精品解析：广东湛江市海宁中学2025-2026学年度第一学期九年级数学期中考试试卷

2025年度秋季学期期中考试 初三数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 2. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，先把代入，得，结合，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0， ∴先把代入，得， 解得， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的值为， 故选：B． 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 6. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. 的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键．根据圆的半径和圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为4， ，即：， 直线l与的位置关系是相离，如图所示， 故选：D． 8. 如图，在中，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）． A. 0.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.8 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，即可证为等边三角形，得出，最后由求解即可． 【详解】由旋转的性质可知． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．掌握旋转前、后的图形全等是解题关键． 9. 下列说法中正确的个数是（ ） ①直径是圆中最长的弦 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确； ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误； ④、是的两条弦，被垂直平分， 过圆心，即为直径， 则，正确． 综上所述，说法中正确的个数是2个． 故选：B． 10. 如图，菱形的顶点B，C，D在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，菱形的性质，勾股定理，圆周角定理．先证明，求得，证明与相切，利用圆周角定理结合四边形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接、， 是菱形， ， ，， ， ， 与相切， ， ， 即，点在上， 与相切． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 12. 如图，是圆的直径，弧弧弧，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝48°，再由补角的定义即可得出结论. 【详解】∵弧弧弧，，∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝48°，∴∠AOE＝180°－48°－48°－48°＝36°，故答案为36°. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及补角的定义，解本题的要点在于要得出∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝48°. 13. 若是一元二次方程的一个根，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数是，飞机着陆后滑行__________秒才能停下来，滑行了__________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行秒才能停下来，滑行了米， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，以此方式，绕点O旋转2018次得到正方形，如果点A的坐标为（1，0），那么那么点的坐标为_____． 【答案】（−，0） 【解析】 【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴B（1，1）， 连接OB， 由勾股定理得：OB＝， 由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°， ∴B1（0，），B2（−1，1），B3（−，0），…， 发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3， ∴点B2019的坐标为（−，0） 故答案为：（−，0）． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 或 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 17. 和在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请画出关于原点对称的； （2）若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 【答案】（1） 如图： （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形、作图-平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． （1）根据关于原点对称的点的特征，先找出、、的位置，再依次连接即可； （2）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接、，它们的交点即为点，根据图形得出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：的图形如图所示，，． 【小问2详解】 解：连接、，它们的交点即为点， ∵与关于点成中心对称， ∴由图可知，点的坐标为． 18. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F， 则四边形OFED为矩形 ∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分共27分） 19. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为米 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． 【小问1详解】 解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 20. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 21. “一粒米”的前世今生，凝结着中华儿女的智慧和汗水，映照着中华文化的万千气象，铭刻下中华文明奔腾向前的壮阔画卷．稻米在人类文明发展历程中扮演着重要角色．我国的稻作农业起源很早，米食文化源远流长，不仅塑造了今天中国人的许多生活习惯，也影响了人们的精神气质．湖南阳光充足、雨水充沛，农业生产条件优越，素有“三湘四水，鱼米之乡”的美誉．有某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元的该大米，以不低于成本价且不超过12.5元的价格销售．当售价为8元时．每天售出大米1000kg；当售价为9元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元）满足一次函数关系． （1）请写出与的函数关系式； （2）当售价定为多少时，每天销售该大米的利润可达到3500元； （3）当售价定为多少时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）当售价定为11元时，每天销售该大米的利润可达到3500元； （3）当售价定为12元时，每天获利最大，最大利润为3600元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元二方程的应用、二次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元二次方程的解法、二次函数最值的求法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围即可； （2）根据“每千克大米的利润×每天销售大米的质量=每天的利润”列方程并求解即可； （3）设每天获利w元，根据“每天获利=每千克大米的利润×每天销售大米的质量”写出w关于x的函数，求出当x取何值时w有最大值，并计算其最大值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得，即， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当售价定为11元时，每天销售该大米的利润可达到3500元； 【小问3详解】 解：设每天获利w元，则， ∵，， ∴当时，w的值最大，． 答：当售价定为12元时，每天获利最大，最大利润为3600元． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AO交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF． （1）求证：△ABH是等腰三角形； （2）求证：直线PC是⊙O的切线； （3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径． 【答案】（1）（1）证明： ∵四边形ADCH是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠AHC=180°， 又∵∠AHC+∠AHB=180°， ∴∠ADC=∠AHB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠B， ∴∠AHB=∠B， ∴AB=AH， ∴△ABH是等腰三角形； （2）（2）证明：连接OC，如右图所示， ∵边AB与⊙O相切于点A， ∴BA⊥AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴CD⊥AF， 又∵FA经过圆心O， ∴，∠OEC=90°， ∴∠COF=2∠DAF， 又∵∠PCD=2∠DAF， ∴∠COF=∠PCD， ∵∠COF+∠OCE=90°， ∴∠PCD+∠OCE=90°，即∠OCP=90°， ∴直线PC是⊙O的切线； （3）（3） ． 【解析】 【分析】（1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得∠B=∠ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得∠ADC+∠AHC=180°，再根据邻补角互补，可知∠AHC+∠AHB=180°，从而可以得到∠ABH和∠AHB的关系，从而可以证明结论成立； （2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明∠OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到∠AEC的度数，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通过转化可以得到∠OCP的度数，从而可以证明结论； （3）根据题意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=，可以求得半径的长． 【小问1详解】 （1） 略 【小问2详解】 （2） 略 【小问3详解】 （3）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB=2， ∵FA⊥CD， ∴DE=CE=1， ∵∠AED=90°，AD=，DE=1， ∴AE=， 设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r， ∵∠OED=90°，DE=1， ∴r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半径是． 考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系. 23. （1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，则的长为___________，正方形的边长为___________； 【变式猜想】 （2）如图2，若点P是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求出PA+PB+PC的最小值． 【答案】（1），； （2），理由如下： ∵是等边三角形， ∴，． 如图②，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴为直角三角形． ∴． ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，证明，求出，，利用勾股定理可求得的长，作，利用勾股定理可求得正方形的边长； （2）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，判断出为等边三角形，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，即可求得； （3）以为边作等边，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得，，，，，则当点A，点P，点D，点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∴． 在中，根据勾股定理，得 ． 如图①，过点A作交的延长线于E． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，得． 故答案为：，； （2）略 （3）如图，以为边作等边，将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B逆时针旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴当点A，点P，点D，点共线时，有最小值为， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年度秋季学期期中考试 初三数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 3. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）． A. 0.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.8 9. 下列说法中正确的个数是（ ） ①直径是圆中最长的弦 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，菱形的顶点B，C，D在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_____． 12. 如图，是圆的直径，弧弧弧，，则的度数为________． 13. 若是一元二次方程的一个根，则______ 14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数是，飞机着陆后滑行__________秒才能停下来，滑行了__________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，以此方式，绕点O旋转2018次得到正方形，如果点A的坐标为（1，0），那么那么点的坐标为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 和在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请画出关于原点对称的； （2）若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 18. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分共27分） 19. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 20. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 21. “一粒米”的前世今生，凝结着中华儿女的智慧和汗水，映照着中华文化的万千气象，铭刻下中华文明奔腾向前的壮阔画卷．稻米在人类文明发展历程中扮演着重要角色．我国的稻作农业起源很早，米食文化源远流长，不仅塑造了今天中国人的许多生活习惯，也影响了人们的精神气质．湖南阳光充足、雨水充沛，农业生产条件优越，素有“三湘四水，鱼米之乡”的美誉．有某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元的该大米，以不低于成本价且不超过12.5元的价格销售．当售价为8元时．每天售出大米1000kg；当售价为9元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元）满足一次函数关系． （1）请写出与的函数关系式； （2）当售价定为多少时，每天销售该大米的利润可达到3500元； （3）当售价定为多少时，每天获利最大？最大利润为多少？ 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AO交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF． （1）求证：△ABH是等腰三角形； （2）求证：直线PC是⊙O的切线； （3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径． 23. （1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，则的长为___________，正方形的边长为___________； 【变式猜想】 （2）如图2，若点P是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求出PA+PB+PC的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $