2026-2027学年北师大版九年级上期数学图形的相似单元检测卷（一）

2026-2027学年北师大版九年级上期数学图形的相似单元检测卷（一） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 4．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图在平行四边形ABCD中，，，对角线相交于点，是内部一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，则__________________ ． 12．如图，a∥b∥c，直线l与这三条平行线分别交于点A，B，C．若直线a与b，b与c之间的距离分别为1和2，且AB，则BC的长是_____ ． 13．如图，在边长为9的等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为_____ ． 14．如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G，交AD于点F，交AC于点E，若AF＝2FD，则的值为__________________ ． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则__________________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共70分） 16．（8分）已知x：y＝3：5，3y＝2z，求的值． 17．（8分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标为___________ ，A1C1的长为_________________ ． 18.（10分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）求证：△BDC∽△BCA； （2）若BC＝3，AB＝6，求BD的长． 19.（10分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE，BE＝BD，∠BAE＝∠C． （1）求证：△AEB∽△CDA； （2）若AE＝4，BE＝6，CD＝8，求DE的长． 20．（10分） 如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 21．（12分） 如图1，在△ABC中，点D，点E分别在AB，AC上． （1）添加条件：____________________ ，可使△AED∽△ABC；（填一个即可） （2）已知△ADE∽△ACB． ①若DE：CB＝3：5，AD＝4，则AC的长为___________________ ； ②若AD：AC＝1：2，△ADE的面积为2，求四边形BCED的面积． （3）如图2，已知△ABC∽△ADE．求证：△ABD∽△ACE； （4）如图3，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，求AD的长． 22．（12分）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 参考答案 一、单选题 1. B　　2. D　　3. C　　4. B　　5. A 6. C　　7. D　　8. B　　9. B　　10. D 二、填空题 11. 12. 3 13. 2 14. 15. 三、解答题 16. 已知 ，设 ，。 由 ，得 。 答案： 17. (1) 作图：以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，且在位似中心另一侧（第二象限对应图形），各点坐标乘以-2。 ；；。 (2) 答案：， 18. (1) 证明： ∵ ，（公共角） ∴ △BDC ∽ △BCA（AA相似）。 (2) 由 △BDC ∽ △BCA，得 。 答案： 19. (1) 证明： ∵ ，∴ ， ∴ ，即 。 又已知 ，∴ △AEB ∽ △CDA（AA）。 (2) 由 △AEB ∽ △CDA，得 。 代入 ，，： 答案： 20. (1) 证明： 已知 ，又 （对顶角相等）， ∴ △AEB ∽ △CED（两边成比例且夹角相等）。 ∴ 。 ∵ ，即 ，∴ ， 即△DCE为直角三角形。 ∵ F是斜边DE的中点，∴ ， ∴ 。 又由 △AEB ∽ △CED 得 ， ∴ ，得证。 (2) 证明： ∵ DA平分，∴ 。 由(1)知 ，故 。 又 ，∴ ，即 。 在△GBC与△GDB中：，， ∴ △GBC ∽ △GDB（AA）。 ∴ ，即 。 ∵ F为ED中点，且 ，∴ 。 又G、F、D共线，， 代入得 ，得证。 21. (1) 答案不唯一，如：（或 ，或 ）。 (2) ① 由 △ADE ∽ △ACB，对应边成比例：。 ② ，即相似比 ，面积比为 。 ，∴ 。 (3) 求证：△ABD ∽ △ACE。 证明：∵ △ABC ∽ △ADE， ∴ ，。 ∴ ，即 。 比例式变形为 。 在△ABD与△ACE中：，， ∴ △ABD ∽ △ACE（两边成比例且夹角相等）。 (4) 由 ，可知A、B、C、D四点共圆。 ∵ ，∴ 。 在Rt△ABC中：。 在Rt△BDC中，： 。 在△ABD中，由余弦定理： 解得 （舍去负根）。 答案： 22. (1) 求证：。 过E作EP⊥CD于P，过G作GQ⊥BC于Q。 矩形ABCD中，，。 ∵ EF⊥GH，易证 （同角的余角相等）， 又 ， ∴ △EPF ∽ △GQH（AA）。 ∴ ，得证。 (2) 正方形ABCD中，。 ∵ BE⊥CF，易证△BCE ≌ △CDF（ASA），∴ 。 在Rt△BCE中：。 ∴ ，。 答案： (3) 在Rt△ABC中：。 过M作MK⊥BC于K，则 。 ∵ MN⊥AC，易证△MKN ∽ △CBA（两角分别相等）， ∴ 。 答案： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $