2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中检测试题（4）

2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中检测试题（4） 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项。） 1．（3分）若3x＝2y，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　） A．无实数根 B．不能判定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（3分）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 4．（3分）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 5．（3分）在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．75° B．70° C．40° D．30° 6．（3分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　） A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm 7．（3分）如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧!根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（　　） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8．（3分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　　） A． B． C．3 D．1 9．（3分）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（　　） A．（x﹣3）（x﹣47）＝2975 B．（x+3）（x﹣47）＝2975 C．（x+3）（x+47）＝2975 D．（x﹣3）（x+47）＝2975 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC⊥BD C．CD＝BC D．AC＝BD 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11．（3分）已知，若a+c+e＝20，且b+d+f≠0，则b+d+f＝_______ ． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是____________________ ． 13．（3分）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为___________________ ． 14．（3分）如图，P是▱ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N．若，则的值为__________________ ． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，BC＝16．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为_____ ． 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16．（12分）解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣4x+2＝0； （2）3x2﹣2x﹣1＝0． 17．（7分）已知，△DEF与△ABC位似（点D，E，F分别对应点A，B，C），原点O为位似中心，位似比为k，点A，B，C的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，﹣2），（﹣2，1）． （1）若位似比k＝2，请你在y轴右侧画出△DEF． （2）若位似比k＝n，则S△DEF＝________ ． 18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，请用尺规作图法作菱形FBED（不要求写作法，保留作图痕迹），其中点F在直线AD上，点E在直线BC上，并说明你作法的正确性． 19．（8分）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】小明准备运用数学知识测量出一棵杉树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：如图2，把镜子放在离杉树10m的点E处，然后小明沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，已知小明眼睛C距离地面D的距离（即CD）为1.5m，则杉树高AB约是多少米？ 20．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售50个，10月份销售72个． （1）求该品牌头盔销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，连接DC与y轴相交于点E．已知矩形OABC的边OC，OA的长是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC． （1）求直线AC的解析式； （2）求点D的坐标． 22．（12分）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上动点，连接AE，AF，EF． （1）如图1，若AB＝AD，则四边形ABCD为正方形， ①当BE＝DF时，求证AE＝AF； ②如图2，过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，若∠GDF＝45°，求∠EAF的度数； （2）如图3，当点F与点D重合时，若∠AED＝45°，且BE＝1，CE＝3，请直接写出AB的长． 23．（12分）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形，AB＝AC，BE＝DE，若∠ABC＝∠EBD，则有△BAC∽△BED，可得，又因为∠ABE＝∠CBD，易得△ABE∽△CBD． 请你借助旋转变换解决下列问题： （1）如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG，将线段BG绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，以BG，BE为边构造正方形BEFG，连接AG，DF，请求出AG与DF的数量关系； （2）如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O，若∠ADC+∠ABC＝180°，求证：∠ABD＝∠ACD； （3）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠BDA＝60°，BD＝5，CD＝7，求AD的长． 参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项。） 1．【解答】解：∵3x＝2y， ∴， 故选：B． 2．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3．【解答】解：近视学生数与的比值逐渐趋向于0.410， 故选：B． 4．【解答】解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C， 则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意； B、在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、在▱ABCD中，AC＝BD， 则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意； D、在▱ABCD中，AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， 在△ABE中， ∴， 故选：B． 6．【解答】解：若DE∥BC，， ∴△ADE∽△ABC， ∵， 则AD：AB＝1：3＝DE：BC， ∵DE＝4cm， ∴BC＝12（cm）． 故选：B． 7．【解答】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， 所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：D． 8．【解答】解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴ACAB21， 故选：D． 9．【解答】解：这匹锦的长为x尺，则一尺锦的价格为（x+47）文， 根据题意得：（x﹣3）（x+47）＝2975． 故选：D． 10．【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC， ∴EH∥FG，HG∥EF， ∴四边形EFGH为平行四边形， A、添加的条件是AB＝CD时，四边形EFGH为平行四边形， 故不符合题意； B、添加的条件是AC⊥BD，则EH⊥EF，所以四边形EFGH为矩形， 故符合题意； C、添加的条件是CD＝BC，四边形EFGH为平行四边形， 故不符合题意； D、添加的条件是AC＝BD， ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD， ∴，，，， ∴EH＝HG＝GF＝EF， ∴四边形EFGH为菱形， 故不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11．【解答】解：∵， ∴， ∵a+c+e＝20，且b+d+f≠0， ∴b+d+f20＝15， 故答案为：15． 12．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）， ∴， ∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为． ∵A（1，2）， ∴点C的横坐标为，纵坐标为． ∴C． 故答案为：． 13．【解答】解：由题意，列表如下： A B C D F A A，B A，C A，D A，F B B，A B，C B，D B，F C C，A C，B C，D C，F D D，A D，B D，C D，F E F，A F，B F，C F，D 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 14．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， ∵， ∴， ∵CP∥AD， ∴△CPN∽△DAN， ∴； 故答案为：． 15．【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝10，AB∥CD， ∴∠H＝∠ABF， ∵EF∥AB， ∴EF∥CD， ∵E是边BC的中点， ∴EF是△BCH的中位线， ∴BF＝FH， ∵∠BFC＝90°， ∴CF⊥BF， ∴CF是BH的中垂线， ∴BC＝CH＝16， ∴DH＝CH﹣CD＝6， 在△ABF和△GHF中， ， ∴△ABF≌△GFH（ASA）， ∴AB＝GH＝10， ∴DG＝GH﹣DH＝4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16．【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣4x+2＝0， （2x﹣1）（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0， （2x﹣1）（2x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或2x﹣3＝0， ∴x1，x2； （2）3x2﹣2x﹣1＝0， （3x+1）（x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2． 17．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求： （2）S△ABC＝2×52×21×31×5＝4， ∵位似比k＝n， ∴， ∴S△DEF＝S△ABC•n2＝4n2， 故答案为：4n2． 18．【解答】解：四边形FBED如图所示． 理由：∵EF垂直平分BD， ∴BF＝FD，BE＝ED． ∴∠BFO＝∠DFO． 又∵矩形ABCD中 AD∥BC， ∴∠DFO＝∠BEO． ∴∠BFO＝∠BEO． ∴BF＝BE． ∴BF＝FD＝ED＝BE． ∴四边形FBED是菱形． 19．【解答】解：小明眼睛C距离地面D的距离（即CD）为1.5m， ∴∠CDE＝90°＝∠ABE， 依据光的反射定律得：∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即， 解得：AB＝7.5m， 答：杉树高AB约是7.5m． 20．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为500﹣10（y﹣40）＝（900﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（900﹣10y）＝8000， 整理得：y2﹣120y+3500＝0， 解得：y1＝50，y2＝70， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝50． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21．【解答】解：（1）由一元二次方程x2﹣12x+32＝0得x＝4，x＝8， ∵矩形OABC的边OC，OA的长是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC， ∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝8，OA∥BC， ∴点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（4，0）， 设直线AC的表达式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+8； （2）过点D作DH⊥OA于点H，如图所示： ∵OA∥BC， ∴∠EAC＝∠BCA， 由折叠性质得：AD＝AB＝4，DC＝BC＝8，∠ECA＝∠BCA，∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴设EA＝EC＝a， ∴OE＝OA﹣AE＝8﹣a， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：EC2＝OE2+OC2， ∴a2＝（8﹣a）2+42， 解得：a＝5， ∴EA＝EC＝a＝5，OE＝8﹣a＝3， ∴DE＝DC﹣EC＝8﹣5＝3， ∵∠ADE＝90°，DH⊥OA于点H， ∴由三角形面积公式得：S△ADEAE•DHAD•DE， ∴DH， 在Rt△DHE中，由勾股定理得：EH， OH＝OE+EH， ∴点D的坐标为． 22．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ②解：过G点作 GM⊥AD交于M，延长MG交BC于N点，如图2所示， ∴∠DMG＝∠GNC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AD． ∴四边形CDMN 是矩形． ∴MN＝CD＝AD． 又∵∠GDF＝45°， ∴∠MDG＝45°． ∴MD＝MG． ∴AM＝GN． ∵EG⊥AF， ∴∠AGM+∠EGN＝90°． ∵∠AGM+∠MAG＝90°， ∴∠EGN＝∠MAG． 在△AMG和△GNE中， ， ∴△AMG≌△GNE（ASA）， ∴AG＝GE， ∴∠EAF＝45°； （2）作AF⊥ED于点F，作FG⊥AD于点G，延长GF交BC于点H，如图3所示， ∴∠AGF＝∠FHE＝90°． ∵∠AED＝45°，∠AFE＝90°， ∴∠FAE＝45°， ∴AF＝EF， ∵∠FAG+∠AFG＝90°，∠AFG+∠EFH＝90°， ∴∠FAG＝∠EFH， 在△AFG和△FEH中， ， ∴△AFG≌△FEH（AAS）， ∴AG＝HF，FG＝EH， 设GD＝x，AG＝AD﹣GD＝BC﹣x＝4﹣x，EH＝3﹣x， ∴HF＝4﹣x，FG＝3﹣x，DC＝GH＝GF+FH＝7﹣2x， ∵GH∥CD， ∴△EFH∽△EDC， ∴，即， 整理得2x2﹣10x+9＝0，解得x1，x2（舍去）， 故AB＝DC＝7﹣2x． 23．【解答】（1）解：连接BD，BF， ∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形， ∴，，∠ABD＝∠GBF＝45°， ∴，∠ABG＝∠FBD＝45°﹣∠GBD， ∴△ABG∽△BDF． ∴； （2）证明：在CD延长线上取点E，连接AE，使∠EAD＝∠BAC， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 又∵∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC， ∴∠EAC＝∠DAB． ∴△AEC∽△ADB． ∴∠ABD＝∠ACD； （3）解：作∠DAE＝∠BAC，截取AE＝AD，连接BE，DE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， ∴∠BAE＝∠DAC， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAE≌△DAC（SAS）． ∴CD＝BE＝7． ∵∠DAE＝∠BAC＝120°， ∴∠ADE＝∠AED＝30° ∴∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝90°． ∴在Rt△EDB中，由勾股定理可知DE2， ∴在△ADE中，ADDE＝2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $