第28讲恒成立与能成立问题(非导数部分)专项训练-2027届高三数学一轮复习

第28讲 恒成立与能成立(非导数) 分离参数·判别式与配方·主元法·任意与存在 一、能分离,先分离 1. 分离的方向. 型,把 与 分到两边:(除以正数)或 (除以负数,不等号反向)——“恒成立”变成“ 不大于(不小于)一个函数的最值”,“能成立”则比这个最值松一档. 2. 商的最值不求导. 分离出的分式函数,最值用判别式法或配方收口:如 等价于完全平方 ——恒成立与配方互为表里. 3. 换元压自由度. 齐次式令 ,分段函数令 ——换元后参数归一,商函数的形状才看得清. 例1（单选·★★★☆☆） 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 变式1（填空·★★★☆☆） 已知，函数当时为，当时为，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 变式2（填空·★★★☆☆） 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 变式3（解答·★★★★☆） 已知数列和满足．（1）若，求的值；（2）若，且恒成立，求的取值范围． 二、二次型与主元法 1. 二次型恒成立三件套. 二次不等式在全区间恒成立:开口方向、判别式、端点代入,三件缺一不可;定区间上则改用“对称轴三分类+端点比较”. 2. 主元法. 双变量不等式 :选定一个当主元(另一个看参数),把 写成主元的多项式,用一次或二次的判别式与端点定界——“换位思考”把动量定格. 3. 因式优先. 二次型先试因式分解: 这类“双一次因式”的恒成立,几何意义(动直线夹在两曲线之间)比逐点讨论快得多. 例2（填空·★★★☆☆） 若，对于恒有，当取得最大值时， = _______． 变式4（单选·★☆☆☆☆） ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 变式5（单选·★☆☆☆☆） 已知命题，总有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 三、任意、存在与抽象函数 1. 任意=逐个满足,存在=找到一个. “对任意 恒成立”是全集约束;“存在,使某个结论成立”只需一个例子——判定“存在型”命题,构造一个实例与否定一个全称同样有效. 2. 抽象函数的恒成立. 条件里“ 对任意 恒成立”往往是最强的一条:赋值前先想它,它保证除法合法、符号确定、约分不丢根. 3. 反例定生死. “是否存在/是否恒有”的否定,一个具体函数(如 )胜过十行推理——抽象函数问题,构造反例是硬通货. 例3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ）①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 变式7（多选·★★★☆☆） 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 变式8（多选·★★★★☆） 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 恒成立与能成立(非导数) 分离参数·判别式与配方·主元法·任意与存在 一、能分离,先分离 1. 分离的方向. 型,把 与 分到两边:(除以正数)或 (除以负数,不等号反向)——“恒成立”变成“ 不大于(不小于)一个函数的最值”,“能成立”则比这个最值松一档. 2. 商的最值不求导. 分离出的分式函数,最值用判别式法或配方收口:如 等价于完全平方 ——恒成立与配方互为表里. 3. 换元压自由度. 齐次式令 ,分段函数令 ——换元后参数归一,商函数的形状才看得清. 【通法】恒成立=压最值,能成立=松一档. 【通法】商的最值:判别式或配方,不求导. 【通法】换元先写新范围. 例1（单选·★★★☆☆） 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【切入点】。分离: 对任意 成立,右边是齐次式,令 (即 ): 配方判最值: 故 ,最大值 在 取到。于是 ,解得 : 有最大值 ,选 A。 【关键】“对任意 恒成立”把 顶在 的最大值上;齐次换元把两个自由变量压成一个;最值不由导数,由完全平方当场读出——判别式法与恒成立是同一件事的两面. 【答案】 有最大值 ,选 A 变式1（填空·★★★☆☆） 已知，函数当时为，当时为，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 【切入点】令 ,则 ,, 化为: 段一 :,其中 。由柯西不等式 ,故右端不小于 ,。 段二 :。配方: 故 ,。段三 :若 ,则 ,自动成立;若 ,除以负数反向得 对一切 成立,而 (分子恒非负、分母 ),故 ,。 综上 。 【关键】分段函数的恒成立逐段分离、逐段定界、最后取交;各段商函数的最值分别由柯西不等式()与配方(完全平方分子)读出——全程无导数,而每一步的等号点(、、)都有名有姓. 【答案】 变式2（填空·★★★☆☆） 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【切入点】先备一个代数事实:对 , 故 时 ,在 取等。 分类:若 :当 时最大值为 ,而 ,与 矛盾;当 时最大值为 ,矛盾。均不可。 若 :区间不越过 ,最大值为 ,恒成立。 若 :最大值取 与 中的较大者,而 ,故 。 综上 。 【关键】常规解法用导数找 的峰,这里因式分解一步代替:恒等式 同时给出了峰值 、峰位 与适用范围 ——三次多项式的符号,因式分解比求导快;区间端点的开闭由分类边界单独验. 【答案】 变式3（解答·★★★★☆） 已知数列和满足．（1）若，求的值；（2）若，且恒成立，求的取值范围． 【切入点】(1) ,,,故 。(另法:错位相减后公共项相消,剩 ,两法一致。) (2) 时 ,故 和随 递增,上确界为 且取不到。“恒成立”即 ,令 : 【关键】裂项求和给出单调递增、上确界 且取不到的和式——恒成立比它“不小于”,临界值恰好落在上确界上; 的范围用换元 配方,双根 当场可见. 【答案】（1）;（2） 二、二次型与主元法 1. 二次型恒成立三件套. 二次不等式在全区间恒成立:开口方向、判别式、端点代入,三件缺一不可;定区间上则改用“对称轴三分类+端点比较”. 2. 主元法. 双变量不等式 :选定一个当主元(另一个看参数),把 写成主元的多项式,用一次或二次的判别式与端点定界——“换位思考”把动量定格. 3. 因式优先. 二次型先试因式分解: 这类“双一次因式”的恒成立,几何意义(动直线夹在两曲线之间)比逐点讨论快得多. 【通法】开口、判别式、端点,三件套. 【通法】主元一定,动量定格. 【通法】双一次因式,先想图象. 例2（填空·★★★☆☆） 若，对于恒有，当取得最大值时， = _______． 【切入点】原式除以 :,即 对一切 成立——水平线 必须处处夹在 与 之间。两曲线在 处相交,交点纵坐标 :要横跨一个交点,必须有 恰等于交点值。取 :在 上恒成立(交点左侧 ,右侧 ),宽度 ;对 验 :交点两侧逐点核验(如 处两因式一正一负),同样宽 。而 取其他值时,夹缝区间都被相邻的“相遇点”截断,宽度不超过 。故 最大为 ,此时 【关键】因式分解后图象意义一步到位:水平线 夹在 与 之间;想拓宽 就要横跨两曲线的交点,而“跨交点”强制 等于交点纵坐标——参数被几何位置锁死。注意 对应的区间是 ,与正半轴那支不对称,端点必须逐点验. 【答案】 变式4（单选·★☆☆☆☆） ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 逐项验:A: 与 的大小还取决于符号( 时 ),假;B: 由可加性直接成立,真;C: 时 ,假;D: 时两边相等,假。选 B。 【关键】“恒成立”小题的反例只要一个特殊值: 一票否决 C、D; 异号一票否决 A——可加性是唯一无条件保真的那条. 【答案】B 变式5（单选·★☆☆☆☆） 已知命题，总有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【切入点】全称命题的否定:改量词、否结论: 注意范围 保持不变,选 A。 【关键】“恒成立的否定”=存在一个反例:量词一换、结论一否、范围不动,三件事缺一就是错项(B 换了范围、C 没换量词、D 两处全错). 【答案】A 三、任意、存在与抽象函数 1. 任意=逐个满足,存在=找到一个. “对任意 恒成立”是全集约束;“存在,使某个结论成立”只需一个例子——判定“存在型”命题,构造一个实例与否定一个全称同样有效. 2. 抽象函数的恒成立. 条件里“ 对任意 恒成立”往往是最强的一条:赋值前先想它,它保证除法合法、符号确定、约分不丢根. 3. 反例定生死. “是否存在/是否恒有”的否定,一个具体函数(如 )胜过十行推理——抽象函数问题,构造反例是硬通货. 【通法】任意逐个验,存在找一个. 【通法】恒成立条件当通行证用. 【通法】抽象函数,反例定生死. 例3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ）①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】①:令 :。由恒成立条件 ,约去 :,,真。 ②:令 ,:,而 ,故 ,真。 ③④:取 :满足 恒成立、,且 ,条件全符;但它既无最大值也无最小值——③④皆假。正确的个数为 ,选 C。 【关键】赋值链 、 是函数方程的固定起手;而③④的否证靠一个具体函数: 全条件符合却无最值——恒成立条件给了你通行证,反例就能把“最值存在性”掀翻. 【答案】C 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 对任意正数 成立。若 ,取 ,立得矛盾;故 ,,选 A。 【关键】“对任意正数恒成立”的杀手锏是把 取到和 一样小——任意性不允许任何正的缝隙,绝对值只能为 . 【答案】A 变式7（多选·★★★☆☆） 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 【切入点】记 (必为偶函数)、(必为奇函数)。 A:左边偶、右边 奇,除非恒为 ,而 ,假;D:左边奇、右边 偶,假。 B:取 :,真;C:取同一函数:,真。故 BC。 【关键】奇偶性是天平:偶函数配不出奇函数,反之亦然——两条腿一抬就废掉 A、D;剩下 B、C 用同一个构造 双双兑现——存在性命题,一个例子管两个选项. 【答案】BC 变式8（多选·★★★★☆） 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【切入点】“均增”即 对一切 恒成立,等价于 。 A: 给 , 严格递增,真; B:等差时 ,恒增即 ,,真; C:反例即 D 中的构造:取 ,:,,,明显不递增,但它满足均增(见 D 的验证),故 C 假; D: 时 (即均增判据左端),要证它随 递增,化简后归结为 为奇数时右边为负,自动成立; 为偶数时由二项式定理 ,成立。故 D 真。综上 ABD。 【关键】恒等式 是“均增”的平价翻译;C 假的破绽在符号: 的等比数列正负交替,根本不必递增——“均增”约束的是平均值,不是项;D 的证明里二项式定理 一锤定音,这是数列恒成立与不等式证明的握手. 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $