函数与导数：利用导数研究零点问题、利用导数研究双变量问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用两大核心模块，通过精选各地开学考真题构建“例题-变式”训练体系，强化抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数研究零点问题|例3+变式3，含山东聊城、福建福州等地开学考真题|涉及奇偶性判断、单调区间求法、参数范围讨论，需结合函数极值与图像分析|从导数研究函数单调性切入，通过极值点分析函数图像走势，构建零点存在性判定的逻辑链条| |利用导数研究双变量问题|例3+变式3，含湖北阶段检测、上海开学考真题|包含极值点关系证明、切线平行条件、不等式证明，需转化变量或构造函数|基于单变量导数应用，拓展至多变量情境，通过消元、换元或构造新函数建立变量间逻辑联系|

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：利用导数研究零点问题、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究零点问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究零点问题 例1．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)为偶函数. 证明：的定义域为 ，关于原点对称； ， 所以为偶函数. (2)3个 【分析】（1）利用定义域关于原点对称和进行证明； （2）利用偶函数的特点结合函数的单调性和零点存在定理进行讨论. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 由（1）得：为偶函数，所以只需研究上零点个数，即可得到上的零点个数. 当，，，所以单调递增， 当，，，所以单调递减， 且，， 当，， 根据零点存在定理，，，所以在上存在唯一的零点，则 在上也存在唯一的零点，又因为，所以0也是一个零点， 综上所述，在区间上的零点个数为3. 例2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和最值． (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间，的单调递减区间；的最大值为，无最小值． (2) 【分析】（1）先求导得出，再根据正负确定单调区间，进而求出最值. （2）分和讨论，时再根据正负细分情况，结合函数单调性和零点存在定理确定范围. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为， 当时，，， 令，，解得，， 当时，，，所以， 当时，，，， 所以的单调增区间，的单调减区间， 即在处取得最大值，，无最小值． （2），， 若，当时，，， 所以，在上无零点，舍去， 若，则， 令，则， 则在上单调递减，且， ①若，即，此时，，在上单调递减， 又因为，所以，不合题意，舍去， ②若，即，此时，则存在，使得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且，所以存在唯一的，使得，满足条件， 综上所述，实数的取值范围为． 例3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程； (2)若在上有2个零点，求的范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合题意与导数得到，进而求解参数值，再得到切线方程即可. （2）将零点问题合理转化为交点问题，再结合导数求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 则，而曲线的切线与轴平行，可得， 解得，此时得到，，故切线方程为. （2）因为在上有2个零点， 所以在上有2个解，得到在上有2个解， 即与在上有2个交点， 而，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 可得，即的范围为. 变式1．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)当时，证明：有唯一极值点； (3)讨论的零点个数． 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ； (2)，设， 则，因为 ，所以 ，， ①当，，则 因为 ，故 ，，又、，因此， 即 在 上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，在 内有唯一零点； ②当，，结合 ，得 ； 又 ，，得 ，且与不能同时取为0， 因此 恒成立，无零点， 所以在 内有唯一零点，记该零点为， 则，，单调递减，，，单调递增， 所以是唯一的极值点，故有唯一极值点. (3)当，的零点个数为1；当，的零点个数为2. 【分析】（1）利用导数判断的单调性，计算出的端点值和极值，比较可得最值； （2）设，证明在内存在唯一零点，且是变号零点，则有唯一极值点；（3）分和对进行讨论零点个数. 【详解】（1）当 时，，，， 令，得 或 ， 当 时，，故， 单调递增； 当 时，，故， 单调递减， ，， ， 所以的最大值为 ，最小值为 . （2）略 （3）, ,， 即 恒为一个零点，只需讨论 内是否存在其他零点， ①当， ，则，， 因此 ，等号仅在 时成立， 故 时， 仅有 1 个零点； ②当，由第 (2) 问知的单调性：在 单调递减，在 单调递增（ 是 的极小值点）， ，， 因此存在唯一 ，使得， 即 时，， 单调递减； 时，， 单调递增， 在 处取得最小值 ，因 在 递增，故 ； 又 ，根据零点存在定理， 在 内存在一个零点， 加上恒成立的零点 ，此时 共有 2 个零点， 综上所述，当 时， 有 1 个零点；当 时， 有 2 个零点. 变式2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，函数存在极大值； (3)若有三个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明：因为， 又因为，令，得，所以， 由两函数的图象可知，两函数在上存在唯一一个交点，设此交点的横坐标为， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 所以函数在处取极大值. (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令，得，即有，利用函数与图象的交点个数，从而确定的根的个数，判断出函数的单调性，即可得证明； （3）将问题转化为直线与函数有三个不同交点，利用导数确定的单调性及极值，再作出图象，利用图象求解即可. 【详解】（1）当时，，所以，即切点为, 且，所以， 所以切线方程为，即； （2）略； （3）令，得， 令， 则直线与函数有三个不同交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在处取最得极小值，在处取最得极大值为， 又因为当时，，当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得，所以实数的取值范围为. 变式3．（26-27高三上·北京·开学考试）设函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. (3)若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，，定义域为 . 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，， 即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值. (3)，或 【分析】（1）先求导再根据切线斜率和导数的关系代入计算即可； （2）将代入原函数，求导并求出导函数值域分析即可； （3）求导，根据t的取值情况讨论原函数单调性，再结合零点存在定理可求参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得，所以，解得. （2）略 （3）设函数，． 求导，得. ①当时， 由，得，所以在单调递增． 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意． ②当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故有且仅有一个零点，符合题意． ③当时， 令，解得． 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 因为，，且在上单调递增， 所以. 又因为存在，， 所以存在使得， 所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上，曲线有一个零点时，的范围是，或. 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，存在，使得，证明：； (3)当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)若，结论成立． 若，有，要证，只需证，即证， 即证对任意，恒成立． 令，，则， 令，， 当时，， 即在上单调递增，， 在上单调递增， ，即任意，恒成立，即. (3)反证法：令， 由前面可知，，在上单调递增， 即， 即对每一个，都有， 将这个式子累加有，① 另一方面， 因为，，， 所以，即与①矛盾， 故假设不成立，必存在两个不同下标，使． 【分析】（1）常规含参函数讨论单调性； （2）由分离参数，将两个变量转化为一个变量，从而得到需要证明，通过构造函数，利用导数研究函数最值，即可得证； （3）由（1）的结论得到函数的单调性，通过叠加构造证明矛盾即可. 【详解】（1）因为，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 即的单调递增区间是，的单调递减区间是； （2）略 （3）略 例2．（26-27高三上·上海·开学考试）已知函数的图象上有不重合的两点，． (1)若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； (2)若，设的中点为，求证： ． 【答案】(1) (2)由题意， 则， 因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证，即证， 由于，即证， 不妨设，只需证，即证， 设，构造函数，则， 所以函数在单调递增，故， 即，从而． 【分析】（1）由切线斜率相等得到，再结合基本不等式即可求解； （2）先根据已知条件表示出和，然后将问题转化成，再构造新函数，求导通过单调性证明即可. 【详解】（1）由题意：，． 所以，． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是. （2）略 例3．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i） （ii）由（i）知，，且，即. 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设， 则．     则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程. （2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围； （ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论. 【详解】（1）当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． （2）（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故．     当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点．     又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得．     （ii）略 【点睛】方法归纳： 1. 已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解. 2. 双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明. 变式1．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知函数，，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数， ①若函数在上不具有单调性，求的取值范围； ②若函数有两个不同的极值点，，求证： 【答案】(1) (2)①； ②要证，因为单调递增，只需证：. 由题意，​是的两个根，故：，， 两式作差得：，不妨设，则. 令，则，所以， 即，所以，因此. 要证，只需证，即只需证. 令，， 令，则，所以在上单调递增， 因此在上单调递增，则，所以在上单调递增， 所以，即恒成立，因此恒成立， 所以恒成立，因此成立. 【分析】（1）直接由导数的几何意义可得切线方程； （2）①直接用导数可得函数的导函数的最小值，再令即的最小值小于零可得；②先由​是的两个根，得，再令，从而将不等式转化为，再构造函数，用导数判断成立可得. 【详解】（1）由函数，所以，，. 所以切点为，切线的斜率为， 由点斜式得切线方程：，整理得：. 因此曲线在点处的切线方程为. （2）①由， 在上不单调，等价于存在变号零点，即的最小值小于. 设，求导得，令得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故的最小值为，且 所以令，得，因此的取值范围为. ②略 变式2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得的单调性，进而得到的图象，采用数形结合的方式可求得的范围； （ii）令，，根据的取值范围可得到的范围，采用比值代换的方式，将问题转化为已知函数的值域，求解定义域的问题. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由题意知：， 存在两个极值点，存在两个变号零点， 令，即，显然不是方程的根， 有两个不等实根， 设，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 当时，；当从负方向趋近时，； 当从正方向趋近时，；当时，；； 由此可得图象如下图所示， 若与有两个不同交点，则. （ii）由（i）知：，，， 令，，且， 则，， ， 设，则，， ，，， 设，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增， 又，，， ，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（极值点）个数问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 变式3．（25-26高三上·浙江台州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明： 【答案】(1)在上单调递增. (2)（i）； （ii）由（i）且，不妨设， 则 ， 要证，需证，即， 只需证， 即，令，则证， 由（1）可知当时，在上递增， 又，故， 即， 综上， 【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性. （2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围. （ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果. 【详解】（1）当时，， . 显然，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. （2）（i）由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故， 又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得，即的取值范围是. （ii）略 【点睛】关键点点睛： 有两个极值点，函数有两个正根，利用二次函数性质得出的范围. 将函数解析式代入中，利用韦达定理化简式子，再利用第一问的结果证明出结果. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：利用导数研究零点问题、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究零点问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究零点问题 例1．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 例2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和最值． (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 例3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程； (2)若在上有2个零点，求的范围． 变式1．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)当时，证明：有唯一极值点； (3)讨论的零点个数． 变式2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，函数存在极大值； (3)若有三个不同的零点，求的取值范围. 变式3．（26-27高三上·北京·开学考试）设函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. (3)若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，存在，使得，证明：； (3)当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 例2．（26-27高三上·上海·开学考试）已知函数的图象上有不重合的两点，． (1)若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； (2)若，设的中点为，求证： ． 例3．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 变式1．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知函数，，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数， ①若函数在上不具有单调性，求的取值范围； ②若函数有两个不同的极值点，，求证： 变式2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 变式3．（25-26高三上·浙江台州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明： 2 学科网（北京）股份有限公司 $