第三章《图形的相似》综合质量能力检测卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第三章《图形的相似》综合质量能力检测卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是(    ) A． B． C． D． 2．如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 3．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 5．如图，直线，直线和被，，所截，,,，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．2 6．如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（   ） A． B． C． D． （第4题图） （第5题图） （第6题图） 7．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在中，点D，E分别是和的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 （第8题图） （第9题图） （第10题图） 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．已知，则的值为______． 12．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． （第12题图） （第13题图） （第14题图） （第15题图） 13．在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 14．如图，在矩形中，，，点F为CD的中点，将沿折叠，点D的对应点为，连接并延长，交BC于点P，CP的长为________． 15．如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是______．   ①；②；③；④ 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．已知，，求的值． 17．如图，在中，． (1)在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的值． 18．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图， 在等边三角形中， 点P是边上一动点(P点不与端点重合) ， 作， 交边 于点 E． 交边 于点 D． (1)求证：； (2)若，， 求 的长． 20．夜晚，小华在操场打羽毛球，抬头看见路灯，于是想利用所学的数学知识测量路灯的高．已知羽毛球场位于路灯东侧，从路灯底部点出发，需走上一段斜坡才能到达羽毛球场所在地面．由于小华没有带任何测量工具，于是，他借助步测测得离灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为4步，斜坡为1.5步．回家后小华查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，测得1步米，同时了解到斜坡的坡度为，请你利用以上数据帮小华求出路灯的高．（路灯杆，斜坡，地面，羽毛球网杆均在同一平面内，结果保留一位小数．） 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由． 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22．学校数学兴趣小组的同学利用所学数学知识测量本地一条河流的宽度．小组的同学在河流的两岸及本侧空地上选择了5棵树作为标记，展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一条河流的宽度 活动方案 “长度”方案 “角度”方案 方案示意图 实施 过程 1．测量的长度，的长度； 2．测量的长度． 1．测量的长度； 2．测量的度数和的度数． 测量 数据 1．； 2．． 1．； 2．，． 备注 1．河流的两岸与互相平行，与互相垂直； 2．，，在一条直线上；，，在一条直线上；且． 参考数据 ． 请你从以上两种方法中任选一种，计算河流的宽度． 23．在中，将线段绕点顺时针旋转度得到线段，连接． (1)如图1，若，延长交于点，，用含的等式表示； (2)如图2，若，，点，分别为线段，的中点，连接，点为中点，连接．求证：； (3)如图3，若，，．点为内部一点，点关于三边的对称点分别为，，，连接，，交于点．点为直线上一点，连接，，当取得最小值，且与是以和为一组对应边的相似三角形时，直接写出的长度． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A A B D C C C 11． 12．（答案不唯一） 13． 14． 15．① 16． 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 17．(1) 如图，点为所求作： (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在上求作一点，连接，使得，则在点B处，作，结合，故，即可作答； （2）由（1）得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）得， ， ， ． 18．16 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得：， ． 19．(1) 证明：∵等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据、可得，即可求证； （2）根据即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵等边三角形，， ∴． ∵ ∴ 20．约7.2米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立相似三角形模型，根据相似三角形的性质求解． 延长，交于，根据，，，得，可证明，，从而可得，，设米，米，列出方程求解．根据斜坡的坡度为，由勾股定理求得米，即可求得． 【详解】解：延长，交于， 设米，米， 由题意得，米，米，米， ，，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 作于， 斜坡的坡度为， ， ， ，即， 米， ，， ， 米， 米． 答：路灯的高约7.2米． 21．(1) 如图所示，即为所求图形； (2)如图所示，即为所求图形； (3)和是位似图形，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 22． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质及直角三角形中三角函数（正切）的应用，熟练掌握平行线性质及全等三角形判定条件是解题关键 ． “长度”方案：通过证明 ，利用相似三角形的性质计算河流宽度即可． “角度”方案：借助直角三角形正切函数，分别算出、长度，再通过线段差求 ． 【详解】解：“长度”方案： ∵， ， ∴ ． ∵． ∴ ． ∴即 解得 ． “角度”方案：在中，，， ． ∵，， ∴ ． 在中，，， ． ∵，， ∴ ． ∵、、共线， ∴ ． 23．(1) (2) 证明：如图，连接，延长至点，使，连接，过点作，交于点，连接，， 由旋转知，， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴△是等腰直角三角形，且，， 即， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为线段的中点， ∴为线段的中点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由，，利用线段垂直平分线得，得出，利用旋转得出，，得，可得，最后利用余角即可得； （2）连接，延长至点，使，连接，过点作，交于点，连接，，先利用等腰直角三角形中点证明，，再证明，可证明△是等腰直角三角形，且，，则，再证明是等腰直角三角形，且，，，则可证四边形是平行四边形，得出为线段的中点，利用中位线得，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，，，，，过点作于点，利用对称证明，，再证明，可得，由垂线段最短可知，当、、共线，且时，最短，最小值为，此时，过点作于点，计算出， ，，再利用等面积法和勾股定理求出，，由旋转知，，由与是以和为一组对应边的相似三角形，分别探究当时，点在线段上，只需满足，；和当时，点在射线上，只需满足，，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转度得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接，，，，，过点作于点， ∵点关于三边的对称点分别为，，， ∴，，垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由点到线段的垂线段最短可知，当、、共线，且时，最短，最小值为， 此时如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， ∵与是以和为一组对应边的相似三角形， 当时，点在线段上， 只需满足，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，点在射线上， 只需满足，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，中位线，熟练掌握这些判定与性质，并根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 答案第8页（共9页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $