4.2 线段、射线、直线　课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

湘教版七年级数学上册　第4章　图形的认识　4.2　线段、射线、直线 第4章　图形的认识 4.2　线段、射线、直线　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．理解线段、射线、直线的概念，会用字母正确表示它们，能说出三者的区别与联系。 2．掌握“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”两个基本事实，能用它们解释生活中的现象。 3．会比较线段的长短，理解线段的和、差及线段中点的意义，会进行有关线段长度的计算。 4．会用圆规作一条线段等于已知线段，会作线段的和与差；会用分类讨论思想解决线段问题。 二、知识梳理 知识点1　线段、射线、直线 （1）拉紧的绳子、笔直的铁轨都给我们以线段的形象。线段有两个端点。 （2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线，射线有一个端点。 （3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。 图1 名称 端点个数 延伸情况 能否度量 表示方法 线段 2个 不能延伸 能 线段AB（或BA），线段a 射线 1个 向一方无限延伸 不能 射线OA（端点O写在前面） 直线 0个 向两方无限延伸 不能 直线AB（或BA），直线l 注意：射线OA与射线AO不是同一条射线；线段、射线可以延长（射线只能反向延长），直线不能延长。 知识点2　直线的基本事实 基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。 应用：用两个钉子就能把木条固定在墙上（如图2）；木工师傅弹墨线；植树时先确定两端的树坑位置，就能使一行树栽在同一条直线上。 图2 点与直线的位置关系：点在直线上，或点在直线外。两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点（如图3）。 图3 知识点3　线段的比较与作图 （1）比较两条线段长短的方法：①度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再比较；②叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，观察另一端的位置（如图4）。 图4 （2）作一条线段等于已知线段：先画一条射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB=a。 （3）线段的和与差：如图5，AC=AB+BC=a+b，AB=AC−BC。 图5 知识点4　线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。如图6，点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB，AB=2AM=2MB。 图6 类似地，把线段分成三条相等线段的两个点，叫作线段的三等分点。 知识点5　两点之间线段最短 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短（如图7）。 图7 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。注意：距离是线段的长度，是一个数量，而不是线段本身。 应用：把弯曲的河道改直可以缩短航程；走路时“抄近路”；在草坪上踩出一条“捷径”等。 知识点6　线段、直线的计数规律 （1）一条直线上有n个点，以这些点为端点的线段共有条。 （2）平面内有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，过其中任意两点画直线，共可以画条直线。如图8，4个点共可画6条直线。 图8 易错提醒 ① 表示射线时，端点字母必须写在前面，射线AB与射线BA是两条不同的射线。 ② 直线、射线无法度量长度，不能说“直线AB长5 cm”，也不能说“延长直线AB”。 ③ “两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”要根据实际情境区分使用。 ④ 题目中没有给出图形时，点的位置可能有多种情况，要分类讨论，如点C在直线AB上时，点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上。 ⑤ 两点间的距离是指连接两点的线段的长度，而不是线段本身。 知识结构 内容 要点 三种线 线段（2个端点）、射线（1个端点）、直线（无端点） 两个基本事实 两点确定一条直线；两点之间，线段最短 线段的比较 度量法、叠合法 线段的计算 和、差、中点；分类讨论 计数规律 n个点：线段或直线共条 三、典型例题精析 【例1】下列说法中，正确的是（　　） A．射线AB与射线BA是同一条射线 B．直线AB的长为5 cm C．延长直线AB到点C D．线段AB与线段BA是同一条线段 【解析】射线的端点不同，不是同一条射线，A错误；直线不能度量，也不能延长，B，C错误；线段AB与线段BA是同一条线段，D正确。 【答案】D 【例2】下列现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（　　） A．用两个钉子把木条固定在墙上 B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．木工师傅弹墨线 【解析】A，B，D都是利用“两点确定一条直线”；C是把曲线改为线段，利用了“两点之间，线段最短”。 【答案】C 【例3】如图9，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，AB=10 cm，BC=4 cm，求线段AD和DB的长。 图9 【解析】AC=AB−BC=10−4=6（cm）。 ∵点D是AC的中点，∴AD=DC=AC=3 cm。 ∴DB=DC+CB=3+4=7（cm）。 【答案】AD=3 cm，DB=7 cm。 【例4】已知A，B，C三点在同一条直线上，AB=5 cm，BC=3 cm，求线段AC的长。 【解析】题目没有给出图形，点C的位置有两种情况，要分类讨论。 ①当点C在线段AB上时，AC=AB−BC=5−3=2（cm）； ②当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=5+3=8（cm）。 【答案】AC=2 cm或8 cm。 【例5】如图10，点C在线段AB上，AC∶CB=3∶2，延长AB到点D，使BD=CB。若AB=10 cm，求CD的长。 图10 【解析】∵AC∶CB=3∶2，AB=10 cm，∴AC=10×=6（cm），CB=10×=4（cm）。 ∵BD=CB，∴BD=2 cm。 ∴CD=CB+BD=4+2=6（cm）。 【答案】6 cm 【例6】如图11，一条铁路上有甲、乙、丙、丁4个站点，这条铁路上往返的车票共需印制多少种？有多少种不同的票价？ 图11 【解析】4个点之间共有线段=6条，每条线段对应一种票价，所以有6种不同的票价。 由于同一段路程往返方向不同，车票不同（如“甲→乙”和“乙→甲”），所以车票种数为6×2=12（种）。 【答案】12种车票，6种票价。 【例7】如图5，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使AB=a+b（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）。 【解析】作法说明：①作射线AM；②在射线AM上用圆规截取AC=a；③在射线CM上截取CB=b。线段AB就是所求作的线段，AB=a+b。 类似地，若要作线段a−b，只需在线段AC=a上，从点C向点A方向截取CB=b，则线段AB=a−b。 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．射线AB与射线BA是同一条射线 B．直线AB长5 cm C．线段AB与线段BA是同一条线段 D．延长射线OA 2．木匠在木料上弹墨线时，只要确定两个点的位置，就能弹出一条笔直的墨线，其依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．直线可以向两方无限延伸 3．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比曲线短 D．经过一点有无数条直线 4．点M是线段AB的中点，AB=10 cm，则AM的长为（　　） A．2.5 cm B．5 cm C．10 cm D．20 cm 5．A，B，C三点在同一条直线上，AB=6 cm，BC=2 cm，则AC的长为（　　） A．8 cm B．4 cm C．8 cm或4 cm D．无法确定 6．平面上有三个点，过其中任意两点画直线，可以画出直线的条数为（　　） A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无法确定 7．如图12，直线上有A，B，C，D四个点，图中共有线段（　　） 图12 A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 8．如图13，C，D是线段AB上的两点，AB=10 cm，CD=3 cm，则AC+DB的长为（　　） 图13 A．3 cm B．7 cm C．10 cm D．13 cm 9．下列图形中，能比较长短的是（　　） A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线 10．如图6，下列式子中，不能说明点M是线段AB中点的是（　　） A．AM=MB B．AB=2AM C．AM=AB D．AM+MB=AB 二、填空题 11．经过一点可以画________条直线，经过两点可以画________条直线。 12．如图12，以B为端点的射线有________条。 13．线段AB=8 cm，C是AB的中点，D是CB的中点，则AD=________cm。 14．如图13，AB=10 cm，AC=4 cm，D是CB的中点，则CD=________cm，AD=________cm。 15．连接两点间的线段的________，叫作这两点间的距离。 16．如图11，一条铁路上有4个站点，则往返车票需要准备________种。 17．线段AB=12 cm，点C在直线AB上，且BC=4 cm，M是线段AC的中点，则AM=________cm。 18．在直线l上顺次取A，B，C三点，使AB=4 cm，BC=6 cm，O是线段AC的中点，则OB=________cm。 B组　能力提升 三、解答题 19．如图14，点C在线段AB上，M，N分别是AC，CB的中点，AB=10 cm。 图14 （1）求MN的长； （2）若点C在线段AB上的位置发生变化，其他条件不变，MN的长是否改变？请说明理由。 20．如图15，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是DB的中点，AB=10 cm，CD=3 cm，求EF的长。 图15 21．如图5，已知线段a，b（a>b），用圆规和直尺作线段AB，使AB=2a−b（保留作图痕迹，写出作法和结论）。 22．如图8，A，B，C，D是四个村庄，现要修建一座水塔P，使水塔到四个村庄的距离之和PA+PB+PC+PD最小。水塔P应建在什么位置？请说明理由。 23．观察下列图形，填写表格并探究规律： 直线上点的个数 2 3 4 5 … n 线段的条数 1 3 … （1）补全表格；（2）若一条直线上有20个点，则共有多少条线段？ C组　拓展创新 24．已知线段AB=12 cm，点C在直线AB上，且AC∶BC=1∶3，求线段AC的长。 25．在数轴上，点A表示的数是−2，点B表示的数是8。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，M是AP的中点，N是PB的中点。 （1）当点P运动2秒时，求MN的长； （2）在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？请说明理由。 26．如图11，一条铁路上原有4个站点，现在又增加了2个站点，需要增加印制多少种车票？ 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．C 2．B 3．B 4．B 5．C　解析：点C在线段AB上时，AC=6−2=4（cm）；点C在线段AB的延长线上时，AC=6+2=8（cm）。 6．C　解析：三点在同一条直线上时画1条，不在同一条直线上时画3条。 7．D　解析：线段有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共=6条。 8．B　解析：AC+DB=AB−CD=10−3=7（cm）。 9．C 10．D　解析：只要点M在线段AB上，就有AM+MB=AB，不能说明M是中点。 11．无数；1 12．2　解析：以B为端点，向左、向右各有一条射线。 13．6　解析：AC=CB=4 cm，CD=2 cm，AD=AC+CD=6 cm。 14．3；7　解析：CB=10−4=6（cm），CD=3 cm，AD=4+3=7（cm）。 15．长度 16．12 17．8或4　解析：点C在线段AB上时，AC=12−4=8（cm），AM=4 cm；点C在线段AB的延长线上时，AC=12+4=16（cm），AM=8 cm。 18．1　解析：AC=4+6=10（cm），AO=5 cm，OB=AO−AB=5−4=1（cm）。 B组　能力提升 19．解：（1）∵M，N分别是AC，CB的中点，∴MC=AC，CN=CB。 ∴MN=MC+CN=AC+CB=(AC+CB)=AB=5 cm。 （2）不改变。由（1）可知，无论点C在线段AB上的什么位置，都有MN=AB=5 cm。 20．解：AC+DB=AB−CD=10−3=7（cm）。 ∵E是AC的中点，F是DB的中点，∴EC=AC，DF=DB。 ∴EF=EC+CD+DF=(AC+DB)+CD=×7+3=6.5（cm）。 21．解：作法：①作射线AM；②在射线AM上依次截取AC=a，CD=a；③在线段AD上，从点D向点A方向截取DB=b。线段AB就是所求作的线段，AB=2a−b。 22．解：连接AC，BD，AC与BD的交点就是水塔P的位置。 理由：若点P′是平面内任意一点，则P′A+P′C≥AC，P′B+P′D≥BD（两点之间，线段最短），当且仅当点P′在线段AC和线段BD上时等号成立，即点P′与AC，BD的交点P重合时，PA+PB+PC+PD最小，最小值为AC+BD。 23．解：（1）点数为4时，线段有6条；点数为5时，线段有10条；点数为n时，线段有条。 （2）当n=20时，=190（条）。 C组　拓展创新 24．解：分两种情况讨论。 ①当点C在线段AB上时，AC=AB=×12=3（cm）； ②当点C在线段BA的延长线上时，BC=3AC，BC−AC=AB，即2AC=12，AC=6（cm）。 （点C不可能在线段AB的延长线上，因为那样AC>BC。）所以AC=3 cm或6 cm。 25．解：（1）运动2秒时，AP=4，点P表示的数为2。AP的中点M表示的数为0，PB的中点N表示的数为5，所以MN=5−0=5。 （2）不变。设运动t秒时点P表示的数为−2+2t，则点M表示的数为=t−2，点N表示的数为=t+3。 MN=|(t+3)−(t−2)|=5，所以MN的长度始终为5，等于AB长度的一半。 26．解：原来4个站点需印制车票×2=12（种）； 增加2个站点后共有6个站点，需印制车票×2=30（种）。 需要增加印制30−12=18（种）车票。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $