5.3 实际问题与一元一次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 同 步 练 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 本卷版式：双向细目表 + 四大题分区版式（全文零图片，题型均可自由编辑） 时间：45分钟 满分：100分 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 认知层级 预估难度 1 选择 3 销售问题中的三量关系（利润＝售价−进价） 识记 易 2 选择 3 工程问题中把总工作量看作 1 识记 易 3 选择 3 列方程解应用题的一般步骤 识记 易 4 选择 3 配套问题的相等关系（按配比列式） 理解 中 5 选择 3 工程问题列方程（效率×时间） 理解 中 6 选择 3 销售问题列方程（折扣与利润率） 理解 中 7 选择 3 由售价与利润率求进价 应用 中 8 选择 3 球赛积分问题（求胜场数） 应用 中 9 选择 3 方案选择（临界值分析） 分析 难 10 选择 3 快递收费方案的比较与判断 分析 难 11 填空 3 工作量、工作效率与工作时间的关系 识记 易 12 填空 3 售价与折扣的关系 识记 易 13 填空 3 配套问题列方程（设未知数） 识记 易 14 填空 3 工程问题求完成时间 理解 中 15 填空 3 积分问题求胜场数 理解 中 16 填空 3 销售问题求标价 应用 中 17 填空 3 销售盈亏：同时卖出两件商品的盈亏分析 分析 中 18 填空 3 阶梯计价中的分段计算 分析 中 19 解答 6 配套问题：列方程求解（列式与作答） 理解 易 20 解答 6 销售问题：由利润率求折扣 理解 中 21 解答 6 工程问题：两段工作量之和为 1 应用 中 22 解答 6 积分问题：从积分表读信息并列方程 应用 中 23 解答 6 方案选择：列式、求临界值并判断 分析 难 24 综合 8 两种购票方案的比较与决策 评价 中 25 综合 8 分段优惠与分类讨论的方程建模 综合 难 全卷共25小题，满分100分。试题选自2024—2026学年各地七年级上学期期中、期末真题，以最新的 25-26 学年（2025—2026）真题为主，个别为改编，已按本课时的教学进度控制难度。认知层级分值分布：识记18分 理解27分 应用21分 分析18分 评价8分 综合8分。 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母填在括号内。 1.（25-26 学年·河北保定·月考改编）某商品的进价为 a 元，售价为 b 元，则这件商品的利润是（ ） A. a − b 元 B. b − a 元 C. a + b 元 D. 元 2.（25-26 学年·山东聊城·月考改编）在解决工程问题时，如果一项工作甲单独做需 15 天完成，那么甲每天完成的工作量是（ ） A. 15 B. C. D. 1 3.（25-26 学年·期中真题改编）用一元一次方程解决实际问题，下列说法中不正确的是（ ） A. 要先审题，找出题目中的相等关系 B. 设未知数时，问什么就设什么，并根据题意用含未知数的式子表示其他量 C. 只要解出的数满足方程，就一定是问题的正确答案 D. 求出方程的解后，还要检验它是否符合实际意义 4.（25-26 学年·广东惠州·月考改编）车间有 26 名工人生产零件甲和零件乙，平均每人每天生产零件甲 120 个或零件乙 180 个。为使零件甲和零件乙按 2∶3 配套，设安排 x 名工人生产零件甲，则列出的方程是（ ） A. 120x ＝ 180(26−x) B. 3×120x ＝ 2×180(26−x) C. 2×120x ＝ 3×180(26−x) D. 120(26−x) ＝ 180x 5.（25-26 学年·重庆·期中改编）某隧道及连接道路工程中，地上路段由甲、乙两个工程队一起修建，一期工程中甲队每天修 20 米，乙队每天修的长度是甲队的 1.5 倍。设甲、乙两队一起修 x 天，则两队共修建的路段长度是（ ）米。 A. 20x B. 30x C. 50x D. 70x 6.（25-26 学年·辽宁葫芦岛·期末改编）某超市购进一批摆件，每个进价 60 元，标价 80 元。销售一部分后打八折把剩下的全部售完，设打折时每个摆件的售价为 x 元，则 x 等于（ ） A. 56 B. 64 C. 72 D. 76 7.（25-26 学年·河北保定·月考改编）为迎接节日，某文创店推出促销活动，所有纪念徽章按标价打九折销售，仍可获利 10%。军军的爸爸购买一枚徽章，打折后支付了 99 元，则这枚徽章的进价是（ ） A. 81 元 B. 90 元 C. 100 元 D. 110 元 8.（25-26 学年·黑龙江齐齐哈尔·期末改编）某中学七年级足球队参加比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。该队共赛了 9 场保持不败，共得 21 分。设该队胜了 x 场，根据题意所列方程正确的是（ ） A. 3(9−x) + x ＝ 21 B. 3x + (9−x) ＝ 21 − 9 C. 3x + (9−x) ＝ 21 D. 3x + 9 ＝ 21 9.（25-26 学年·方案型真题改编）某健身房有两种收费方式：方式一，先交会员费 300 元，之后每次健身交 20 元；方式二，不交会员费，每次健身交 35 元。设一年健身 x 次，则下面说法正确的是（ ） A. 当 x ＝ 20 时两种方式费用相同 B. 当 x ＝ 25 时两种方式费用相同 C. 当 x ＝ 15 时方式一更省钱 D. 无论 x 取何值，方式二都更省钱 10.（25-26 学年·方案型真题改编）甲、乙两家快递公司收费如下：甲公司每件收费 12 元，另收上门费 20 元；乙公司每件收费 16 元，不收上门费。某网店要寄 x 件快递，下列说法正确的是（ ） A. 甲公司收费为 32x 元 B. 当 x ＝ 5 时，两家公司收费相同 C. 当 x ＝ 6 时，选乙公司更省钱 D. 寄的件数越多，选甲公司越不合算 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.（25-26 学年·江苏苏州·期末改编）工作量 ＝ ____________ × ____________。若某人单独完成一项工作需 8 h，则他的工作效率是 ____________。 12.（25-26 学年·安徽合肥·期中改编）某商品标价 200 元，打七折后的售价是 ____________ 元；若进价为 120 元，则利润是 ____________ 元。 13.（25-26 学年·陕西榆林·月考改编）某工厂生产太空漫步器，每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成。工厂共有 55 名工人，每人每天可以生产 42 个支架或 72 套脚踏板。设安排 x 名工人生产支架，则生产脚踏板的工人有 ____________ 名；为使每天生产的支架和脚踏板恰好配套，所列方程为 ____________。 14.（25-26 学年·重庆·期中改编）一项工作，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成。若两人合作，需要 ____________ 天完成。 15.（25-26 学年·黑龙江牡丹江·期末改编）某校举行生活小常识竞赛，共设 20 道选择题，每题必答，答对一题得 5 分，答错一题得 −2 分。某同学共得 79 分，则他答对了 ____________ 道题。 16.（25-26 学年·销售型真题改编）某商品的进价为 240 元，按标价的八折销售时，利润率为 20%，则该商品的标价是 ____________ 元。 17.（25-26 学年·销售盈亏型真题改编）某商店同时卖出两件商品，每件售价都是 120 元，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。这两件商品的总进价是 ____________ 元，商店在这次买卖中 ____________（填「盈利」或「亏损」）____________ 元。 18.（25-26 学年·阶梯计价型真题改编）某市居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水不超过 20 吨的部分，每吨 3 元；超过 20 吨的部分，每吨 4 元。小明家某月用水 26 吨，这个月的水费是 ____________ 元；若另一个月的水费为 96 元，则该月用水 ____________ 吨。 三、解答题（每小题6分，共30分） 19.（25-26 学年·山东聊城·月考改编）某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由 2 个 A 盲盒和 3 个 B 盲盒组成。工厂有 17 名技术工人，平均每人每天可加工 A 盲盒 24 个或 B 盲盒 15 个。应如何分配工人，才能使每天生产的 A 盲盒和 B 盲盒恰好配套？ （1）设安排 x 名工人加工 A 盲盒，用含 x 的式子表示每天生产的 A 盲盒数与 B 盲盒数； （2）列出方程并求解，写出分配方案。 20.（25-26 学年·河北保定·月考改编）某商场销售一款书包，每个进价 80 元，标价 120 元。为促销，商场决定打折销售，要求每卖出一个书包仍可获得 20% 的利润。问：商场应按标价打几折销售？ 21.（25-26 学年·工程型真题改编）一项工程，甲队单独做需 20 天完成，乙队单独做需 30 天完成。现先由甲队单独做 5 天，然后甲、乙两队合作完成剩下的部分。 （1）把这项工程的总工作量看作 1，分别写出甲队、乙队每天完成的工作量； （2）设甲、乙合作还需 x 天完成，列出方程并求出 x 的值。 22.（25-26 学年·积分型真题改编）下表是某篮球联赛中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）： 球 队 比赛场次 胜 场 负 场 积 分 A 队 11 11 0 22 B 队 12 10 2 22 E 队 11 — — 13 （1）根据表中数据，直接写出胜一场、负一场各得多少分； （2）求 E 队在已进行的 11 场比赛中胜、负各多少场。 23.（25-26 学年·方案型真题改编）某游泳馆推出两种收费方式：方式一，购买年卡 480 元，凭卡每次游泳再付 8 元；方式二，不购买年卡，每次游泳付 20 元。设一年游泳 x 次。 （1）分别用含 x 的式子表示两种方式的费用； （2）一年游泳多少次时，两种方式的费用相同？ （3）若小王一年游泳 50 次，选哪种方式更合算？请说明理由。 四、综合应用题（每小题8分，共16分） 24.（25-26 学年·评价型真题改编）某校为七年级学生订购一套运动服，上衣每件定价 200 元，裤子每件定价 100 元。厂方向学校提供两种优惠方案： 方案①：买两件上衣送一条裤子（即每买 2 件上衣送 1 条裤子，赠送的裤子不另外收费）； 方案②：上衣和裤子都按定价的九折付款。 现学校需要订购上衣 200 件，裤子 x 条（x > 100）。 （1）按方案①购买，裤子中需要付款的有多少条？请用含 x 的式子表示按方案①购买裤子的付款金额； （2）设 x ＝ 200，分别计算两种方案各需付款多少元； （3）通过计算说明，当 x ＝ 200 时，按哪种方案购买较为合算。 25.（25-26 学年·综合型真题改编）某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过 100 元，不享受优惠； （2）一次性购物超过 100 元但不超过 300 元，一律打九折； （3）一次性购物超过 300 元，一律打八折。 小明的妈妈两次购物分别付款 80 元和 252 元。 （1）第一次购物付款 80 元，说明她所购商品的原价是多少元？（提示：判断 80 元是否已经打折） （2）第二次购物付款 252 元，求她所购商品的原价；（提示：252 元可能是打九折后的金额，也可能是打八折后的金额，请分类讨论） （3）如果她将两次所购商品一次性购买，应付款多少元？（分情况计算，并说明哪种情况更省钱） 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. B。利润 ＝ 售价 − 进价 ＝ b − a（元）。故选 B。 2. B。把总工作量看作 1，甲单独做 15 天完成，则每天完成 。故选 B。 3. C。解出的数满足方程只是必要条件，还必须符合实际意义——如人数不能是分数、长度不能为负。所以「只要满足方程就一定是正确答案」这一说法错误。故选 C。 4. B。零件甲与零件乙按 2∶3 配套，即甲的总数∶乙的总数 ＝ 2∶3，由比例的基本性质（内项积等于外项积）得 3×甲的总数 ＝ 2×乙的总数，即 3×120x ＝ 2×180(26−x)。故选 B。 5. C。甲队每天 20 米，乙队每天是甲的 1.5 倍即 30 米，两队每天共修 20 + 30 ＝ 50（米），x 天共修 50x 米。故选 C。 6. B。打八折即按标价的 0.8 倍销售，x ＝ 80 × 0.8 ＝ 64（元）。故选 B。 7. B。设进价为 a 元。打九折后售价为 99 元，由「售价 ＝ 进价 ×(1 + 利润率)」得 99 ＝ a×(1 + 10%)，即 1.1a ＝ 99，两边同除以 1.1，得 a ＝ 90。故选 B。 8. C。该队保持不败，故无负场，胜 x 场、平 (9−x) 场。由「胜场得分 + 平场得分 ＝ 21」得 3x + (9−x) ＝ 21。故选 C。 9. A。方式一费用 (300 + 20x) 元，方式二费用 35x 元。令 300 + 20x ＝ 35x，得 15x ＝ 300，x ＝ 20，故 A 正确、B 错误；当 x ＝ 15 时，方式一 300+300 ＝ 600（元），方式二 35×15 ＝ 525（元），方式二更省钱，C 错误；D 明显错误。故选 A。 10. B。甲公司收费为 (20 + 12x) 元，乙公司收费为 16x 元。令 20 + 12x ＝ 16x，得 4x ＝ 20，所以 x ＝ 5，两家收费相同，B 正确、A 错误；当 x ＝ 6 时，甲公司收费 20 + 12×6 ＝ 92（元），乙公司收费 16×6 ＝ 96（元），甲公司更省钱，C 错误；寄的件数越多，甲公司的上门费被摊得越薄，越划算，D 错误。故选 B。 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 工作效率；工作时间；。工作量 ＝ 工作效率 × 工作时间；8 h 完成全部工作，工作效率为 。 12. 140；20。售价 ＝ 200 × 0.7 ＝ 140（元）；利润 ＝ 140 − 120 ＝ 20（元）。 13. 55−x；3×42x ＝ 72(55−x)。每套设备配 1 个支架和 3 套脚踏板，所以脚踏板数是支架数的 3 倍。 验算：解得 x ＝ 20，此时支架有 42×20 ＝ 840 个，脚踏板有 72×35 ＝ 2520 套，840×3 ＝ 2520，恰好配套。 14. 6。把总工作量看作 1，甲每天完成 ，乙每天完成 ，两人合作的效率为 + ＝ + ＝ ＝ ，所以合作需 6 天完成。 15. 17。设答对 x 道题，则答错 (20−x) 道。由「答对得分 + 答错得分 ＝ 总分」得 5x + (−2)(20−x) ＝ 79；去括号得 5x − 40 + 2x ＝ 79，合并得 7x − 40 ＝ 79，移项得 7x ＝ 119，所以 x ＝ 17。 16. 360。设标价为 x 元。打八折售价为 0.8x，由「售价 ＝ 进价 ×(1 + 利润率)」得 0.8x ＝ 240×(1 + 20%) ＝ 288，两边同除以 0.8，得 x ＝ 360。 17. 250；亏损；10。设盈利那件商品的进价为 x 元，由「售价 ＝ 进价 ×(1 + 利润率)」得 x(1 + 20%) ＝ 120，所以 x ＝ 100；设亏损那件商品的进价为 y 元，由 y(1 − 20%) ＝ 120，得 y ＝ 150。 两件商品的总进价为 100 + 150 ＝ 250（元），总售价为 120×2 ＝ 240（元）。因为 240 < 250，所以商店在这次买卖中亏损，亏损 250 − 240 ＝ 10（元）。 18. 84；29。用水 26 吨时，水费为 3×20 + 4×(26−20) ＝ 60 + 24 ＝ 84（元）。 水费 96 元 > 60 元，说明该月用水量超过了 20 吨。设该月用水 x 吨（x > 20），由「前 20 吨的水费 + 超出部分的水费 ＝ 96」得 3×20 + 4(x−20) ＝ 96，即 60 + 4x − 80 ＝ 96， 合并得 4x − 20 ＝ 96，移项得 4x ＝ 116，所以 x ＝ 29。 三、解答题（每小题6分，共30分） 19.（1）安排 x 名工人加工 A 盲盒，则安排 (17−x) 名工人加工 B 盲盒。每天生产的 A 盲盒数为 24x 个，B 盲盒数为 15(17−x) 个。 （2）每个礼盒由 2 个 A 和 3 个 B 组成，所以 A 与 B 的数量比为 2∶3，即 B 的数量是 A 的 倍，由此得 3×24x ＝ 2×15(17−x)； 去括号，得 72x ＝ 510 − 30x； 移项、合并同类项，得 102x ＝ 510； 两边同除以 102，得 x ＝ 5。 所以 17−x ＝ 12。 检验：A 盲盒 24×5 ＝ 120 个，B 盲盒 15×12 ＝ 180 个，120∶180 ＝ 2∶3，恰好配套。 答：应安排 5 名工人加工 A 盲盒，12 名工人加工 B 盲盒。 20. 设商场按标价打 x 折销售。 打 x 折后售价为 120 × 元； 由「利润 ＝ 进价 × 利润率」得每个书包的利润为 80 × 20% ＝ 16（元）， 又因为售价 ＝ 进价 + 利润，所以 120 × ＝ 80 + 16， 即 ＝ 96，两边同乘 10 得 120x ＝ 960， 两边同除以 120，得 x ＝ 8。 检验：打八折售价为 120×0.8 ＝ 96 元，利润为 96 − 80 ＝ 16 元， ＝ 20%，符合题意。 答：商场应按标价打八折销售。 21.（1）总工作量看作 1，甲队每天完成 ，乙队每天完成 。 （2）设甲、乙合作还需 x 天完成。 由「甲先做的工作量 + 两队合作的工作量 ＝ 1」得 ×5 + ( + )x ＝ 1。 因为 + ＝ + ＝ ＝ ， 所以 + ＝ 1，即 + ＝ 1。 两边同乘 12，得 3 + x ＝ 12； 移项得 x ＝ 9。 答：甲、乙合作还需 9 天完成。 22.（1）先看 A 队：11 场全胜、0 负得 22 分，所以胜一场得 2 分。 再看 B 队：10 胜 2 负得 22 分，10 场胜得 20 分，余下 2 分由 2 场负挣得，所以负一场得 1 分。 （2）设 E 队胜了 x 场，则负了 (11−x) 场。 由「胜场得分 + 负场得分 ＝ 13」得 2x + (11−x) ＝ 13； 去括号得 2x + 11 − x ＝ 13，合并得 x + 11 ＝ 13， 移项得 x ＝ 2。所以负了 11 − 2 ＝ 9 场。 检验：2×2 + 9×1 ＝ 13，符合。 答：E 队胜了 2 场，负了 9 场。 23.（1）方式一的费用为 (480 + 8x) 元，方式二的费用为 20x 元。 （2）由「两种方式费用相同」得 480 + 8x ＝ 20x； 移项得 480 ＝ 12x，两边同除以 12，得 x ＝ 40。 所以一年游泳 40 次时，两种方式的费用相同。 （3）当 x ＝ 50 时， 方式一为 480 + 8×50 ＝ 480 + 400 ＝ 880（元）； 方式二为 20×50 ＝ 1000（元）。 因为 880 < 1000，所以选方式一更合算。 四、综合应用题（每小题8分，共16分） 24.（1）方案①中，每买 2 件上衣送 1 条裤子，上衣 200 件可送裤子 200 ÷ 2 ＝ 100（条），所以裤子中需要付款的有 (x − 100) 条。 按方案①购买：上衣 200 件不优惠，需 200×200 ＝ 40000（元）； 裤子需付款 (x−100) 条，每件 100 元，共 100(x−100) ＝ (100x − 10000) 元。 所以方案①裤子付款金额为 (100x − 10000) 元。 （2）当 x ＝ 200 时： 方案①总费用 ＝ 40000 + 100×(200−100) ＝ 40000 + 10000 ＝ 50000（元）； 方案②：上衣 200×200×0.9 ＝ 36000（元），裤子 200×100×0.9 ＝ 18000（元），合计 54000（元）。 （3）因为 50000 < 54000，所以当 x ＝ 200 时，按方案①购买较为合算。 25.（1）一次性购物不超过 100 元不享受优惠。若原价为 80 元，付款也是 80 元，符合「不超过 100 元」的条件；若原价超过 100 元（≤300 元），付款应为原价的 0.9 倍，反求原价为 80 ÷ 0.9 ≈ 88.9 元 < 100 元，与「超过 100 元」矛盾。 所以第一次购物所购商品的原价是 80 元，没有享受优惠。 （2）第二次付款 252 元，分两种情况： ① 若原价不超过 300 元，则按九折付款，原价 ＝ 252 ÷ 0.9 ＝ 280（元），280 在 100~300 元之间，符合； ② 若原价超过 300 元，则按八折付款，原价 ＝ 252 ÷ 0.8 ＝ 315（元），315 > 300，符合。 所以第二次购物所购商品的原价是 280 元或 315 元。 （3）两次商品的原价合计为 80 + 280 ＝ 360（元），或 80 + 315 ＝ 395（元）。一次性购买： 当合计原价为 360 元时，360 > 300 可打八折，应付 360 × 0.8 ＝ 288（元），比分开买（80 + 252 ＝ 332 元）省 44 元； 而当合计原价为 395 元时，应付 395 × 0.8 ＝ 316（元），比分开买（80 + 252 ＝ 332 元）省 16 元。 所以两次合并购买都比分开购买省钱；且在第二次原价为 280 元的情况下省得更多（省 44 元）。 学科网（北京）股份有限公司 $