第1章三角形单元测试卷2026-2027学年苏科版八年级数学上册（解析版）

第1章 三角形单元测试 （卷面总分150分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共24分） 1．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为测量荷花池两岸相对的两点之间的距离，小颖在荷花池外取一点，连结并延长至点，使，连结并延长至点，使，小颖通过测量得到的长度为，由此她得到荷花池的宽度为，她得到这一结论的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知线段，观察作图痕迹，所得结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 6．如图，在中，，，是的中线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若D恰好是的中点，．给出下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（     ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（每题 3 分，共30分） 9．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    10．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 11．如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则_____． 12．如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 13．如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 14．如图，是的平分线，于点E，，，，则______． 15．如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为_____cm． 16．如图，等腰直角与等腰直角的斜边，交于点F，若，且，，则的长度____． 17．如图，中，，点是平面内一动点，且，连接，则的最小值为______． 18．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为________． 三、解答题（共96分） 19．如图，点在一条直线上，，，．求证：． 20．如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 21．如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 22．在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 23．如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 24．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 25．如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．   (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 26．【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 27．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 28．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形单元测试 （卷面总分150分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共24分） 1．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和求解即可． 【详解】解：已知两根木棒分别为和，设第三根木棒长为． 根据三角形不等式： ，即； ，即． 因此，的取值范围为， 则只有符合， 故选：D 2．如图，为测量荷花池两岸相对的两点之间的距离，小颖在荷花池外取一点，连结并延长至点，使，连结并延长至点，使，小颖通过测量得到的长度为，由此她得到荷花池的宽度为，她得到这一结论的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据已知条件证明，即可判断． 【详解】在和中， ∴ ∴ 故选：B． 3．如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图所示，已知线段，观察作图痕迹，所得结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图，由作图痕迹可知，PQ为线段AB的垂直平分线，即可得出答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解题的关键． 【详解】解：由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线， ∴，，， 故A，B，C选项一定成立，不符合题意， 由条件不能得出， 故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 5．将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接，由等边三角形的性质得，，，推导出，即可证明，得，，则，可证明是等边三角形，则，所以，若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形和三角形的周长差为3AD， 若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长， 故选：A． 6．如图，在中，，，是的中线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若D恰好是的中点，．给出下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（     ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，，作于点，利用角平分线的性质求得，证明，推出平分；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵D恰好是的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，，故②正确； 作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 8．如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 二、填空题（每题 3 分，共30分） 9．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 10．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 11．如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．先根据是线段的垂直平分线，可以得到，根据的周长是，得出，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 12．如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积问题，根据三角形中线的性质得到，再根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 13．如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积的计算．作辅助线是解本题的关键．过点D作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点D作于H， ， ， 是的角平分线， ， ， 的面积， 故答案为：7． 14．如图，是的平分线，于点E，，，，则______． 【答案】2 【分析】首先过点D作于点F，由是的平分线，，根据角平分线的性质，可得，然后由，求得答案． 【详解】解：过点D作于点F，如图， ∵是的平分线，， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：2． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 15．如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为_____cm． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 作于点，则，由与都是等腰直角三角形，，得，，则，，可证明，得，，则，再证明，得，于是得到问题的答案. 【详解】解：作于点， 射线于点， ， 与都是等腰直角三角形，， ，，，， 在和中， ， ，， ． 在和中， ， ， 故答案为：9． 16．如图，等腰直角与等腰直角的斜边，交于点F，若，且，，则的长度____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，条件辅助线构造全等三角形是解题的关键：连接，过点作，交于点，证明，得到，，推出，证明，求出，进行求解即可． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∵等腰直角与等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．如图，中，，点是平面内一动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形知识，利用旋转构造手拉手证明全等，勾股定理以及三角形三边关系是解题关键．把绕点A逆时针旋转至，连接．由手拉手得得，故，即，得的最小值为． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转至，连接，，过点A作，垂足为H． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ， ， ∴． ∵， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为________． 【答案】43 【分析】本题考查了等逆线问题，勾股定理及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造全等三角形，过点B作，且使，连接，，先证明，可得，得出，所以当三点共线时，的值最小，即的值最小，再求解即可． 【详解】解：过点B作，且使，连接，， ， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：43． 三、解答题（共96分） 19．如图，点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据证和全等，根据全等三角形的对应边相等即可得出，进而得到． 【详解】略 20．如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质；首先根据可得，再由，可得，然后再利用定理可判定，  可得． 【详解】略 21．如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1) ∵， ∴， 在和中， ， ； (2)24 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ． 22．在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】延长交的延长线于点，证明，得出，．结合，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴，， 又是中点， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 又， 即． ∴是等腰三角形， ∵是中点， ∴，即． 23．如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， (2) 证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．    (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)；； (2) 或 或 ； (3)6cm． 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ， ． 故答案为：；； （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时，                     图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 如图2中，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 如图3中，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ． 综上所述， 或 或 ； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点，    则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 26．【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 【答案】（1）； （2）解：，理由： ∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质即可得出答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，进而得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 27．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 【答案】 （1）证明：如图所示： 延长到，使得，连接．   AI 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴； （2）证明：连接． ，且为的中点，   ， ， ， ， ， ∴， ； （3） 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过作于，连接．   ，且， ． ∴． ，， ∴，，， ∴为等边三角形． ，， ， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 28．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 四、解答题-计算题 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $