2026-2027学年北师大版广东省深圳市九年级上学期数学期中考试模拟卷.培优卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试模拟卷.培优卷（广东省深圳市专用） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 考试时间90分钟，全卷满分100分. 3.作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　      ）        A．三边成比例的两个三角形相似 B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D．平行线分线段成比例 5．现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 7．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（    ）    A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 9．数，如果数b是a和c的比例中项，那么_____． 10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 11．如图，正方形中，对角线，相交于点，为边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 12．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 13．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______． 三、解答题:本大题共7小题，共61分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 14．（6分）解方程： (1)； (2) 15．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 16．（8分）如图，为直角三角形，，D为中点，过A作，使得，连接交于F，连接交于G． (1)求证：F是的三等分点； (2)若，求的长． 17．（8分）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（10分）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 19．（10分）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值； (3)如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长． 20．（12分）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9， ①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长， ② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值． 参考答案 1．A 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：． 2．B 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 3．A 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选A． 4．C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴，， ∴若量得的长度，便可知的长度． 故选：C 5．C 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确， 其中说法正确的有3个， 故选：C． 6．C 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 根据题意得当时， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， 解得． 故选C． 7．B 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，    理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 8．B 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 9． 【详解】解：数是和的比例中项， ， ， ， 故答案为：． 10． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．2 【详解】解：由题意知是的中位线 ∴ ∵正方形ABCD的周长为16 ∴ ∴ 故答案为；2． 12． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC ∵DE⊥AB， ∴OE＝BD， ∴OB＝OE＝，BD＝2， 在Rt△AOB中，OA＝ ∴AC＝2 ∴菱形的面积为：＝＝ 2． 故答案为：2． 13． 14．【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 或， ． 15．(1) 如图，即为所作图形； (2) 如图点即为所求． 点坐标为 16．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F是的三等分点； （2）解：取的中点，连接， ∵D为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17．(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 18．【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． 19．【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形． 故答案为：2，，是； （2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2， ∵四边形是邻等对补四边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图3．1，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得， ∵， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3．2，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，连接，过N作于H，如图3．3， ∵， ∴，即， 即，解得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3．4，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或． 20．【详解】解：（1）由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即折痕与的数量关系为； 故答案为：； （2）猜想：， 证明如下：过点A作，如图， 由翻折的性质得， ∴； 由（1）可知， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，即，； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵ ， 即可得线段之间的数量关系为； （3）①如图，由于线段 恰好经过点D， 故设上点H的对应点为点D，连接， 由翻折知，； ∵， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为正方形，其边长为9， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； ②如图，过点A作交于点K； ∵即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 过点K在直线下方作，且， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当三点依次共线时，取得最小值； 过H作，交延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴ 由（1）中同理，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $