3.7 二元一次方程组的应用课时作业 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A/B/C三级分层设计，以基础巩固→能力提升→拓展创新为路径，系统覆盖二元一次方程组应用的7类问题，强化模型意识与运算能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|和差倍分、行程等基础问题|选择填空为主，聚焦概念理解与基本运算| |B组|工程、阶梯水价等综合问题|解答题形式，整合多知识点与实际情境| |C组|运输方案、两次购进等复杂问题|含方案设计与跨情境应用，发展推理与创新意识|

湘教版七年级数学上册　第3章　一次方程与方程组　3.7　二元一次方程组的应用 第3章　一次方程与方程组 3.7　二元一次方程组的应用　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．会分析实际问题中的数量关系，找出两个等量关系，列出二元一次方程组解决问题。 2．掌握和差倍分、行程、工程、配套、销售利润、几何图形、数字等常见问题的等量关系。 3．会借助线段图、表格等分析数量关系，能检验解的合理性。 4．体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，提高应用数学知识解决实际问题的能力。 二、知识梳理 知识点1　列二元一次方程组解应用题的一般步骤 步骤 具体内容 审 弄清题意，找出已知量、未知量和题中的两个等量关系 设 用两个字母分别表示两个未知量（直接设或间接设），写清单位 列 根据两个等量关系列出方程组 解 解方程组，求出未知数的值 验 检验所求的解是否是方程组的解，是否符合实际意义 答 写出答案（包括单位） 知识点2　常见问题及其等量关系 问题类型 基本数量关系或等量关系 和差倍分问题 较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量 行程问题 路程=速度×时间；相遇：两人路程和=总路程；追及：快者路程−慢者路程=相距路程 顺流、逆流问题 顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度−水流速度 工程问题 工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总工作量（常把总工作量看作1） 配套问题 按配套比例找等量关系，如1个螺栓配2个螺母，则螺母数=2×螺栓数 销售利润问题 利润=售价−进价；售价=标价×折扣；利润率=×100% 数字问题 两位数=10×十位数字+个位数字 几何图形问题 根据图形中线段的长度关系、周长和面积公式列方程 知识点3　借助图示分析数量关系 （1）行程问题常用线段图分析。如图1是相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离；如图2是追及问题：甲走的路程−乙走的路程=出发时两人相距的路程。 　　　　 图1　相遇问题　　　　　　　　　　图2　追及问题 （2）含有多个量的问题常用表格分析，把已知量和未知量填入表格，便于找出等量关系。 （3）配套问题：如图3，1个螺栓配2个螺母，若生产螺栓x个、螺母y个，恰好配套，则y=2x。 图3 知识点4　检验解的合理性 解出方程组后，除了检验是否满足方程组外，还要检验是否符合实际意义。例如人数、件数、车辆数必须是正整数；速度、长度、价格必须是正数等。 易错提醒 ① 设未知数时要写清单位，列方程时方程两边的单位要统一，如“分钟”要化为“小时”。 ② 两个方程必须是两个不同的等量关系，不能用同一个等量关系列出两个方程。 ③ 顺流、逆流问题中，要分清静水速度和水流速度。 ④ 配套问题中，要弄清配套比例，如“1个螺栓配2个螺母”，应是“螺母数=2×螺栓数”，而不是“螺栓数=2×螺母数”。 ⑤ 求出解后要检验是否符合实际意义，最后要写出答案。 知识结构 环节 要点 关键 找出两个等量关系 分析工具 线段图、表格、示意图 常见类型 和差倍分、行程、工程、配套、利润、数字、几何 检验 满足方程组，符合实际意义 三、典型例题精析 【例1】学校为体育组购买体育器材，小丽和小强的对话如图4所示。求足球和篮球的单价。 图4 【解析】设足球的单价为x元，篮球的单价为y元。 根据题意，得 ①+②，得5x+5y=1000，即x+y=200。③ ②−①，得x−y=−20。④ ③+④，得2x=180，x=90；把x=90代入③，得y=110。 检验：2×90+3×110=510，3×90+2×110=490，符合题意。 【答案】足球的单价为90元，篮球的单价为110元。 【例2】A，B两地相距36千米，甲从A地、乙从B地同时出发。若相向而行，2小时后两人相遇；若同向而行（乙在前，甲在后），6小时后甲追上乙。求甲、乙两人的速度。 【解析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。 相向而行时，两人路程和=36千米（如图1）；同向而行时，甲的路程−乙的路程=36千米（如图2）。 根据题意，得，即 解得 【答案】甲的速度为12千米/时，乙的速度为6千米/时。 【例3】一艘轮船顺流航行48千米用了4小时，逆流航行48千米用了6小时。求轮船在静水中的速度和水流速度。 【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则顺流速度为(x+y)千米/时，逆流速度为(x−y)千米/时。 根据题意，得，即 解得 【答案】轮船在静水中的速度为10千米/时，水流速度为2千米/时。 【例4】某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母（如图3），为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【解析】设安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，则每天生产螺栓1200x个，螺母2000y个。 根据题意，得 由第二个方程得6x=5y，即y=x，代入第一个方程，得x+x=22，x=22，x=10，y=12。 【答案】应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 【例5】如图5，8个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长为92 cm，求每个小长方形的长和宽。 图5 【解析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm。 由图可知，大长方形的长可以表示为3x，也可以表示为5y，所以3x=5y；大长方形的宽为(x+y) cm。 根据题意，得，即 由第一个方程得y=x，代入第二个方程，得4x+x=46，x=46，x=10，y=6。 【答案】小长方形的长为10 cm，宽为6 cm。 【例6】某商店购进甲、乙两种商品共100件，共花费2700元，这两种商品的进价和售价如下表： 商品 甲 乙 进价/（元/件） 25 30 售价/（元/件） 30 38 （1）甲、乙两种商品各购进多少件？（2）全部售完后共获利多少元？ 【解析】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件。 根据题意，得 由第一个方程得y=100−x，代入第二个方程，得25x+30(100−x)=2700，−5x=−300，x=60，y=40。 （2）利润为(30−25)×60+(38−30)×40=300+320=620（元）。 【答案】（1）甲种商品60件，乙种商品40件；（2）共获利620元。 【例7】一个两位数，十位数字与个位数字的和是9，如果把十位数字与个位数字交换位置，得到的新两位数比原数大27，求原来的两位数。 【解析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，则原数为10x+y，新数为10y+x。 根据题意，得，即 解得，所以原两位数是36。 【答案】36 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两数的和为40，甲数比乙数的3倍少4，则甲数为（　　） A．11 B．29 C．30 D．33 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．一艘船顺流航行的速度为20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则船在静水中的速度和水流速度分别为（　　） A．18千米/时，2千米/时 B．20千米/时，4千米/时 C．16千米/时，2千米/时 D．19千米/时，1千米/时 5．一个两位数，十位数字与个位数字的和为8，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是（　　） A．35 B．53 C．62 D．71 6．甲、乙两种商品原价的和为500元，甲商品打八折，乙商品打九折后，共付420元，则甲商品的原价为（　　） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 7．甲、乙两人相距20千米，若相向而行，2小时相遇；若同向而行（甲追乙），10小时甲追上乙，则甲的速度为（　　） A．4千米/时 B．5千米/时 C．6千米/时 D．8千米/时 8．某班50名同学参加植树活动，A组每人植3棵，B组每人植5棵，共植树190棵，则A组有（　　） A．20人 B．25人 C．30人 D．35人 9．父亲今年的年龄是儿子的3倍，5年后父亲的年龄比儿子年龄的2倍多5岁，则儿子今年（　　） A．8岁 B．10岁 C．12岁 D．15岁 10．买3个A商品和2个B商品共需21元，买2个A商品和3个B商品共需19元，则买1个A商品和1个B商品共需（　　） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 二、填空题 11．某班40名同学为图书角捐书，男生每人捐2本，女生每人捐3本，共捐书100本，则男生有________人，女生有________人。 12．一个长方形的周长为30 cm，长比宽多3 cm，则长为________cm，宽为________cm。 13．一艘轮船顺流航行3小时行驶60千米，逆流航行4小时行驶48千米，则轮船在静水中的速度为________千米/时，水流速度为________千米/时。 14．两个数的和为60，差为12，则这两个数分别为________和________。 15．某公园门票价格为：成人票每张40元，学生票每张20元。某家庭与邻居共12人去游园，共付门票费360元，则其中成人有________人。 16．用60米布做衣服，每3米布可做上衣2件或裤子3条，1件上衣配1条裤子。为使上衣和裤子刚好配套，应用________米布做上衣，共可做________套衣服。 17．某商品按标价的八折出售，可获利20元；按标价的九折出售，可获利35元，则该商品的进价为________元，标价为________元。 18．如图5，若大长方形的长为30 cm，则每个小长方形的面积为________cm²。 B组　能力提升 三、解答题 19．一项工程，甲、乙两队合作6天可以完成；如果甲队先单独做4天，乙队再单独做9天，也恰好完成。甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 20．某市居民用水实行阶梯水价：每户每月用水不超过10吨的部分，每吨a元；超过10吨的部分，每吨b元。小明家3月份用水15吨，交水费40元；4月份用水18吨，交水费49元。 （1）求a，b的值； （2）若小明家5月份用水20吨，应交水费多少元？ 21．甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练习跑步。如果同时同地出发反向而行，40秒后两人第一次相遇；如果同时同地出发同向而行，200秒后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度。 22．某商场用2500元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表： 类型 进价/（元/盏） 售价/（元/盏） A型 40 60 B型 65 100 （1）这两种台灯各购进多少盏？ （2）若A型台灯按售价的九折出售，B型台灯按售价的八折出售，全部售完后，商场共获利多少元？ 23．一个两位数，十位数字与个位数字的和为11，把十位数字与个位数字交换位置后，得到的新两位数比原数小9，求原来的两位数。 C组　拓展创新 24．某运输公司有大、小两种货车，每辆大货车可装货物8吨，每辆小货车可装货物5吨。现有76吨货物需要一次运完，且每辆车都装满。 （1）如果大、小货车都要使用，有哪几种派车方案？ （2）已知每辆大货车运一次的费用为600元，每辆小货车运一次的费用为400元，哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 25．某超市两次购进A，B两种商品的情况如下表： 次数 A商品/件 B商品/件 总进价/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 （1）求A，B两种商品每件的进价； （2）某单位按进价从该超市购买A商品9件，B商品8件，超市给予优惠，只收了1062元，相当于按总进价打几折？ 26．小明家到学校的路先是一段上坡路，接着是一段下坡路（没有平路）。小明骑车上坡的速度为3千米/时，下坡的速度为5千米/时。他从家到学校用了36分钟，从学校回家用了28分钟。小明家到学校的路程是多少千米？其中上坡路和下坡路各是多少千米？ 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．B　解析：鸡有2只脚，兔有4只脚。 2．B　解析：，代入得4y−4=40，y=11，x=29。 3．B　解析：盒底数量是盒身数量的2倍，即43y=2×16x。 4．A　解析：设静水速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，，解得。 5．B　解析：，解得x=5，y=3，两位数为53。 6．C　解析：，由第一个方程得y=500−x，代入得0.8x+450−0.9x=420，x=300。 7．C　解析：，即，解得x=6。 8．C　解析：，解得。 9．B　解析：设父亲今年x岁，儿子y岁，，代入得3y+5=2y+15，y=10。 10．C　解析：两式相加得5(x+y)=40，x+y=8。 11．20；20　解析：，解得。 12．9；6　解析：，解得。 13．16；4　解析：顺流速度为20千米/时，逆流速度为12千米/时，，解得。 14．36；24 15．6　解析：，解得。 16．36；24　解析：设用x米布做上衣，y米布做裤子，，解得，可做上衣24件、裤子24条。 17．100；150　解析：设进价为x元，标价为y元，，两式相减得0.1y=15，y=150，x=100。 18．60　解析：3x=30，x=10；5y=30，y=6，面积为10×6=60（cm²）。 B组　能力提升 19．解：设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为。为便于计算，设甲队每天完成总工程的m，乙队每天完成总工程的n。 根据题意，得 第一个方程×2，得12m+12n=2；第二个方程×3，得12m+27n=3。两式相减，得15n=1，n=。 把n=代入6m+6n=1，得6m=，m=。 所以甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天。 答：甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天。 20．解：（1）根据题意，得 两式相减，得3b=9，b=3。把b=3代入第一个方程，得10a=25，a=2.5。 （2）10×2.5+(20−10)×3=25+30=55（元）。 答：（1）a=2.5，b=3；（2）应交水费55元。 21．解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒。 根据题意，得，即 解得。 答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。 22．解：（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏。 根据题意，得 由第一个方程得x=50−y，代入第二个方程，得40(50−y)+65y=2500，25y=500，y=20，x=30。 （2）A型台灯每盏利润为60×0.9−40=14（元），B型台灯每盏利润为100×0.8−65=15（元）。 共获利14×30+15×20=420+300=720（元）。 答：（1）购进A型台灯30盏，B型台灯20盏；（2）共获利720元。 23．解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y。 根据题意，得，即 解得。所以原两位数是65。 答：原来的两位数是65。 C组　拓展创新 24．解：（1）设派大货车x辆，小货车y辆，则8x+5y=76，y=。 ∵x，y都是正整数，∴76−8x是5的正整数倍。x=1时，y=（舍去）；x=2时，y=12；x=3，4，5，6时，y都不是整数（舍去）；x=7时，y=4；x≥8时，y≤0（舍去）。 所以有两种派车方案：方案一，大货车2辆，小货车12辆；方案二，大货车7辆，小货车4辆。 （2）方案一的费用：600×2+400×12=1200+4800=6000（元）； 方案二的费用：600×7+400×4=4200+1600=5800（元）。 ∵5800<6000，∴方案二费用最低，最低费用为5800元。 25．解：（1）设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。 根据题意，得 ②×2，得6x+14y=2220，③　③−①，得9y=1080，y=120。把y=120代入②，得3x=270，x=90。 （2）按进价计算，总进价为9×90+8×120=810+960=1770（元）。 =0.6，所以相当于按总进价打六折。 答：（1）A商品每件进价90元，B商品每件进价120元；（2）相当于打六折。 26．解：设从家到学校的上坡路长x千米，下坡路长y千米。去学校时先上坡后下坡，回家时原来的下坡路变成上坡路，原来的上坡路变成下坡路。 根据题意，得 两个方程都乘15，整理得 ①+②，得8x+8y=16，x+y=2；①−②，得2x−2y=2，x−y=1。 解得。 答：小明家到学校的路程是2千米，其中上坡路1.5千米，下坡路0.5千米。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $