2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册期中自测卷（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中自测卷 （上海专用）（解析版） 1．D 【难度】0.85 【知识点】平行投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 2．D 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 3．A 【难度】0.7 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 4．B 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论． 【详解】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取， 连接，过作CE∥BD，交于，则 ，即， 所以； 因为， 所以DE=x即即为所求． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键． 5．A 【难度】0.4 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 6． 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 7．2． 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】求的值，即是求当时，的值，从而进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解． 8． 【难度】0.94 【知识点】y=ax²的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9． 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 10．或 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 11．/ 【难度】0.65 【知识点】成比例线段、公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 12． 【难度】0.65 【知识点】三角函数综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】设，则，，求出，在求出，由三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，过点D作于点E， ∵在中， ∴，设，则，，又∵D是边的中点， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，准确求出BD、DE的长是解题的关键． 13． 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵点都在二次函数的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【难度】0.4 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】解直角三角形得出米，米，从而得出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米， 在中，，即米， 在中，，即米， ∴， 解得：， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 16． 【难度】0.4 【知识点】已知余弦求边长、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 17． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 18． 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 19．（1）k=2；（2）14 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 20．(1) (2)； (3) 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 21．(1)假，真 (2) 证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【难度】0.65 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）略 22．证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【难度】0.75 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 23．（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）求出OC的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可． 【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4） 设直线AB的解析式为， 把A，B点坐标代入得 解得， 所以，直线AB的解析式为：； （2）对于直线AB： 当时， ∴ ∴==6 （3）设点P的坐标为（，） ∵的面积等于的面积的一半， ∴的面积等于=3， ①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； ②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； 综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论． 24．(1) 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ； (2) (3)或或 【难度】0.15 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中自测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 7．已知，则___________ 8．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 9．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 11．已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 12．如图，在中，，D是的中点，则______． 13．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是：______．（填“”、“”或“”） 14．已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 15．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 16．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为_______________.（用含的代数式表示）    17．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．计算：． 19．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 20．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 21．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 22．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 23．如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个． 24．如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)求证：； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $