奥数思维培优 第4讲 解方程·等式性质（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第4讲 解方程 · 等式性质 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第4讲 专题 解方程——等式性质 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 用字母表示数；四则运算 核心方法 等式性质；移项法则 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握等式性质，能解一步、两步、含括号及两边含x的方程。 过程与方法 经历"观察方程→变形→求解→检验"的过程。 思维品质 培养等价变形和检验的习惯。 情感应用 感受方程作为数学工具的威力。 三、情境导入 天平左边放着一个未知重量的物体和5克砝码，右边放着12克砝码，天平平衡。这个物体有多重？ 动脑筋：怎么用式子表示？ 悬念：两边同时拿走5克，天平还平衡吗？ 图1 天平与等式 今天我们就来学习解方程的方法。 四、知识导航 解方程三大依据： 图2 三大依据 依据 内容 举例 等式性质1 两边同时加/减同一个数 x+5=12 → x=12−5 等式性质2 两边同时乘/除同一个不为0的数 3x=24 → x=24÷3 移项法则 移项要变号 4x−3=2x+7 → 4x−2x=7+3 五、易错辨析 常见错误 正确做法 移项不变号 过桥变号：加变减、减变加 只算一边 两边同时进行相同运算 忘记检验 解完代入原方程检验 除错方向 ax=b两边同时除以a 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从一步方程到综合应用；每例后附一道变式练习。 例1【一步加减方程】 题目：解方程：x + 5 = 12。 分析：两边同时减去5，左边只剩x。 详解： x + 5 = 12。 两边同时减5：x + 5 − 5 = 12 − 5。 x = 7。 检验：7+5=12，正确。 图3 一步加减 方法点睛：两边同时加减同一个数，等式仍成立。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：x − 8 = 15。 解答： 两边同时加8：x = 15+8 = 23。检验：23−8=15。 点拨：与例1同法：两边同加。 例2【一步乘除方程】 题目：解方程：3x = 24。 分析：两边同时除以3，左边只剩x。 详解： 3x = 24。 两边同时除以3：3x÷3 = 24÷3。 x = 8。 检验：3×8=24，正确。 图4 一步乘除 方法点睛：两边同时除以x的系数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：x ÷ 4 = 6。 解答： 两边同时乘4：x = 6×4 = 24。检验：24÷4=6。 点拨：与例2同法：两边同乘。 例3【两步方程】 题目：解方程：2x + 6 = 18。 分析：先两边减6，再两边除以2。 详解： 2x + 6 = 18。 两边减6：2x = 12。 两边除以2：x = 6。 检验：2×6+6=18，正确。 图5 两步方程 方法点睛：先消常数项，再消系数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：5x − 3 = 22。 解答： 5x = 25，x = 5。检验：5×5−3=22。 点拨：与例3同法：先常数后系数。 例4【含括号方程】 题目：解方程：3(x + 2) = 15。 分析：先两边除以3，再解一步方程。 详解： 3(x + 2) = 15。 两边除以3：x + 2 = 5。 两边减2：x = 3。 检验：3×(3+2)=15，正确。 图6 含括号方程 方法点睛：也可以先去括号：3x+6=15。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：4(x − 1) = 20。 解答： x−1=5，x=6。检验：4×5=20。 点拨：与例4同法：先除后减。 例5【两边含x】 题目：解方程：4x − 3 = 2x + 7。 分析：把含x的移到一边，常数移到另一边。 详解： 4x − 3 = 2x + 7。 移项：4x − 2x = 7 + 3。 2x = 10。 x = 5。 检验：4×5−3=17，2×5+7=17，正确。 图7 两边含x 方法点睛：移项要变号：过桥变号。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：5x + 2 = 3x + 10。 解答： 2x = 8，x = 4。 检验：22=22。 点拨：与例5同法：移项合并。 例6【应用问题】 题目：小明有x本书，小华的书比小明的2倍多3本，两人共有27本。小明有多少本书？ 分析：设小明x本，小华(2x+3)本，列方程。 详解： 小华：2x+3本。 x + (2x+3) = 27。 3x + 3 = 27。 3x = 24，x = 8。 小明有8本书。 图8 应用问题 方法点睛：设未知数→列方程→解方程→检验作答。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲有x元，乙比甲的3倍少5元，两人共35元。甲有多少元？ 解答： 3x−5。x+3x−5=35 → 4x=40 → x=10元。 点拨：与例6同法：列方程解应用。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【综合方程】（某名校小升初真题） 题目：解方程：3(x − 2) + 5 = 2(x + 4)。 分析：先去括号，再移项。 详解： 左边：3x − 6 + 5 = 3x − 1。 右边：2x + 8。 3x − 1 = 2x + 8。 x = 9。 检验：左边=26，右边=26，正确。 方法点睛：有括号先去括号，再移项合并。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：解方程：2(x + 3) − 4 = 3(x − 1)。 解答： 2x+6−4=3x−3 → 2x+2=3x−3 → x=5。 点拨：与真题1同法：去括号再移项。 真题2【应用】（某重点中学分班考试真题） 题目：果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树比梨树的2倍少15棵。梨树有多少棵？ 分析：设梨树x棵，苹果树(2x−15)棵。 详解： 设梨树x棵，苹果树(2x−15)棵。 x + (2x−15) = 120。 3x − 15 = 120。 3x = 135， x = 45。 答：梨树有45棵。 方法点睛：和倍问题用方程最简单。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：足球和篮球共75个，足球比篮球的3倍多3个。篮球有多少个？ 解答： x+3x+3=75 → 4x=72 → x=18个。 点拨：与真题2同法：和倍问题列方程。 八、方法总结表 题型 步骤 举例 解 一步加减 两边同加/减 x+5=12 x=7 一步乘除 两边同乘/除 3x=24 x=8 两步 先常数后系数 2x+6=18 x=6 含括号 先除后减/先去括号 3(x+2)=15 x=3 两边含x 移项合并 4x−3=2x+7 x=5 九、解题口诀 解方程，要牢记，等式两边同道理； 加的来减减的来，乘的来除除的来； 移项一定要变号，过桥变号是关键； 解完代入检验一遍，正确才算真做完。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 解方程：x + 7 = 15。 A2. 解方程：x − 9 = 11。 A3. 解方程：4x = 36。 A4. 解方程：x ÷ 5 = 8。 A5. 解方程：x + 3.5 = 10。 B组 能力提升（5题） B6. 解方程：3x + 4 = 19。 B7. 解方程：5x − 7 = 18。 B8. 解方程：2(x + 3) = 14。 B9. 解方程：6x + 2 = 4x + 10。 B10. 解方程：4(x − 1) = 20。 C组 思维挑战（5题） C11. 解方程：3(x + 2) − 5 = 16。 C12. 解方程：5x − 3 = 3x + 9。 C13. 解方程：4(x + 1) = 3(x + 4)。 C14. 甲有x元，乙比甲多20元，两人共100元。甲有多少元？ C15. 故事书和科技书共90本，故事书比科技书的2倍少6本。科技书有多少本？ 十一、参考答案与详细解析 A1 x=15−7=8。 A2 x=11+9=20。 A3 x=36÷4=9。 A4 x=8×5=40。 A5 x=10−3.5=6.5。 B6 3x=15，x=5。 B7 5x=25，x=5。 B8 x+3=7，x=4。 B9 2x=8，x=4。 B10 x−1=5，x=6。 C11 3x+6−5=16 → 3x=15 → x=5。 C12 2x=12 → x=6。 C13 4x+4=3x+12 → x=8。 C14 x+x+20=100 → 2x=80 → x=40元。 C15 x+2x−6=90 → 3x=96 → x=32本。 十二、本讲小结 本讲学习了解方程：依据等式性质，两边同时加/减/乘/除同一个数，等式仍成立。 移项要变号。 解方程步骤：去括号→移项→合并→系数化1→检验。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 移项不变号 过桥变号：加变减、减变加 只算一边 两边同时进行 忘记检验 代入原方程检验 去括号漏乘 括号前系数要乘每一项 【学习建议】每天解5个方程，养成检验习惯；下讲预告：第5讲 列方程解应用题·和差倍。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $