四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期数学第四周学情自测（北师大版八上1、2章）

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期第四周学情自测数学试题 （全卷满分：150分，考试时间：120分钟，测试内容：八上第1、2章） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列实数是无理数的是（　　） A． B． C． D．3.14159 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．10，15，18 B．7，24，25 C．0.3，0.4，0.5 D． 3．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AD＝13，BD＝12，BC＝3，则AC的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 6．下列判断正确的是（　　） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是±4 D． 7．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．在正方形网格中画格点△ABC，如图，若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列说法错误的是（　　） A．∠ACB＝90° B．BC C．AB＝2BC D．AC2+BC2＝AB2 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：4 　　 2．（用＞、＜或＝连接） 10．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则AC的长为　　 ． 11．若实数a、b满足，则b+2a＝　　 ． 12．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，乙船的速度是______ 海里/时． 13．如图，某班级美术课代表在办黑板报时设计了一幅图案如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为24cm2，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　　 cm2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算：（1）； （2）． 15．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求AD的长； （2）判断△ABC的形状． 16．（10分）已知6a﹣3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 17．（10分）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 18．（12分）问题探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD． 求证：BC2+AD2＝AB2+CD2； 问题解决：（2）如图2，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B＝90°，AB＝600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF＝EC，∠AFE＝90°．请根据上述条件，直接写出骑行小道AF的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为　　 ． 20．已知x，y为实数，若满足，则x+y的值为 　　 ． 21．如图，两根高度分别是2米和3米的直杆AB、CD竖直在水平地面MN上，相距12米，现要从A点绷直拉一根绳索，接地后再拉到C点处，为了节省绳索材料，则绳索的最短长度为　　 米（不计接头部分）． 22．实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简的结果为______． 23．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．现将斜边AB沿直线AD折叠，使它落在直角边AC所在的直线上，且与AE重合，则CD等于 　　 cm． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 a b c 第1组 4＝2×2 3＝22﹣1 5＝22+1 第2组 6＝2×3 8＝32﹣1 10＝32+1 第3组 8＝2×4 15＝42﹣1 17＝42+1 （1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数： （2）请你猜想出第n组（n为正整数），并证明这是一组勾股数． 25．（10分）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：∵，即．∴的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是　　 ，小数部分是　　 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 26．（12分）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝　　 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期第四周学情自测数学试题 （全卷满分：150分，考试时间：120分钟，测试内容：八上第1、2章） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列实数是无理数的是（　　） A． B． C． D．3.14159 【解答】解：是无限不循环小数， 则是无理数， 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．10，15，18 B．7，24，25 C．0.3，0.4，0.5 D． 【解答】解：A、102+152≠182，故A不符合题意； B、72+242＝252，故B符合题意； C、D中的数不是正整数，故C、D不符合题意． 故选：B． 3．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AD＝13，BD＝12，BC＝3，则AC的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝13，BD＝12， 由勾股定理得：AB5， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得：AC4， 故选：D． 5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 【解答】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4＝x﹣3， 解得：x＝9， 故选：B． 6．下列判断正确的是（　　） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是±4 D． 【解答】解：A、∵， ∴，即，则，符合题意； B、∵，则，37更接近36， ∴与最接近的整数是6，不符合题意； C、，则4的平方根是±2，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：A． 7．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴， ∴， ∴点M所表示的数为． 故选：C． 8．在正方形网格中画格点△ABC，如图，若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列说法错误的是（　　） A．∠ACB＝90° B．BC C．AB＝2BC D．AC2+BC2＝AB2 【解答】解：由题意得： BC2＝12+22＝5， AC2＝22+42＝20， AB2＝52＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 故A、D都不符合题意； ∵BC2＝5， ∴BC， 故B不符合题意； ∵AB2＝25，BC2＝5， ∴AB＝5，BC， ∴AB≠2BC， 故C符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：4 　＞　 2．（用＞、＜或＝连接） 【解答】解：32，28， ∵32＞28， ∴， ∴42． 故答案为：＞． 10．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则AC的长为　5　 ． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， 故答案为：5． 11．若实数a、b满足，则b+2a＝　8　 ． 【解答】解：由已知可得， 解得， ∴b+2a＝4+2×2＝8． 故答案为：8． 12．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，乙船的速度是　40　 海里/时． 【解答】解：如图， ∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时， ∴AC＝60海里． ∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°， ∴∠CAB＝90°． ∵BC＝100海里， ∴AB80（海里）． ∵乙船也用2小时， ∴乙船的速度是40海里/时， 故答案为：40． 13．如图，某班级美术课代表在办黑板报时设计了一幅图案如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为24cm2，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　24　 cm2． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝BC2+AC2， 则阴影部分的面积π×（）2π×（）2+S△ABCπ×（）2π×（BC2+AC2﹣AB2）+24＝24（cm2） 故答案为：24． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝4﹣2＝2； （2）原式＝3﹣4﹣3＝﹣4． 15．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求AD的长； （2）判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）在△BCD中，CD⊥AB， ∴BD2+CD2＝BC2． ∴CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144． ∴CD＝12． 在△ACD中，CD⊥AB， ∴CD2+AD2＝AC2． ∴AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256． ∴AD＝16（负值已舍）． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AD＝16，BD＝9， ∴AB＝AD+BD＝16+9＝25． ∵BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2+AC2． ∴△ABC是直角三角形． 16．（10分）已知6a﹣3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【解答】解：（1）∵6a﹣3的立方根是3， ∴6a﹣3＝33＝27， ∴a＝5， ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴3a+b﹣1＝16， 代入a＝5得，15+b﹣1＝16， 解得b＝2， ∵16＜21＜25， ∴， ∴31＜4， ∴1的整数部分是3， ∴c＝3， 综上：a＝5，b＝2，c＝3； （2）∵a＝5，b＝2，c＝3． ∴3a﹣b+c＝16， ∵16的平方根是±4， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 17．（10分）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 【解答】（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2． （2）解：当a＝3，b＝4时，c2＝a2+b2＝25， 由图可知，空白部分面积＝以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 18．（12分）问题探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD． 求证：BC2+AD2＝AB2+CD2； 问题解决：（2）如图2，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B＝90°，AB＝600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF＝EC，∠AFE＝90°．请根据上述条件，直接写出骑行小道AF的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OA2+OD2， 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2＝OC2+OD2， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2， ∴AD2+BC2＝（OA2+OD2）+（OC2+OB2） ＝（OA2+OB2）+（OC2+OD2） ＝AB2+CD2， ∴BC2+AD2＝AB2+CD2； （2）解：∵∠B＝90°，DE⊥AC，∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AED＝∠AFE＝90°， ∴AD2＝AB2+BD2＝AE2+DE2＝（AF2+EF2）+DE2， ∵EF＝EC，DE2+EC2＝CD2， ∴AB2+BD2＝AF2+CE2+DE2＝AF2+CD2， ∵点D为BC的中点， ∴BD2＝CD2， ∴AB2＝AF2， ∴AF＝AB＝600米， 答：骑行小道AF的长为600米． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为　5或　 ． 【解答】解：该直角三角形的第三条边长为x， ∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0， ∴a＝3，b＝4． 若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： 32+42＝x2， ∴x＝5； 若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 32+x2＝42， ∴x； ∴第三边的长为5或． 故答案为：5或． 20．已知x，y为实数，若满足，则x+y的值为 　5　 ． 【解答】解：由题可知知， x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴， ∴x+y＝5． 故答案为：5． 21．如图，两根高度分别是2米和3米的直杆AB、CD竖直在水平地面MN上，相距12米，现要从A点绷直拉一根绳索，接地后再拉到C点处，为了节省绳索材料，则绳索的最短长度为　13　 米（不计接头部分）． 【解答】解：如图所示，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C，交MN于P，作A′E∥MN，交CD的延长线于点E，则点P处，绳索最短， 由题意得，DE＝A′B＝AB＝2，∠A′EC＝90°，A′E＝BD＝12， ∵CD＝3， ∴CE＝CD+DE＝5， 在Rt△A′EC中，（米）， ∴PA＝PA′， ∴PA+PC＝PA′+PC＝A′C＝13米． ∴绳索的最短长度为13米， 故答案为：13． 22．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简的结果为　﹣a+b ． 【解答】解：∵a＜0＜b， ∴，， ∴原式＝﹣a+b． 故答案为：﹣a+b． 23．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．现将斜边AB沿直线AD折叠，使它落在直角边AC所在的直线上，且与AE重合，则CD等于 　　 cm． 【解答】解：在Rt△ABC中，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm， 由勾股定理得：AB10（cm）， 设CD的长为xcm，则BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm， 由折叠性质得：ED＝BD＝（6﹣x）cm，AE＝AB＝10cm， ∴CE＝AE﹣AC＝10﹣8＝2（cm）， ∵点E在AC的延长线上，∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴△DCE是直角三角形， 由勾股定理得：DE2＝CD2+CE2， ∴（6﹣x）2＝x2+22， 解得：x， ∴CD的长为cm． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 a b c 第1组 4＝2×2 3＝22﹣1 5＝22+1 第2组 6＝2×3 8＝32﹣1 10＝32+1 第3组 8＝2×4 15＝42﹣1 17＝42+1 （1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数： （2）请你猜想出第n组（n为正整数），并证明这是一组勾股数． 【解答】（1）解：观察前3组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：（n+1）2﹣1；第三个数是：（n+1）2+1． 所以第7组勾股数是16，63，65． （2）第n组是第一个数是2（n+1）；第二个是：（n+1）2﹣1；第三个数是：（n+1）2+1． 证明：∵[2（n+1）]2+[（n+1）2﹣1]2 ＝4（n+1）2+（n+1）4﹣2（n+1）2+1 ＝（n+1）4+2（n+1）2+1 ＝[（n+1）2+1]2， 故这是一组勾股数． 25．（10分）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：∵，即．∴的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是　4　 ，小数部分是　4　 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【解答】解：（1）∵，即， ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，． （2）∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为3，即b＝3， ∴． 26．（12分）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝　　 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 【解答】（1）解：∵直角边a＝1，直角边b＝3， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）证明：图②的面积， 又∵图②的面积， ∴， ∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2； （3）解：∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB＝CD＝8，BC＝AD＝10， ∴AF＝AD＝10，DE＝FE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102， 解得：BF＝6， ∵BC＝10， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EF＝x，则DE＝x， ∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴EF＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $