精品解析：江苏无锡市江阴市祝塘第二中学2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情反馈试卷

初三数学上学期第一次学情反馈试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 6. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≠0                      B. x＞0                    C. x＜0                  D. 一切实数 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，点在反比例函数（）图象上，点在反比例函数（，）的图象上，轴，轴交轴于点，连接，交反比例函数（）图象于点，若为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 12. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 13. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 14. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 15. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是___________． 16. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的方程，问： （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为，且满足，求的值． 21. 已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． （1）求m的值； （2）当时，求的值； 22. 一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元． （1）若购买商品63件，则每件商品的价格为______元； （2）若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？ 23. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 25. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 26. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学上学期第一次学情反馈试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式：，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键． 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故选：B． 4. 若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接把代入方程中即可得到结论． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴，故B符合题意； 根据现有条件无法推出，，，故A、C、D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 6. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≠0                      B. x＞0                    C. x＜0                  D. 一切实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线概念即可解题. 【详解】解：由双曲线的概念可知x≠0 , 故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的概念,属于简单题，熟悉双曲线的概念是解题关键. 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 8. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 如图，点在反比例函数（）图象上，点在反比例函数（，）的图象上，轴，轴交轴于点，连接，交反比例函数（）图象于点，若为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点坐标为，利用平行关系可得，，根据中点公式得出，代入，即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， ∵轴，轴交轴于点，点在反比例函数（，）的图象上， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵连接，交反比例函数（）图象于点， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 12. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 【答案】2． 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2， ∴， ∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键． 13. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 14. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 【答案】x2﹣x＝0（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法进行倒推即可，答案不唯一． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0， 整理得：x2﹣x＝0． 故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，答案较为开放，符合题意即可，找到合适的方程是解题的关键． 15. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴=b2-4ac=12-4k=0， 解得：k=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2-4ac有如下关系：①当＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 16. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 20. 已知关于的方程，问： （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， 由于， 所以，即， 所以不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）0或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键； （1）计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断； （2）由根与系数的关系得：，把变形为，然后整体代入得到关于a的方程，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或． 21. 已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． （1）求m的值； （2）当时，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案. 【小问1详解】 解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． 【小问2详解】 解：当时，函数为， 当时，. 22. 一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元． （1）若购买商品63件，则每件商品的价格为______元； （2）若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？ 【答案】（1） （2）小明共买了80件商品 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先说明，然后根据在此商店购买该商品共支付8800元，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：若购买商品63件，则每件商品的价格为： （元）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设买了x件商品， ∵当购买商品60件事，需要付款： ， ∴此时购买商品件数一定大于件， ， 解得：， 当销售件数为100件时，需要付款： ， ∴此时购买商品的件数一定小于100件， 当时，， 解得，（舍去）， ∴， 答：小明共买了80件商品． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 23. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【小问1详解】 解：升温总温差：， 用时：； 【小问2详解】 由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 24. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）利用反比例函数以及一次函数图象即可求解； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 将代入得，， 点P坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 26. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或时，线段的长为 （2） 不存在，理由： 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）存在， 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $