精品解析：甘肃省定西市临洮县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

6学科网 命组卷网 挑阳初中2025-2026学年度九年级数学随堂练习题 一、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项. 1.下列成语所描述的事件是必然发生的是() A.水中捞月 B.拔苗助长 C.守株待兔 D.瓮中捉鳖 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件：随机事件是指可能发生也 可能不发生的事件.根据定义，对每个选项逐一判断 【详解】解：A选项，不可能事件，不符合题意； B选项，不可能事件，不符合题意： C选项，随机事件，不符合题意； D选项，必然事件，符合题意： 故选：D 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定 义是本题的关键。 2一元二次方程X-6x+4=0 方后可化为() A.(x-3)2=5 B.(x-3)2=13 c.(x+3)2=5 D.(x+3)2=13 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再根据完全平方公式等式两边都加9，配方即可. 【详解】解：r-6x+4=0 x2-6x=-4 .x2-6x+9=5 第1页/共35页 6学科网列组卷网 即(x-3)}=5 故选A. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：1、把原方程化为一般形 式；2、方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边：3、方程两边同时加 上一次项系数一半的平方；4、把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、进一步通过直接开平 方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；正确的配方是解题的关键 3.已知抛物线y=2(x-3)-5,其对称轴是（) A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-5 D.直线x=5 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可. 【详解】解：y=2(x-3)2-5 ∴.抛物线对称轴为直线x=3」 故选：B。 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系. 4.点P到⊙O的最近点的距离为2cm,最远点的距离为7cm,则⊙O的半径是() A.5cm或9cm B.2.5cm C.4.5cm D.2.5cm或4.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论 【详解】解：①当点在圆外时， ,圆外一点和圆周的最短距离为2cm,最长距离为7cm, ∴.圆的直径为7-2=5(m), .该圆的半径是2.5cm; ②当点在圆内时， 第2页/共35页 命学科网命组卷网 ,点到圆周的最短距离为2cm,最长距离为7cm, ∴，圆的直径=7+2=9(cm), .圆的半径为4.5cm, 故选：D 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键 5.如图，AB⊙ 的直径，点C、D是弧BE的三等分点， ∠AOE=60° ∠BOD ,则 的度数为() B A.32° B.60° C.80° D.120° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系，根据C、D是弧BE的三等分点易得∠BOD度数为∠BOE度 2 数的3. 【详解】解：∠AOE=60°， ∴.∠BOE=180°-∠AOE=120° :点C、D是BE的三等分点， :ED=DC=BC, ∴.∠EOD=∠DOC=∠BOC=120°×5=40° 3 .∠BOD=40°×2=80° 故选：C 第3页/共35页 命学科网命组卷网 Rt△ABC 其中 ∠ACB=90° DCE 6.如图，将 )绕着直角顶点C逆时针方向旋转至 ，点B恰好落在 DE上，若4C=12.CE=5.BE=4,则BD的长为() D A.8 B.9 C.11 D.12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识，根据旋转的性质得出 △ABC≌△DEC AB 结合己知条件及利用勾股定理求出，即可求解. Rt△ABC Rt△DEC 【详解】解：，将 绕点C逆时针旋转至 .△ABC≌△DEC, .AB=DE,CB=CE=5. .∠ACB=90°，AC=12, AB=AC2+CB2=13 .DE=AB=13, BE=4, .BD=DE-BE=13-4=9 故选：B. 7.如图，直径为10的0小经过点C和点0，点8是'轴右侧01优弧上一点， 10⊙A C ⊙A ∠OBC=30° 则点的 第4页/共35页 6学科网组卷网 坐标为(). B A.(0,5) B.(0,5V3 c. o.5 【答案】A 【解析】 【分析】首先设©与轴的另一个交点为点D,连接CD. ⊙A, 90° .根据的圆周角所对的弦是直径，即可得 CD。⊙A ∠ODC 是“的直径.由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 的度数，进而 由含30°角的直角三角形的性质求得OC的长，即得出点C坐标. ⊙A D CD 【详解】解：设与轴的另一个交点为点，连接，如图， B .∠COD=90° ∴.CD⊙A 是 的直径，即 CD=10 .0C=00 .∠ODC=LOBC=30°， :0C=CD=5 第5页/共35页 6学科网 命组卷网 点C的坐标为： (0,5) 故选A. 【点睛】此题考查圆周角定理的推论，含30°角的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的 作法是解此题的关键. g已知点A3,)8,C飞，)都在反比两数”k>0 的图象上，则少，2，的 大小关系为() A片<乃<y B.<为<h2 C片<h<2 D.h<乃<为 【答案】D 【解析】 【分本暖有了反比厨的增性，解要的关健是实提反比到西数厂.当>0冬 象限，在每一象限内，y随x的增大而减小：反之经过二、四象限，y随x的增大而增大.据此即可解答. 【详解】解：，k>0, y=二(k>0) 反比例函数 经过一一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， :A(-3,八），B(1)在第三象限，C(3)在第一象限， 2<乃<⅓ 故选：D, 9.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( 第6页/共35页 6学科网6组卷网 B 6元 A. B.Sn C4 D 3n 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，将阴影部分的面积化成常规图形的面积和差是解题的关键. 根翡阴影程分的面积以B为直径的手图的面欧+痘形4 的面积以1B为直径的半圆的面积，据此 列式计算即可. 【详解】解：，阴影部分的面积以 AB' 为直径的半圆的面积+扇形 B的面积以AB为直径的半圆的 AB ABB 面积=扇形 的面积， 60π×62 ∴.阴影部分的面积是： =6π 360 故选A. 10已知二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y=r+b在 C 同一平面直角坐标系内的图象可能是() A 第7页/共35页 6学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质 是解题的关键 根据题意可得a(0,c)0,b>0 再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解。 【详解】解：二次函数图象开口向下，于y轴交于正半轴， :a0,c0 b X=- >0 ,对称轴直线为 2a .b>0, :反比例函数'=的图象经过第一、三象限。 y=ax+b 一次函数 的图象经过第一、二、四象限， 故选：B 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 第8页/共35页 6学科网 组卷网 m y=- 1.己知点A(2,)和点B(-2,b)都是反比例函数x的图象上的点，则a+b=一 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解反比例函数图象上点的横纵 坐标与解析式里x和y的值一一对应的关系；分别把两个点代入解析式中即可得到答案： 【详解】解：由题意可知：2a=-2b, .a=-b, .a+b=0. 故答案为：0. △ABC∠BAC=50°△ABC 中， △AB'C' CC'CC'∥AB 12.如图， ，将 绕点A旋转得到 ，连接 ,若 则∠B'AC的度数为 B B 【答案】30° 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角，由旋转得AC=AC', ∠B'AC'=∠BAC=50°，∠ACC'=∠AC'C ∠ACC'=∠BAC=50° ,则 ， 根据平行线的性质可得 ,求得 ∠CAC'=80° ∠B'AC=∠CAC'-∠B'AC ,根据 求解可得答案。 【详解】解：由旋转得，AC=AC',∠BAC=∠BAC=50°， 第9页/共35页 6学科网6组卷网 .∠ACC'=∠ACC .·CC'∥AB ∴.∠ACC'=∠BAC=50° ∴.∠CAC'=180°-50°-50°=80° ∴.∠B'AC=∠CAC'-∠B'AC'=30° 故答案为：30° 13.如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形.已知AB长度为1m,拱门的最高点C到直 线AB的距离为2.5m,则拱门所在圆的半径为 m. C (图1) (图2) 【答案】1.3 【解析】 。m 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接OA,由垂径定理可得2 2，设拱门所在圆 的半径为m,则OD=(2.5-)m,再由勾股定理计算即可得解. 【详解】解：如图，连接OA, 第10页供35页 6学科网组卷网 C 由题意可得：CD⊥AB, ·以51AB=2m 设拱门所在圆的半径为m,则OD=(2.5-r)m 由勾股定理可得： +e5- 解得：r=1.3, ∴.拱门所在圆的半径为1.3m, 故答案为：1.3 14.众友药店的某药品原价每盒25元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每 次降价的百分率是 【答案】20% 【解析】 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则 第一次降价后的价格是25(1-x),第二次后的价格是25(1-x)2,据此即可列方程求解. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x,由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25(1-x)2=16, 解得=0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%. 第11页/共35页 6学科网丽组卷网 故答案为20%. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题.原来的数量（价格）为，平均每次增 长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a(1x),再经过第二次调整就是a(lx) (1x)=a(1x)2.增长用“+”，下降用-”. 15.在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=+br+C(a≠0)的图象与x轴交于1(-2,0），B(4,0)两 点，则一元二次方程ax+br+c=0。 的解为 【答案】名-2龙=4 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一 元二次方程的解.据此进行解答即可. 【详解】解：：二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象与x轴交于1(-2,0).B(4,0)两点. ∴当=-2或x=4时，am2+x+c=0】 即一元二次方程+bx+C=0的解为无=-2，名=4 故答案为： 6=-2x2=4 8 16如图，点4(m2m）在反比例图数'=>0 的图象上，点B是y轴上一点，且A,B,O三点构成 的三角形是等腰三角形，则线段OB= 第12页/供35页 6学科网命组卷网 J 【答案】2√5或2或8 【解析】 8 【分析】先将点1(m2m)坐标代入反比例函数”=>0) 中计算出点A的坐标，再分类讨论△ABO为 等腰三角形的情况，分别算出点B的坐标，最后求得不同情况OB的值即可得到答案， 8 【详解】解：：点1(m2m)在第一象限，且在反比例函数y=x>0） 的图象上， .m…2m=8 解得：m=±2， .'m>0 .m=2 六点1坐标为(2,4). .0A=V22+42=25 点”是'辅上一点，且8， 三点构成的三角形是等腰三角形， 当以0为腰时，如图所示三种情况， OA 第13页供35页 6学科网 6组卷网 y B(0,8) Bt---- A (0,25) B↑(0，-25) 由图可知，点B的坐标为(0,25)或0，-2V5)或(0,8)， .0B=2√5 或8， 当以OA为底边时，如图所示， H B x 设点B的坐标为(0，)，则OB=y, AH⊥y 作 轴交'轴于H, 在Rt△ABH中， 第14页/供35页 学科网 命组卷网 AB2=AH2+BH2,AH=2,BH=OH-OB=4-y,AB2=22+(4-y)}=y2-8y+20 ,·△OAB OB=AB 为等腰三角形， ·y2=y2-8y+20 y= 解得： 2 点B坐标为 5 .OB= 2, J 综上所述：OB=2W5或8或2， J 故答案为：2W5或8或2， 【点睛】本题主要考查反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数上的点的性 质以及等腰三角形的性质，采用分类讨论的方法解题，是解题的关键. 三、解答题（一）：本大题共5小题，共32分.解答时应写出必要的文字说明，证明或演算 步骤. 17.解方程： (1)x2+2x+5=0 (2)(t+3)(t-2)=6 【答案】(1)无解 (2)4=3,5=-4 【解析】 第15页/共35页 命学科网命组卷网 【分析】本题考查了解一元二次方程. (1)运用公式法进行解方程，即可作答 (2)运用因式分解法进行解方程，即可作答. 【小问1详解】 解：x2+2x+5=0, :4=22-4×1x5=-16<0 此方程无解： 【小问2详解】 解：(+3)-2)=6 :+t-12=0 :.(t-3)(t+4)=0 1-3=0或+4=0 :5=3,5=-4 18如图， Rt△ABC∠C=90° 中， (I)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法， 保留作图痕迹，标明字母)： (2)若(1)中圆O与AB相切于E,BC=8,AC=6,求线段OE的长. ⊙0 【答案】(1)解：如图，即为所求作： 第16页/共35页 6学科网组卷网 (2) OE= 8 B- 3 【解析】 ∠ABC 的平分线B0,交1C于点0，以0为圆心，以0C长为半径画圆， ⊙0 【分析】(1)作 即为所 求作； (2)连 OE,则OE1AB 根锅角平分线性质得到0E=0C,划定点8在O0上，AB是O0的切线， 求出AB=I0,根据SABc=SABo+SBcO,即可求得 E=8 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接OE,则OE⊥AB于点E, E BE- :∠C=900 .AC LOC :BC▣⊙O 是 的切线， :BO平分∠ABC, 在Rt△MBC中，BC=8,AC=6 第17页供35页 学科网命组卷网 .AB=AC2+BC2 =10 S.ABC=S480+S.8Co AC.BC=1AB-OE+BC.OC .2 2 .6×8=100E+80C, :OB=8 【点睛】本题主要考查了尺规作图.圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形， 三角形面积法求三角形高，正确引出辅助线解决问题是解题的关键。 ABC⊙O 的内接三角形，B是©0的直径，∠1CB ⊙0 19.如图，已知 是 的平分线交于点D, D AB=6 的长. D 【答案】3V2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点， 熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键. ∠ACD=1∠ACB=450 如图：连接OD,由圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据角平分线的定义可得 则∠AOD=9O°，易证△DOA是等腰直角三角形，最后由勾股定理即可求出AD的长， 第18页/供35页 6学科网命组卷网 【详解】解：如图：连接OD, B 图1 :ABg⊙O ”是的直径， .∠ACB=90°， .CD平分∠ACB, :∠ACD=)∠ACB=45 2 :.∠AOD=90°，即△AOD为等腰直角三角形， 直径AB=6, ..OA=OD=3 AD=VO+OD:=32 2k-1 V= 20.已知反比例函数 x. （)如果这个函数图象经过点(-3,5)，求k的值： (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随x的增大而减小，求k的范围. 【答案】(1)-7 第19页/供35页 命学科网命组卷网 (2) 2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征， 将已知点代入函数解析式求解k: 据“反比例函数x为常数，(m为常数，m≠0)，当m>0时，在图象所在的每 随x的增大而减小；当m<0时，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大”这一反比例函数的性 质，通过分析函数的增减性确定m=2k-1的取值范围，进而求出k的范围. 【小问1详解】 解：“反比例函数图象经过点（3,5) 2k-1 =5 .-3 解得k=-7; 【小问2详解】 这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小， .2k-1>0, 1 k> 解得2. 21.某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个， 经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个， (1)每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？ 第20页/供35页 学科网命组卷网 (2)每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)当每个陀螺涨价6元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元 (2)当每个陀螺涨价8元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为288元： 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键 40-2a) (1)设每个陀螺涨价4元，则每天可售出 个，再根据每个的价格、每天的销售量、每天的利润的 关系列方程求解求得α，然后再结合题意即可解答： (2)设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，根据每个的价格、每天的销售量、每天利润的关系得出y 与x的关系式，再根据二次函数的性质求最值即可： 【小问1详解】 (40-2a) 解：设每个陀螺涨价a元，则每天可售出 个， (7-3+a)(40-2a)=280 依题意得： (a-6)(a-10)=0 整理得： ,解得4=64，=10 又·要让顾客得到实惠， ∴.a=6 答：当每个陀螺涨价6元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元. 【小问2详解】 解：设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元， 则y=(7-3+x40-20）,整理得y=-2(0x-8+288, 当x=8时，y有最大值，最大值为288， 答：当每个陀螺涨价8元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为288元. 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程 或演算步骤. 第21页/供35页 6学科网命组卷网 22.图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分， 且距离发射点6米时达到最大高度12米.将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A,点A与点O的水 平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙.若以点O为原点，建立如图2所 示的平面直角坐标系。 12米c6,12 FE/米 图1 图2 (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式. (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB, 【答案】(1)y=-3(-6}+12 (2)不能飞越防御墙AB 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用.读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键。 (1)设石块运行的函数关系式为y=a(-6)'+12,用特定系数法求得a的值即可求得答案： (2)把x=9代入y=-x-6+12,求得y的值，与11作比较即可. 【小问1详解】 解：，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米， ÷设石块运行的函数关系式为y=a(-6)+12,由图象可知，抛物线过点(0,0)， 把(0,0)代入，得：0=a×(0-6°+12 1 解得：=3 =x-6+12: 第22页/供35页 耐学科网命组卷网 【小问2详解】 解：y=-30-6+12, 当x=9时， y=-,×(9-6)2+12=-3+12=9<5+6 3 ∴.不能飞越防御墙AB 23.期中考试结束后，九(1)班数学老师将本班所有同学的数学成绩（得分均为整数）进行整理，并分别 绘制成扇形统计图和不完整的频数分布直方图 九(1)班数学期中成绩扇形统计图九(1)班数学期中成绩频数分布直方图 人数 12 9 89.599.5 79.5~89.5 24% 59.5~69.5 69.579.5 432 30% 0W59.564569.574.579.584.589.594.599.5分数 请根据扇形统计图和不完整的频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)九(1)班有学生 人，并补全频数分布直方图： (2)九(1)班欢欢同学的数学期中成绩为88分，请判断她的数学期中成绩能否进入本班数学期中成绩的 前40%，并说明理由： (3)九(1)班数学期中成绩并列最高分有4人，并且是两名男生和两名女生，若从他们4人中随机选两 人参加学校组织的数学竞赛活动，利用画树状图或列表的方法求恰好选中一名男生和一名女生参赛的概率， 【答案】(1)50 补全频数分布直方图如图所示： 第23页/共35页 6学科网6组卷网 九(1)班数学期中成绩频数分布直方图 人数 2 11 10 10 8 87 (2) 32 2 0M59.564.569.574.579.584.589.594.599.5分数 能，理由如下： :50×0.4=20(人)，由频数分布直方图可知：数学期中成绩84.5-99.5分的学生刚好为20人， ∴欢欢同学的数学期中成绩88分能进入本班数学期中成绩的前40%； 2 (3)3 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、树状图法和列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解 题的关键， (1)结合扇形统计图和直方图对应数据计算即可： (2)找到88分所在的范围，进而进行判断； (3)画出树状图找到所有情况以及符合条件的情况，即可求解。 【小问1详解】 解：由图知，89.5-99.5分的人数占24%，有8+4=12人， ∴九(1)班一共有学生12÷24%=50人： 69.5-79.5 50×30%=15 的人数为： 人， 由直方图知74.5-79.5分有8人， :69.5-74.5分有15-8=7人 第24页/供35页 6学科网命组卷网 79.5-84.5 50-2-3-7-8-8-8-4=10 分有 ”人 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： 开始 男 女 男2女1女2 男1女1女2 男1男2女2 男男2女 由树状图可知：一共有12种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生有8种结果， 82 则P(恰好选中一名男生和一名女生参赛)=123· 24知图，三次函数五的图与反出例函数是图象相交于点4山，5B么丽 (1)求一次函数和反比例函数表达式. (2)观察图象，当≥乃时，自变量的取值范围是 (3)求△OAB的面积. 【答案】(1)一次函数解析式为乃=-x+4,反比例函数解析式为 、 (2)x≤-1或0<x≤5 (3)12 【解析】 第25页/供35页 命学科网命组卷网 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： (1)先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析 式中求出点B坐标，最后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可： (2)根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可： (3)设一-次函数与y轴交于C,则C(0,4),0C=4,再根据5a0s=Sa0c+Sc进行求解即可. 【小问1详解】 解把1(-1,5)代入反比例西数凸=- ,5=、m x,得-1 解得m=5, 六反比倒锅最解折式为人= x, 拒8(a-)代入反比例商资为= x中得： n,解得n=5, :.B(5,-1) -a+b=5 把A(-1,5),B(5,-1)代入一次函数解析式中得： 5a+b=-1, a=-1 .b=4 ·一次函数解析式为=-x+4 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当片≥少时，x的取值范围为x≤-或0<x≤5， 故答案为：x≤-1或0<x≤5： 【小问3详解】 解：设一次函数与y轴交于C, 第26页/供35页 6学科网可组卷网 当0 y=4 时， 则C(0,4) ,0C=4 :8aom=Sa0e+Saoc 0c(x+50c =2×4×1+2×4×5 =12. 25如图，在△4C中，4B=1C,以B为直径的O0交BC于点D,DELAC 垂足为E. B A (1)求证： DE。⊙O 是的切线： 2)若∠C=30°，CD=25,求阴影部分的面积 【答案】(1) 证明：如图所示，连接OD, 第27页/供35页 6学科网组卷网 B AB=AC :∠ABC=∠ACB .OB=OD ∴.∠ABC=∠ODB :∠ACB=∠ODB .ODIl AC .DE L AC .DE⊥OD, 0D。O0 是的半径， :DE是o0 的切线： 3V32π (2)23 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质， 等边三角形的性质与判定等等： (1)连接OD,根据AB=AC得到∠ABC=∠ACB,结合OB=OD=r得到∠ABC=∠ODB即可得到 ∠ACB=∠ODB,从而得到 OD‖AC ,即可得到证明； 第28页/供35页 学科网命组卷网 (2)连接AD,由AB为直径，得到∠ADB=∠ADC=90°，进而求出AD=2,AC=4,再求出 DE=V3,CE=3,则AE=1,CD=2N5,证明△4OD是等边三角形，得到OD=D=2,最后根 据影=S形04D一S形40进行求解即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接AD, AB为直径， .∠ADB=∠ADC=90°」 ∠C=30°，CD=23 4D=3 CD=2,AC=2AD=4 3 DE⊥AC, DE-CD CE-5DE-3 .AE=1 CD=2V3 AB=AC, ∴.∠B=∠C=30° .∠AOD=2∠B=60°， 又：OA=OD, :.△AOD是等边三角形， 第29页/供35页 命学科网组卷网 OD=AD=2 :影=S号形04BD-S销形OD =2+1xV5-60m×2 2 360 3V32π 23· B D 26.感知：如图(1)已知正方形ABCD和等腰直角三角形EBF,点E在正方形BC边上，点F在正方形 AB 边的延长线上，∠EBF=90,连结4，CF.易证 ∠AEB=∠CFB ,连结1 (不需要证明)， 探究：如图(2)将图(1)中△BEF绕着点B逆时针旋转，旋转角为a,(0<a<90°)，连结 AE,CF ∠AEB=∠CFB .证明： 应用：如图(3)，在(2)条件下当A、E、F三点共线时，连结CE,若AE=1,EF=2,则CE= D 图(1) 图(2) 图(3) 【答案】 第30页/供35页 命学科网组卷网 探究：证明：，四边形ABCD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∠EBF=90° .AB=CB,∠ABC=90°，BE=BF. 又：∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°=∠EBF, .∠ABE=∠CBF, :△ABE≌aCBF(SAS) .∠AEB=∠CFB: 应用： √5 【解析】 【分析】感知：由正方形的性质得∠ABC=∠CBF=9O°，AB=BC,再由等腰直角三角形的性质得 BE=BF,然后证△ABE≌ACBF(SAS),即可得出结论 探究：由正方形的性质得∠ABC=∠CBF=9O°，AB=BC,再由等腰直角三角形的性质得BE=BF, 然后证∠ABE=∠CBF,得△MBE≌aCBF(SAS),即可得出结论： 应用：先求出CF=1,再证∠CFE=90°，然后由勾股定理即可得出结论. 【详解】感知：证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC, :△BEF是等腰直角三角形，∠EBF=90°， .'BE=BF, :△MBE≌aCBF(SAS) 第31页/供35页 学科网 组卷网 .∠AEB=∠CFB: 探究：略 应用： 解：由(2)知，△ABE≌△CBF,∠BFC=∠BEA, .CF=AE=1. ,△BEF是等腰直角三角形， .∠BFE=∠BEF=45°， .∠AEB=135° .∠BFC=135°. .∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°， 在RtACFE中，CF=h,EF=2,由勾股定理得：CE=VCF2+EF2=V5 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、 旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明△ABE≌△CBF是解题的关 键，属于中考常考题型 27如图。已知锁物线'=a+r-3与轴交于4(-2,0叭、B6,0)丙点，与y销交于C点 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式. 第32页/供35页 学科网 命组卷网 2,-4) (2)如图1，当点P的坐标为 时，求aBCP 的面积. (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BCF是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标： 若不存在，请说明理由. 答案】(1)少三x-x-3 4 (2)6 (3) 【解析】 【分析】对于(1)，用待定系数法求出关系式即可； BC PGlyBC 对于(2)，先求出直线的关系式，再作 轴交 于点G,可得点G,再求出面积即可； 对于（3)，设点P的坐标，再表示出FB,BC2,FC2 然后分三种情况讨论，再根据勾股定理得出答 案. 【小问1详解】 将点4(-2,0)，B6,0)代入y=ar+br-3,得 4a-2b-3=0 36a+6b-3=0, 1 a=- 4 解得 b=-1' y= 所以函数关系式为” x-x-3 【小问2详解】 当术=0 y=-3 时， 第33页/供35页 命学科网命组卷网 C(0,-3) 设直线BC y=kx-3 关系式为 B6,0代入y=-3 将 ,得 6k-3=0 解得大=》 1 所以直线BC的关系式为'=2-3 过点P 作PGIV交BC 于点G,如图所示 ·P2,4) .G(2,-2) 【小问3详解】 存在点F,使△BCF使直角三角形，理由如下： 1 :.Ps x2-x-3=2(x-2)2-4 ∴抛物线得对称轴为直线x=2. 第34页/供35页 6学科网命组卷网 F(2,t) 设 FB2=16+t,BC2=45,FC2=4+(t+3)} 当∠BFC=90©时，45=16+P+4+(+3) 解得1=3达4 2 当∠FBC=90°时， 4+(t+3)2=45+16+t2 解得t=3, F(2,3) 当∠FCB=90°时， 16+t2=45+4+(t+3)2 解得t=-7, .F(2,-7) 综上所述，点尸的绝标为23+V4西 或(23-V41 2 2 或(2,3)或(2，-7) 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，勾股定理， 直角三角形的判定，将三角形的面积转化为求两个三角形的面积和是解题的关键. 第35页/供35页 洮阳初中2025-2026学年度九年级数学随堂练习题 一、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 瓮中捉鳖 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，其对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　） A. 5cm或9cm B. 2.5cm C. 4.5cm D. 2.5cm或4.5cm 5. 如图，为的直径，点C、D是弧的三等分点，，则的度数为（ ） A. 32 B. 60 C. 80 D. 120 6. 如图，将（其中）绕着直角顶点C逆时针方向旋转至，点B恰好落在上，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 7. 如图，直径为的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直径为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则______． 12. 如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为_____． 13. 如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为__________． 14. 众友药店的某药品原价每盒元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是________． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段______． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共32分．解答时应写出必要的文字说明，证明或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 19. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，的平分线交于点D，，求的长． 20. 已知反比例函数． （1）如果这个函数图象经过点，求的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 21. 某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个． （1）每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？ （2）每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． 23. 期中考试结束后，九（1）班数学老师将本班所有同学的数学成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和不完整的频数分布直方图． 请根据扇形统计图和不完整的频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： （1）九（1）班有学生___________人，并补全频数分布直方图； （2）九（1）班欢欢同学的数学期中成绩为88分，请判断她的数学期中成绩能否进入本班数学期中成绩的前，并说明理由； （3）九（1）班数学期中成绩并列最高分有4人，并且是两名男生和两名女生，若从他们4人中随机选两人参加学校组织的数学竞赛活动，利用画树状图或列表的方法求恰好选中一名男生和一名女生参赛的概率． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数表达式． （2）观察图象，当时，自变量的取值范围是______． （3）求的面积． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线： （2）若，，求阴影部分的面积． 26. 感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图1，当点P的坐标为时，求的面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $