单元(五)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（湖南专版）

AN ·数学· 单元（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 含有一个量词的命题 1 选择题 5 别 0.80 的否定 2 选择题 5 判断函数零点的个数 易 0.78 3 选择题 5 判断零点所在区间 易 0.76 4 选择题 5 二分法 易 0.72 选择题 由函数单调性求参 务 0.65 指数型函数的实际 6 选择题 5 应用 中 0.55 7 选择题 5 比较函数零点的大小 √ 分 0.40 8 选择题 5 函数零点之和问题 难 0.28 9 选择题 6 函数增长快慢的比较 中 0.65 10 选择题 6 函数图象的识别 / 农 0.50 11 选择题 6 嵌套函数零点问题 难 0.25 12 填空题 5 与零点有关的举例题 易 0.73 13 填空题 5 对数运算 分 0.55 14 填空题 5 对数函数的实际应用 中 0.45 15 解答题 13 二次函数的零点分布 易 0.72 16 解答题 15 指数函数的性质 中 0.60 17 解答题 15 函数的实际应用 中 0.50 拟合函数模型的实际 18 解答题 17 务 0.45 应用 19 解答题 17 由函数的零点求参 难 0.28 ·23· ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 1.C【解析】变量词：]变V,否结论：a2o6>0且a2o27 y=1.5x y=l0g12x <0变为a2026≤0或a2027≥0.故选C 2.B【解析】令∫(x)=0,易求得x=2或-3.故选B. 3.C【解折】函数f代)=lg:(u+1)-的定义被 16 为-1，+)，函数y=1g:+1y=-2在 (一1，+∞)上都单调递增，则函数f(x)在 211 （-1,+0)上单调递增，而f0)=-之<0，f(1)= 当直线y=一x十k为l1时，a<b<c:当直线y=-x 号>0，所以两数x)烤点所在的一个区间是(0,1D. 十k为l2或l1时，a=b<c:当直线y=一x十k为la 时，ba<c;当直线y=一x十k为l;时，a<b=c:当 故选C. 直线y=一x十k为l:时，a<c<b:当直线y=一x十k 4.B【解析】原始区间长度为3一2=1，第一次，区间长 为移动到l:左端的直线时，始终有a<b,c<b.综上 度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25 所述，a<b<c,a=b<c,b<a<c都有可能成立，而b >0.1,第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四 <a=c不可能成立，故选C. 次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复 四次.故选B. 8.C 【解坛、.)=1=x-1=1十二1， x-1--1 5.A【解析】f(x)=|(ax-1)x|=|a.x2-x|,当a =0时，f(x)=|一x|=|x在(0，十∞)上单调递 :函数g(x)的图象由y=二的图象向右平移1个单 增，满足题意；当a>0时，令g(x)=ax-x,其对称 位，再向上平移1个单位得到的，根据反比例函数的 性质可知g(x)在（一∞，1）和(1，十∞)上单调递 轴为x=品零点为x=0和x=,函数f() 减，又f(x)=e在R上单调递增，故在同一平面直 角坐标系下画出函数f(x)=e与函数g(x)= 1g(x)川在区向(0，品)上单调递增，在区间 号的图象，如图所示. (会，占)上单调递减，在区向（日，十）上单调递 ly=f(x) 增，不合题意；当a<0,x∈(0，十o∞)时，因为ax-1 <0,所以(ax-1)x<0,所以f(x)=-ax2十x= y=g(x) -a(x-)广'+，所以函数f(x)在(0，十o)上 单调递增，满足题意.综上，实数a的取值范围是 (-∞，0].故选A. 011 6.D【解析】设经过x天“进步值”是“退步值”的16 倍，则16×09=1.0，即(9)=16，故 ®（后：8了=g16,故= 1g16 1g101-lg99 由图可知：函数)=e与函数g(x)=告的图 象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为 4×0.3010 2.0043-1.9956≈138，故大约经过138天.故选D. 1,则是方程-号的解，若1是方程 7.C【解析】依题意，令1.5“十a=log1.2b十b=sinc十c =k,则1.5=-a十k,log1.2b=-b十k,sinc=-c十 =当的解，即e1片又碧十品 e*=x+1 k,则a,b,c可分别视为函数y=1.5,y=log.2x,y= sinx的图象与直线y=一x十k交点的横坐标，在同 吉-e4一4也是方程心=号的解 1 一坐标系中画出函数y=1.5,y=logL2x,y=sinx -x1,则x1十x2=x十(-x1)=0.故选C. 和y=一x十k的图象，如图， ·24· AN ·数学· 二、选择题 f(x)=t有2解，当t∈(3,4)时，f(x)=t有3 9.BCD【解析】作出函数(x)(i=1,2,3)的图象， 解.所以g(x)有5个零点；当m=0时，f(t)=0只 如图所示， 有1解t=4,(x)=4有2解，所以g(x)有2个零 点：当m0时，f(t)=m只有1解，且t>4,此时 y=)/ y=5(x) f(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个零点.综 上，当m∈(-o∞，0)U(4,十∞)时，g(x)有1个零 y-f(x) 点；当m=0时，g(x)有2个零点；当m=4时，g(x) 有3个零点：当m∈(0,3)U(3,4)时，g(x)有5个 零点；当m=3时，g(x)有6个零点.故B,D正确.故 选BD. 三、填空题 当x>1时，f(x)>f2(x)>f(x),即甲在最前 12.x2-9(答案不唯一)【解析】若f(x)=x2一9，则 面，丙在最后面，A错B对：当0<x<1时，f3(x)> ∫'(x)=2x,满足性质①；令∫(x)=x2-9=0,解 f2(x)>fi(x),即甲在最后面，丙在最前面，CD都 得x=士3，则函数∫(x)恰有两个零点，满足性质 对.故选BCD. ②；而f(3)=0,满足性质③.故∫(x)=x2-9满 10.AC【解析】令g(x)=f(|x十1|)十1，其中x∈ 足题意」 R,则g(-1-x)=f(|-1-x十1|)十1 13.48 【解析】由题意，lg(3a十4b)=lga十lgb= f(x)+1,g(-1十x)=f(|-1+x十1|)+1 lg(ab),a>0,6>0,则3a十4h=a0,即子+吾=1， f(x)十1，则g(-1-x)=g(-1十x),故g(x) =f(|x十1|)十1的图象关于直线x=-1对称， 所以3a+46(3a+46(各+兰)=器+18+24 排除B选项，因为f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x)在(-∞，0)上单调递减，故f(x)在 受·画+24=8，当且仅当2-12.即a= ≥2Nb (0,十∞)上单调递减，故当x>-1时，x十1>0，此 8,b=6时等号成立，则3a十4b的最小值为48. 时g(x)=f(x十1)+1，故g(x)在(-1，十∞)上 单调递减，排除D选项，故选AC. 14.100 【解析】由题意得y=10lg。=10W/m, 11.BD【解析】令f(x)=4,解得x=1-e或2；令 f(x)=3,解得x=0或1或3.根据函数图象的平 当声强级为70aB时，70=101g会→1g2=7→2 移变换，画出f(x)的简图，如图所示 =10,∴.10=107I0;当声强级为50dB时，50 10g先>lg会=5→是=10,1w=101号 y=f(x) 1016二100 =101 四、解答题 15.解：(1)设函数∫(x)=x2-2m.x十m十2， 易知该函数的图象开口向上，对称轴为x=m, 要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和 1-e 0 x轴的正负半轴各有一个交点，如图， y 令g(x)=0,则f(f(x))=m.令f(x)=t,则 f(t)=m.当m>4时，∫(t)=m只有1解，且t<1 -e,此时∫(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个 零点：当m=4时，f(t)=4有2解，即t=1-e或2. f(x)=1-e有1解；f(x)=2有2解.所以g(x) 有3个零点；当m∈(3,4)时，f(t)=m有3解i, t2,t,ti∈(1-e,0),t2∈(1,2)，t∈(2,3).当i ∈(1一e,0)时，f(x)=t只有1解；当t2∈ (1,2)时，f(x)=t有2解；当t∈(2,3)时， 需使f(0)=m十2<0，解得m<-2, 故m的取值范围为（一∞，一2）. (4分) f(x)=t有2解.所以g(x)有5个零点；当m=3 时，f(t)=3有3解，即t=0或1或3.∫(x)=0只 (2)要使方程的两根均大于1，如图， 有1解；f(x)=1有2解；f(x)=3有3解.所以 g(x)有6个零点；当m∈(0,3)时，f(t)=m有2 解t,t,t∈(0,1)，t∈(3,4).当t∈(0,1)时， ·25· ·数学· 参考答案及解析 即2x2-40x十72<0，解得2<x<18, 因为x∈N,所以3≤x≤17， 即从第3年开始，该设备开始盈利. (5分) (2)方案①：平均盈利额为义=一2x十40-72 0124 =-(2+)+40≤-2V2r…平 +40=-2× ix=m 12+40=16, 1△=4m2-4(m十2)≥0 当且仅当2x= 华，即x=6时等号成立。 需使m>1 ,解得2≤m<3, f1)=-m+3>0 所以第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格 故m的取值范围为[2,3). (8分) 处理该设备，共盈利16×6十52=148万元.(10分) (3)因为f(1)=3-m,f(4)=18-7m, 方案②：盈利额为y=-2x2十40x-72,当x=10 若方程在(1,4)上有两个不等实根， 时，盈利额达到最大值，为128万元， △=4m2-4(m十2)>0 所以第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处 理该设备，共盈利128十20=148万元， (14分) 需使 1<m<4 f(1)=3-m>0 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新 f(4)=18-7m>0 更快，更有利于提高生产效率， 所以方案①更合理 (15分) 解得2<m<9. 18.解：(1)由题意知，f(9)=8, 故m的取值范围为(2，)】 17 (13分) 即9-17×9-g十90=8，解得m=10.(4分） 16.解：(1)该函数图象过原点，且无限接近直线y=2 (2)由表可知，函数g(x)先增后减， 但又不与该直线相交， 则只有模型g(x)=ax2十bx十c符合， .a十b=0且b=2, 由表可知，g(7)=49,g(8)=50,g(9)=49, .a=-2, (3分) 49a+7b+c=49 a=-1 则64a十8b+c=50,解得b=16, ∴.f(x)= 2() +2, (81a+9b十c=49 c=-14 “y=(号)是减函数，=x在(-∞，0)上单调递 所以g(x)=-x2十16x-14(x>0). (10分) (3)F(x)=f(x)十g(x) 减，在(0，十∞)上单调递增，一2<0， 2-5-x2+16x-14,0<x≤8 .y=f(x)在(-∞，0)上单调递减，在 100 (0,十∞)上单调递增 (6分) -x-x+76,8<x≤24， (2)若a=1,b=0,则f(x)= 函数g(x)=-x2十16x-14的对称轴为x=8, 故函数g(x)=-x2十16.x-14在(0,8]上单调 g(x)=fx)-f(x)=2 () (7分) 递增， 又函数y=25在定义域上单调递增， 2g(2t)+mg(t)=2（221- 1 所以函数F(x)在(0,8]上单调递增， 22 则当x∈(0,8]时，F(x)mmx=F(8)=58,(13分) m(21-) 当8<x≤24时，F(x)=-x 100. x+1 +76 当[0,3]时，即为2(2-品)十m(2-)≥ x+10+1007 x+1 77， 0,即m(2-1)≥-(21-1). (10分) .224-1>0, 因为x十1十 100 =20 x+1 .m≥-(2+1)对于t∈[0,3]恒成立.(13分) 当且仅当x十1= ,即x=9时取等号，15分) 100 t∈[0,3]， ∴.-(1十22)∈[-65，-2]， .m≥-2. 所以F(x)=一 (.x+1)+1007 十77≤-20十77 x+1 .m的取值范围是[一2，十o∞). (15分) =57, 17.解：(1)由题意得使用x年后：y=50x-72一 即当8<x≤24时，F(x)mx=F(9)=57。 (2x2+10x)=-2x2十40x-72,x∈N“. 又F(8)>F(9), 令y>0,即-2x2+40x-72>0, 所以，当x=8时F(x)取得最大值58. (17分) ·26· AN ·数学· 19.解：(1)f(x)为偶函数， .a的取值范围是(1，十∞). (10分) .Hx∈R,有f(-x)=fx), (3)当x2∈R时，f(2x2)=log。(a22+1)-x2 log。(ax十1)十bx=log.(a十1)-bx对Hx∈R =log.( 恒成立。 2+1）=log.(a十a), ∴.log.(a+1)-log.(a+1)=2bx对Hx∈R恒 由(2)知a>1,a?十a2≥2，当且仅当x2=0时取 成立 等号， ∴.x=2bx,x∈R恒成立， ∴.f(2x2)的最小值是log.2. 6宁 由题意，Hx1∈(0，十∞)，]x2∈R,使得g(2x1)十 (5分) (m-1)g(x1)-f(2x2)>0成立， (2)若函数h(x)=f(x)一x-a有零点， 1 即Hx1∈(0，+o∞)，a2十(m-1)a21>log.2 成立， 即log.(a十1)-x=a有解， m>log2-a+1对V∈(0，十o)恒成立， 即og.(a+1)-loga=alg.(（1+)=a a"l 有解. 设仁a1,则t>1,则m>log2-t+1对t>1恒成 t 令px)=lg(1+）): 立， (14分) 则函数y=p(xr)图象与直线y=a有交点。 设函数k(t)=1og2-t什1(t>1), t 当0<a<1时， 1+>1,p(x)=log(1+)<0, 易知函数y= og2和函数y=-t在1，十∞)上都 t 是减函数， log(1+）=a无解。 (8分) ÷k(t)=1og2-t+1(>1)在1，+0)上是减 t 当a>1时， 函数， 1+2>1px)=le(1+)>0, 则k()=log2-4+1<1og2-1+1=1og.2, t 由log(1+）=a有解，可知a>0, .m≥log.2. 即m的取值范围是[log.2,十o∞). (17分) a>1, ·27·单元（五）函数的图象、函数与方程、函数的应用 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.“]a∈R,a2026>0且a2o27<0”的否定是 A.]a∈R,a2026≤0或a2o27≥0 B.Ha∈R,a2o26<0或a2o27>0 C./a∈R,a2o26≤0或a2o27≥0 D./a∈R,a2o2s≤0且a2o27≥0 x-2,x≥0， 2.函数f(x)= 9一。的零点个数为 0 A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数f()=1og:(x+1)一2的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0 C.(0,1) D.(1,2) 4.用二分法求函数f(x)=1x+2x一6在(2,3)上的零点近似值，若精确度要求为 0.1,则需重复相同步骤的次数至少为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.若函数f(x)=|(ax一1)x在区间(0，十∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(-∞，0] B.(-c∞，0) C.[0,十o∞) D.(0,十o) 6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日 积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1十1%)36看作是每 天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1-1%)365看作是每天 “退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255，这样，一年后的“进步值”是“退步值” 的人.01365 :99≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的16倍，大约经过的天数为 (四舍五入保留整数，参考数据：1g101≈2.0043,1g99≈1.9956，lg2≈0.3010) A.62 B.104 C.107 D.138 7.已知实数a,b,c满足1.5a十a=log1.2b+b=sinc十c,则下列关系不可能成立的是 A.a<b<c B.a=b<c C.b<a=c D.b<a< 第1页（共4页) 数学· 8.函数x)=e与函数g)-片的图象所有交点的横坐标之和为 A.-In 2 B.In 2 C.0 D.1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f;(x) (i=1,2,3)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x一1，f2(x)=x,f3(x) =1og2(x十1)，则下列结论正确的是 A.当x>1时，乙在最前面 B.当x>1时，甲在最前面 C.当0<x<1时，丙在最前面 D.当0<x<1时，甲在最后面 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）上单调递减，则函数y f(x+1)+1的图象可能是 A D 11.已知函数f(x)=厂x+4x,x>0 ln(-x+1)十3，x≤0，函数g(x)=f(f()-m,则下列结论正 确的是 A.若m=0,则g(x)有1个零点 B.若m=3,则g(x)有6个零点 C.若g(x)有5个零点，则m的取值范围为(0,3) D.g(x)一定有零点 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= ①f(x)=2x;②f(x)恰有两个零点；③f(3)≥0. 13.已知正数a,b满足1g(3a+4b)=lga+lgb,则3a十4b的最小值为 14.在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y(单位：dB(分贝))定义 为y=10lg子，其中1为声场中某点的声强度，其单位为w/m(瓦/平方米)，1。= 1012W/m为基准值.则声强级为70dB时的声强度Io是声强级为50dB时的声 强度I5o的 倍. 五 第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知方程x2一2mx十m十2=0，求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根； (2)方程两根均大于1； (3)方程在(1,4)上有两个不等的实数根. 16.(本小题满分15分) 已知函数=a侵》广 +b. (1)若f(x)的图象过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，求f(x)的 解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）； (2)若a=1,b=0,g(x)=f 一f(x),且2'g(2t)+mg(t)≥0对于任意的t∈ [0,3]恒成立，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备 后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前x年的维修、保养等费用共 (2x2十10x)万元.设使用x年后该设备的盈利额为y万元（设备的盈利额=因设备 额外产生的收益一设备的购进成本一设备维修保养费)，其中x∈N*! (1)写出y关于x的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利； (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备. 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由. 第3页（共4页） 数学· 18.(本小题满分17分) 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通 过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分十每天生产效率评 分，而工厂的产品质量评分f(x)(单位：分)与每天生产时长x(单位：小时)的函数 2x-5 0<x≤8 关系近似满足f(x) x2-17x- ,十90,8<x≤24：而生产效率评分g()(单 位：分)与每天生产时长x(单位：小时)的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 g(x) 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分 (1)求m的值； (2)给出三个函数模型：①g(x)=ax十b:②g(x)=ax2十bx十c;③g(x)=a-b.根 据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率评分 g(x)与每天生产时长x(单位：小时)的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为F(x),求当x为何值时F(x)取得最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=log。(a+1)-bx(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)=a(a >0且a≠1). (1)求b的值； (2)若函数h(x)=f(x)一2x一a有零点，求a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若Hx1∈(0，十∞)，x2∈R,使得g(2x1)+(m-1)g(x1)一 f(2x2)>0成立，求实数m的取值范围. 五 第4页（共4页） AN