江苏靖江市实验学校2026-2027学年上学期九年级第一学期9月阶段质量检测数学试卷

2026－2027靖江市实验学校九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择（18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 6. 如图，是三条角平分线的交点，，过作，分别交、于，两点，，设，，，关于的方程（ ） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 无实根 D. 有两个实根，但无法确定是否相等 二、填空题（30分） 7. 若，则的值为________. 8. 已知线段，，则线段，的比例中项是______________． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 10. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 12. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 13. 已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 14. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 15. 如图，，分别是反比例函数，图象上的点，且轴，过，两点分别作轴的垂线段，垂足分别为，两点，连接，交于点，若，则的值为______________． 16. 如图，在中，，，D为直线左侧一点．若，则的最大值为______________． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算与化简求值： 先化简，再求值：，其中是方程的根． 19. 如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）将绕点逆时针旋转，得到，请画出． （2）以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． （3）作出上的点，使． 20. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 23. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 24. 阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程． （3）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 25. 【课本再现】 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 26. 综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 （1）如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 （2）如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 （3）现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 2026－2027靖江市实验学校九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择（18分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 二、填空题（30分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】##0.75 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（102分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】证明：，，， ， 又， ． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【23题答案】 【答案】（1） （2）或 【24题答案】 【答案】（1） （2）解：设，，则， ， ， 整理得：， 解得：， 线段的长度不能是负数， ， ， ； （3）证明：在中，，， 设，则， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则，， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则， ， ，， ， 点是线段的黄金分割点． 【25题答案】 【答案】（1）证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）①；② 【26题答案】 【答案】（1）， （2）；或 （3）解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $