条中线，且三条中线相交于一点 温馨提示：三角形中线是线段， (2)三角形的重心 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.所有三角形的重心都在三角形的内部， (3)三角形中线的性质 三角形中线将三角形分成面积相等的两部分 【知识点2】三角形的角平分线 (1)三角形角平分线的定义 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平 分线 B B D D (1) (2) 任意一个三角形都有三条角平分线，且三条角平分线相交于一点.所有三角形三条角平分线的 交点都在三角形的内部 温馨提示：三角形的角平分线是线段 (2)三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.（下一章学到） 【知识点3】三角形的高 (1)三角形高的定义 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 线，简称高 A B B D D (1) (2) 任意一个三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点 (2)三角形三条高交点的位置 锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点：（上面的图(2）) 直角三角形有两条高和直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们的交点就是直角顶点： (图3) 钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在 的直线相交于三角形外一点.（图（4）) A D D B F B E (3) (4) 温馨提示：三角形的高是线段， 【基础训练】 【1】在△ABC中，点D在边BC上，BD=CD,则下列说法正确的是() A.ADLBC B.∠CAD=LBAD C.射线AD是△ABC的中线D.线段AD是△ABC的中线 【2】下列说法不正确的是() A.三角形的一条中线把三角形分成两个形状和大小都相同的三角形 B.三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形 C.三角形两条中线的交点一定是该三角形的重心 D.所有三角形的重心都在三角形的内部 【3】BD是△ABC的中线，若△ABD与△CBD的周长相等，则△ABC() A.一定是锐角三角形 B.一定不是直角三角形 C.一定是等边三角形D.一定是等腰三角形 【4】如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABC的角平分线，AD与BE相交于点F,则 () A.AF是△ABE的中线 B.FE是△ADC的中线 C.BF是△ABD的角平分线D.BF是△ABD的中线 B B∠ D E D F 4题图 5题图 【5】如图，AD是△ABC的中线，∠BAE-LEAD,∠DAF=LAC,则( ) A.AD是△ABF的角平分线 B.AF是△ADC的角平分线 C.AD是△AEF的角平分线 D.AD是△ABC的角平分线 【6】下列说法正确的是( A.三角形的高与三角形的边垂直并且相交 B.三角形的三条高相交于一点 C.三角形三条高的交点可以在三角形内部也可以在三角形的外部还可以在三角形顶点处 D.三角形三条高所在的直线相交于一点 【7】如图，过△ABC的顶点A分别画出它的高、中线和角平分线. B C 7题图 【8】AD是△ABC的中线，AB-8,AC=5,则△ABD与△ACD周长的差为 【9】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. B DEF D E 9题图 10题图 (1)∠BAE= (2)若S△4BD=3,AC-3,则AB= (3)在(2)的条件下，若DB=2.5,则AF= 【10】如图，AD是△ABC的中线，AE1BC于点E,已知BD=3,CE=2DE,△ACE是等腰三 角形 (1)图中以AE为高的三角形有 个： (2)S△ADE= 【11】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6，若AB=12,则 AC= A B D 11题图 【培优训练】 【12】如图，AB1BD于点B,AC1CD于点C,且AC与BD相交于点E. (1)△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为 (2)若AE=5,DE=2,CD=,则AB= A 12题图 【13】如图，在△ABC中，点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，且S△ABC=4,则 SABEF- y E B D 13题图 【14】如图，△ABC的中线AD,BE相交于点F,FG1BC,垂足为G.若S△4Bc=15,BC= 6,则FG长为 A 内 E DG C 14题图 【15】等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部 分，求这个等腰三角形的腰长为 ，底边长为 【16】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AB=10,AC=6.点H在AC上，连接DH,若 DH将△ABC的周长分成两部分的差是，求线段AH的长. B D 16题图 【17】如图，在△ABC中，三条中线AD,BF,CE相交于点G,试判断S△4BG与S△4G有怎 样的数量关系，并说明理由 E G B D 17题图 【18】如图，在△ABC中，ADLBC,CELAB,已知AB=3,CE:AD=2,求CB的长， A 18题图 【19】如图，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE-CE.设△ADF的面积 为S1,△CEF的面积为S2,若S△4Bc=6,求S1-S3的值. B 19题图 【20】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，A(0,4.8),B(-3.6, 0),C(6.4,0),AB=6,∠BAC=90°.点P从点B开始向点C运动，运动的速度是2单位长度 s,同时，点Q从点C开始向点A运动，速度为v单位长度/s.连接AP,BQ,AP与BQ相 交于点M.在运动过程中，若某一时刻点M恰好为△ABC的重心，求v的值， 0 20题图 【21】如图，在平面直角坐标系中，A(4,4),B(-8,0),点P从点B出发，沿x轴正方向以 4单位长度/s的速度运动，同时点Q从原点O出发以1个单位长度/s的速度沿x轴正方向运 动，设运动的时间为t（单位：s). (1)当仁 时，AO是△APQ的中线： (2)当仁 时，△APQ是的中线AM也是△APQ的高； (3)当△APO的面积为8平方单位长度时，求t的值， 21题图 【22】如图，设S△4BC=1,在△ABC中，D是BC的中点，D1是AC的中点，D2是D1C的中 点，D是DC险中点，一清你利用这个图形水子是+是+京十是+…十G的值 D 4 2 8 D 6 B 22题图