3.2.1第2课时双曲线及其标准方程的应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固+能力进阶”分层设计，以双曲线标准方程应用为核心，从概念辨析到综合应用，梯度递进培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线标准方程、焦距、焦点等概念，简单轨迹方程|含选择、填空、解答题（1-10题），如第1题聚焦焦距与a的关系，第8题结合实际情境建立轨迹方程，夯实基础| |能力进阶|双曲线与椭圆、圆的综合应用，复杂轨迹问题|以综合选择、解答题为主（11-15题），如第14题通过监测点信号建立双曲线模型，第11题结合内切圆探究轨迹，提升逻辑推理与数学建模能力|

3.2.1第2课时　双曲线及其标准方程的应用 【基础巩固】 1．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a=(　　) A．　　 B．5　　 C．7　 　 D． 2．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1 3．已知P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆(x－4)2＋y2＝4上的动点，则P，Q两点间的最短距离为(　　) A．－2 B．－1 C．－1 D．2－2 4．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　) 　 图1 图2 A．10米 B．20米 C．10米 D．10米 5．(2026·河北保定三模)已知O为坐标原点，双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C右支上一点，则|PF1|＋|PF2|－2|OP|的最大值为(　　) A．2－2 B.2－1 C．2 D．2＋2 6．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________． 7．已知双曲线C：＝1上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线C的方程为________． 8．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，若以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则曲线PQ的轨迹方程是______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km. 9．已知A，B两点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 10．已知A，B，C是我方三个炮兵阵地，如图，A在B的正东方向，相距6 km，C在B的北偏西30°方向，相距4 km，P为敌方炮兵阵地．某时刻A处发现敌方炮兵阵地的信号，由于B，C两地比A距P远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s)，A地若炮击P地，求炮击的方向角． 【能力进阶】 11．已知△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A．＝1　　　 B．＝1 C．＝1(x>3) D．＝1(x>4) 12．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝9，C2：(x－4)2＋y2＝9，动圆C与圆C1外切，且和圆C2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≥3) B．＝1 C．＝1 D．＝1(x≥3) 13．如图所示，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BO＝OC＝CD＝1，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－＝1 14．如图所示，某野生动物保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注：信号每秒传播V0 km)． (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如题图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 15．已知△ABC的顶点A(－p，0)，B(p，0)，其内心在直线x＝q上，且p>q>0，则顶点C的轨迹方程为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1第2课时　双曲线及其标准方程的应用 【基础巩固】 1．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a=(　　) A．　　 B．5　　 C．7　 　 D． 解析：D　由题意知，双曲线的标准方程为＝1，由其焦距为4.得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 2．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1 解析：A　由题意得|AC|＝＝13，|BC|＝＝15，|AB|＝14.因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，所以|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支．又2c＝|AB|＝14，2a＝|AF|－|BF|＝2，解得c＝7，a＝1，所以b2＝48，因此焦点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．故选A. 3．已知P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆(x－4)2＋y2＝4上的动点，则P，Q两点间的最短距离为(　　) A．－2 B．－1 C．－1 D．2－2 解析：A　P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆(x－4)2＋y2＝4上的动点，设圆(x－4)2＋y2＝4的圆心为M(4，0)，半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径．设P(x0，y0)，可知＝1，即＝，当且仅当x0＝2时取等号，所以P，Q两点间的最短距离为－2.故选A. 4．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　) 　 图1 图2 A．10米 B．20米 C．10米 D．10米 解析：B　建立如图的坐标系，由题意可知 C， B， 设双曲线方程为：＝1， ∴解得a2＝100，b2＝400， |EF|＝2a＝20，故选B. 5．(2026·河北保定三模)已知O为坐标原点，双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C右支上一点，则|PF1|＋|PF2|－2|OP|的最大值为(　　) A．2－2 B.2－1 C．2 D．2＋2 解析：A　由双曲线C：x2－y2＝1，得a＝b＝1，c＝，即F1，F2， 则|PF1|＋|PF2|－2|OP|＝|PF1|＋|PF1|－2a－2|OP|＝2(|PF1|－|PO|)－2≤2|F1O|－2＝2－2， 当且仅当F1，O，P三点共线时，即P(1，0)时取等号，所以－2. 6．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________． 解析：由题意知，A1(－1，0)，F2(2，0)， 设P(x，y)(x≥1)，＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2， 又x2－＝1，故y2＝3(x2－1)， 于是＝4x2－x－5＝42－5－，当x＝1时，取到最小值－2. 答案：－2 7．已知双曲线C：＝1上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线C的方程为________． 解析：双曲线C：＝1的半焦距为，半实轴长为＝1，解得a＝±1.所以双曲线的方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，若以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则曲线PQ的轨迹方程是______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km. 解析：由题意得|DA|－|DB|＝2<4＝|AB|，所以曲线PQ为以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，则a＝1，c＝2，所以b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)． 由题意得|MA|－|MB|＝2，则|MB|＝|MA|－2， 则|MB|＋|MC|＝|MC|＋|MA|－2， 所以(|MB|＋|MC|)min＝(|MC|＋|MA|)min－2＝|AC|－2＝2－2. 答案：x2－＝1(x≥1)　2－2 9．已知A，B两点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 解：设M(x，y)，因为A(－6，0)，B(6，0)，所以有(x≠±6)， 化简得＝1(x≠±6)，所以点M的轨迹方程为＝1(x≠±6)， 经检验，动点M的轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，不含A，B两点． 10．已知A，B，C是我方三个炮兵阵地，如图，A在B的正东方向，相距6 km，C在B的北偏西30°方向，相距4 km，P为敌方炮兵阵地．某时刻A处发现敌方炮兵阵地的信号，由于B，C两地比A距P远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s)，A地若炮击P地，求炮击的方向角． 解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则点A，B，C的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2).∵B，C同时发现信号，∴|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，其方程为x－3y＋7＝0. 又A，B发现信号的时间差为4 s， ∴|PB|－|PA|＝4， ∴点P在双曲线＝1的右支上，线段BC的垂直平分线与双曲线的交点为P，即敌方炮兵阵地的位置．由A(3，0)，AP的斜率k＝，∴炮击的方向角为北偏东30°. 【能力进阶】 11．已知△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A．＝1　　　 B．＝1 C．＝1(x>3) D．＝1(x>4) 解析：C　由条件可得圆与x轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支． ∵2a＝6，2c＝10，∴a＝3，b＝4， ∴所求的双曲线方程为＝1(x>3)． 12．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝9，C2：(x－4)2＋y2＝9，动圆C与圆C1外切，且和圆C2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≥3) B．＝1 C．＝1 D．＝1(x≥3) 解析：D　由题意作出图C1，C2，如图所示， 设动圆C的半径为R，则|CC1|＝3＋R，|CC2|＝R－3，则|CC1|－|CC2|＝6<8＝|C1C2|， 所以动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支． 因为2a＝6，2c＝8，所以a＝3，c＝4，所以b2＝c2－a2＝7. 故动圆C的圆心C的轨迹方程为＝1(x≥3)．故选D. 13．如图所示，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BO＝OC＝CD＝1，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－＝1 解析：B　以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，∵AB＝BO＝OC＝CD＝1，∴该双曲线过点且a＝1， 将点代入方程＝1，可得b＝. 所以双曲线的方程为x2－＝1. 14．如图所示，某野生动物保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注：信号每秒传播V0 km)． (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如题图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 解：(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早＝×V0＝40<|AB|＝60，故点P的坐标满足双曲线的定义．设双曲线方程为＝1(x≤－20)，由题意可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，故点P的轨迹方程为＝1(x≤－20)． (2)设轨迹上一点为P(x，y)，则|PC|＝，又因为＝1，可得x2＝y2＋400， 代入可得|PC|＝≥ ，当y＝时，. 故扫描半径r至少是20 km. 15．已知△ABC的顶点A(－p，0)，B(p，0)，其内心在直线x＝q上，且p>q>0，则顶点C的轨迹方程为________． 解析：如图所示，设△ABC的内心为G，过点G作AB，BC，AC的垂线，分别交AB，BC，AC于点D，E，F，则|CE|＝|CF|，|AD|＝|AF|，|BD|＝|BE|. 由题意可知D(q，0)，则|AD|＝p＋q，|BD|＝p－q，所以|AC|－|BC|＝|AD|－|BD|＝2q<|AB|， 所以点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 因为|OA|＝p，所以顶点C的轨迹方程为＝1(x>q)． 答案：＝1(x>q) 学科网（北京）股份有限公司 $