专题12合并同类项与整式的加减 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年 浙教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦合并同类项与整式的加减，涵盖同类项判定、合并法则、去括号及整式加减运算等核心知识，承接数的运算基础，为方程、函数等后续代数学习搭建阶梯，课堂导入可通过具体实例引导学生从数的加减过渡到式的运算。 其亮点在于题型分类系统（11类从基础到拔高），结合重点辨析与高频错误总结，培养学生抽象能力与运算能力。如通过无关型问题训练推理意识，规律探索题激发创新思维，助力学生减少计算错误，教师可依托清晰结构提升教学效率。

专题12合并同类项与整式的加减精讲学案 核心立意 掌握同类项的判定方法，熟练合并同类项；掌握去括号法则，规范完成整式的加减、化简求值运算，是初中整式运算的核心基础，贯穿整个代数计算体系。 同类项定义： 所含字母相同，且相同字母的指数也完全相同的项；所有常数项都是同类项；同类项与系数大小、字母顺序无关。 合并同类项法则： 同类项系数相加减，字母和字母的指数保持不变；合并后系数为0，该项直接消去；系数为1，数字1省略不写。 合并同类项步骤： 找准同类项→分组归类→系数运算→剩余非同类项直接照抄。 去括号法则： 括号前是“+”，去括号各项不变号；括号前是“-”，去括号所有项全部变号。 带系数去括号： 括号外有数，必须用乘法分配律，遍乘括号内每一项，不能漏乘。 整式加减通用步骤： 先去括号→再找同类项→最后合并同类项，化为最简整式。 整式化简求值原则： 先化简、后代入，不直接代原式计算，减少计算错误。 无关型题型原理： 整式结果与某字母无关、不含某项，即该项合并后系数为0。 重点辨析 ①只有同类项可以合并，字母不同、指数不同均不能合并。 ②、纯数字均为常数项，所有常数项互为同类项。 ③去负括号必须全员变号，不能只变第一项。 ④移动多项式中的项，必须连同项前面的正负符号一起移动。 ⑤整式加减最终结果无括号、无同类项、格式最简。 ①误判同类项：只看字母不看指数，强行合并非同类项。 ②合并系数符号出错，正负号运算混乱；忽略系数为1时1要省略。 ③去括号漏变号、只变第一项，是本节最高频扣分点。 ④括号外系数漏乘括号内某一项，分配律使用不完整。 ⑤化简求值直接代原式、负数分数代入不加括号。 ⑥移动项、重组同类项时，弄丢项前面的正负符号。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★★ 题型三 合并同类项 ★★ 题型四 去括号 ★★ 题型五 整式的加减运算 ★★★ 题型六 整式加减中的无关型问题 ★★★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型八 整式加减的应用 ★★★ 题型九 数字类规律探索 ★★★★ 题型十 图形类规律探索 ★★★★ 题型十一 带有字母的绝对值化简问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高 题型一：同类项的判断 解题思路：①依据同类项定义，看所含字母是否完全相同；②检查相同字母对应的指数分别相等；③所有常数项属于同类项；④同类项和系数大小、字母排列顺序无关。 1．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 2．以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是：________（填写序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项．逐一判断每组是否满足定义． 【详解】解：①中字母x和y的指数均不相同，不是同类项； ②中第一个式子含有字母z，第二个不含z，所含字母不相同，不是同类项； ③中字母m和n相同且指数相同，是同类项； ④中第一个式子含有字母a，第二个是常数，不是同类项； ⑤中字母x和y相同且指数相同，是同类项； ⑥中都是常数项，是同类项． 故答案为：③⑤⑥． 3．下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项即可判断求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：、所含字母的指数不相同，不是同类项； 、所含字母的指数不相同，不是同类项； 、所含字母的指数不相同，不是同类项； 、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项； 故选：． 4．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项的定义，熟记同类项的所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，根据同类项的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与是同类项，故A不符合题意；     B．与是同类项，故B不符合题意； C．与是同类项，故C不符合题意；     D．与不是同类项，故D符合题意． 故选：D． 题型二：已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题思路：①利用同类项条件，令对应相同字母的指数相等；②列方程求出参数；③把参数代入所求代数式计算；④回代检验是否满足同类项条件。 5．若 与可以合并成一项，则的值是______． 【答案】8 【分析】根据同类项定义可得，然后可得的值，进而可得的值． 【详解】解：∵ 与可以合并成一项， ∴ 与是同类项， ∴， 解得， 则． 6．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 7．如果关于x、y的单项式与的和仍是一个单项式，那么m的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据两个单项式的和仍是单项式，判断出它们是同类项，进而根据同类项中相同字母的指数相等列出方程求解． 由两个单项式的和仍是一个单项式，可知它们是同类项；根据同类项的定义，可得，；先由求出，再计算得出的值． 【详解】解：∵ 单项式与的和仍是一个单项式， ∴ 单项式与是同类项． ∴ ，． 将代入，得，，． 故答案为：． 8．若单项式与是同类项，则式子的值是（  ） A． B．7 C．0 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过比较和的指数建立方程求解和，再代入计算目标式． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴由， 解得， ∴． 故选：B． 题型三：合并同类项 解题思路：①标记找出式子中全部同类项；②同类项的系数进行加减运算；③字母以及字母的指数保持不变；④非同类项直接照抄，不能合并；⑤系数为0该项消去，系数为时省略数字1。 9．化简：________ 【答案】 【详解】解：． 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴A选项错误． ∵与不是同类项，不能合并 ∴B选项错误． ∵与是同类项，合并得 ∴C选项正确． ∵ ∴D选项错误． 11．若，则计算的结果是________． 【答案】176 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，运用整体思想是解本题的关键． 将看作一个整体，化简后整体代入计算即可求出值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项的运算法则，依次计算，即可求解． 本题考查了合并同类项，解题的关键是：熟练掌握合并同类项． 【详解】解： A、，该选项计算错误，不符合题意， B、，该选项计算正确，符合题意， C、，该选项计算错误，不符合题意， D、，该选项计算错误，不符合题意， 故选：B． 题型四：去括号 解题思路：①括号前是“+”，去掉括号后括号内各项符号不变；②括号前是“-”，去掉括号，括号内每一项全部变号；③括号外面有数字因数，使用乘法分配律乘括号内每一项，杜绝漏乘。 13．去括号：________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，括号前是负号，去括号时括号内各项要变号，进而求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 15．计算：______． 【答案】 【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C 题型五：整式的加减运算 解题思路：①先对式子去括号；②找出所有同类项分组；③合并同类项；④最终结果化为最简，不能留有括号，非同类项直接保留。 17．化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 18．下面是小岩进行整式化简的过程，下列说法正确的是（    ） 第一步 第二步 第三步 A．第一步的依据是乘法结合律 B．化简过程在第一步开始出现错误 C．化简过程在第二步开始出现错误 D．化简过程在第三步开始出现错误 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、第一步的依据是乘法分配律，故原说法错误，不符合题意； B、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法错误，不符合题意； C、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法错误，不符合题意； D、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 19．若n为正整数，且，则____________． 【答案】3 【分析】利用指数运算法则简化表达式，并将已知条件代入求值； 本题考查了整式的除法和指数运算，熟练掌握整式的除法是解题的关键. 【详解】解：原式为 其中 则原式= 已知 ， ∴原式= . 故答案为：3. 20．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 题型六：整式加减中的无关型问题 解题思路：①先去括号、合并同类项，化简整式；②“与某字母无关、不含某一项”，代表该项的系数等于0；③列等式求解参数；④把求得参数回代原式检验。 21．关于x，y的多项式中不含项，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解： ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 22．已知关于的多项式，，若不含一次项，则的常数项是（   ） A．15 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键．不含一次项，则一次项系数为零，求出a后代入常数项表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵不含一次项， ∴， 解得：， ∴常数项． 故选：D． 23．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 【答案】 0 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减实质上就是合并同类项．先去括号，再合并同类项，根据代数式的值与x无关，则含x项的系数为零，由此求出a和b的值，再化简所求代数式，a和b的值代入计算． 【详解】解：原式化简为， 由题意得和， 解得，． 则． 故答案为：0． 24．已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的条件，熟练掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母对应项的系数为0”是解题的关键． 先化简代数式，根据“代数式的值与的取值无关”可知和的系数为0，进而求出、的值，最后计算． 【详解】解：原式 ， ∵代数式的值与的取值无关， ∴且， ∴，， ∴， 故选：C． 题型七：整式的加减中的化简求值 解题思路：①先化简整式，再代入数值计算，不直接代入原式；②负数、分数代入计算时，整体加上括号；③按照有理数运算法则算出最终结果。 25．若，则多项式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先化简多项式，再根据已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式 故答案为：10． 26．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式， 故选：D． 27．若，则代数式___________． 【答案】4050 【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 28．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“”的定义，将转化为常规的代数运算，再结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 原式， 故选：． 题型八：整式加减的应用 解题思路：①读懂题意，用含字母的式子表示各个量；②列出整式加减算式；③化简整式；④代入对应数值，得到实际问题答案。 29．一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意先求出十位上的数字，再根据两位数的表示方法列出代数式，化简即可得到结果； 【详解】解：根据题意可知，个位数字为，十位上的数字为， 则这个两位数为； 30．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 【答案】A 【详解】解：由对角线和最后一列可得 ， ∴ ． 31．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．用含，的代数式表示拼成的长方形的周长______________． 【答案】 【分析】先根据题意画出新长方形，然后用代数式表示出新长方形的长和宽，进而可得新长方形的周长．本题考查了长方形的周长、列代数式问题，解题的关键是用代数式表示出新长方形的长和宽． 【详解】解：拿掉边长为的小正方形纸板后，剩下的三块拼成一个新长方形如图所示， 新长方形的长为，宽为， ∴周长为． 32．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 【答案】C 【分析】设，，根据图形，结合整式的加减可得，，，，进而可推导出，然后由长方形的周长公式，结合整式的加减可得答案． 【详解】解：设，， 由图知，，， ， ， ∵， ∴，则， ∴ ． 题型九：数字类规律探索 解题思路：①观察数字，找出前后变化关系；②用序号n表示每一项；③归纳写出通用代数式；④代入序号验证代数式是否成立。 33．按一定规律排列的代数式：，，，，，…如果，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出被开方数的规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解∶由题意知，第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为，…， 那么第n个代数式是． 34．下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 【答案】 【分析】观察数阵可得规律，第行共有个数，最后一个数为，利用规律确定所在的行数和位置，再计算即可． 【详解】解：∵第1行有个数，最后一个数为， 第2行有个数，最后一个数为， 第3行有个数，最后一个数为， 第4行有个数，最后一个数为 …… ∴第行共有个数，最后一个数为， ∵，，且， ∴排在从上向下数的第行，即， ∵第行的最后一个数是， ∴第行的第一个数为， ∴是该行从左向右数的第个数，即， ∴． 35．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 36．孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（     ） A．12、24、48 B．16、32、48 C．16、36、54 D．32、36、48 【答案】B 【分析】每次丢弃奇数位牌后，剩余牌的初始位置为2的k次幂的倍数（k为丢弃次数），据此可推导剩余3张时的初始位置. 【详解】解：一副扑克牌共54张，每次从上往下丢弃第奇数张牌； ∵ 第1次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共27张； 第2次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共13张； 第3次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共6张； 第4次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共3张； ∴ 剩余3张从上到下的初始位置依次为，，. 题型十：图形类规律探索 解题思路：①观察图形，数出前几项对应数量；②分析图形变化，找出和序号n的关系；③提炼出对应的整式表达式；④代入序号验证规律正确性。 37．下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 【答案】 104 【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号的平方与常数4的和，归纳出第个图形的通项公式，代入进行计算即可． 【详解】解：图①中棋子数量为， 图②中棋子数量为， 图③中棋子数量为， 图④中棋子数量为， ， 由此规律可知，第个图形中棋子的数量为， 当时，棋子数量为． 38．如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以发现，每增加1间小房子增加4根小棒，搭1间小房子用根小棒，搭2间小房子用根小棒，搭3间小房子用根小棒……；搭n间小房子用根小棒． 【详解】解：搭1间小房子用根小棒， 搭2间小房子用根小棒， 搭3间小房子用根小棒……； 则搭n间小房子用根小棒． 39．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为________，第n个图形中的小圆圈的个数为________． 【答案】 24 【分析】观察图形得第1个图形有个圆圈；第2个图形有个圆圈；第3个图形有个圆圈；由此得出规律即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈； 第2个图形有个圆圈； 第3个图形有个圆圈； …， 第7个图形有个圆圈； 第个图形有个圆圈． 40．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 题型十一：带有字母的绝对值化简问题 解题思路：①根据条件判断绝对值内部代数式正负；②正数的绝对值等于本身，负数绝对值等于它的相反数；③去掉绝对值符号后，再进行整式加减运算；④最后合并同类项化为最简。 41．当时，代数式的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值的定义，结合的条件，化简表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 则，． 因此． 故答案为：1 42．有理数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去绝对值，涉及数轴性质、绝对值意义及整式加减运算，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据数轴得到m的范围，利用绝对值意义去绝对值，最后利用整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：根据数轴可得， ． 故选：A． 43．如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 【答案】 【分析】先由已知得到a、b、c两正一负或两负一正，，，，则有，然后利用绝对值的意义化简，结合实数的运算即可求解． 【详解】解：∵，a、b、c均不为0， ∴a、b、c两正一负或两负一正，，，， ∴． ①当a、b、c两正一负时， 原式； ②当a、b、c两负一正时， 原式； 综上，原式的值为． 44．已知，x，y，z均不为0，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的最大值，表达式 的值仅取决于 的符号，令 , , ，则的值都为，表达式化为 ，由 ，可写为 ，其中 ，因此系数 不能全正或全负，当系数最小的为负时，取得最大值． 【详解】解：∵ 且 , 令 , , ，则 的值都为， ． ∵， ∴, ∵ ， ∴ 不能同号． 要使的值最大，应使中取的项在表达式中的系数尽可能小， ∵的系数1最小，故当时可能取得最大值， 经验证，此时有解，即， ∴ 最大值为 4． 故选B． 解答题 1．若单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）先求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴． 2．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 3．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 【答案】（1），20；（2）①② 【分析】（1）要求代数式先去括号，再合并同类项，再把，代入计算即可； （2）原式先去括号，再合并同类项，得最简结果： ①代入、进行化简即可； ②由原式与的值无关可得含的项系数为0，从而可求出的值． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2） ； ①当、时，原式； ②∵原式与的值无关， ∴ 解得：． 4．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 【答案】(1)4125 (2)6314 【分析】（1）设，，则，要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以d取最小值5，则c最小值为2，从而求得结果； （2）先表示出，从而得，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：设， ， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1， d取最小值5，则c最小值为2， 最小的“叁叁数”是4125； （2）解：设，， ． ， ， ， ，， ， 除以5的余数为1，， 或， 当时，不是“叁叁数”舍去， 当时，， ， 或或或， 即或或或， ∵b，c均为正整数， 或（舍） ， 若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则s的值为6314． 5．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案； （2）先根据数轴可得，再去掉绝对值即可． 【详解】（1）解：A和B之间的距离是，点C和1之间的距离是，将点A向右移动5个单位长度为，或向左移动5个单位长度为； （2）解：∵， ∴， ∴． 6．综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12合并同类项与整式的加减精讲学案 核心立意 掌握同类项的判定方法，熟练合并同类项；掌握去括号法则，规范完成整式的加减、化简求值运算，是初中整式运算的核心基础，贯穿整个代数计算体系。 同类项定义： 所含字母相同，且相同字母的指数也完全相同的项；所有常数项都是同类项；同类项与系数大小、字母顺序无关。 合并同类项法则： 同类项系数相加减，字母和字母的指数保持不变；合并后系数为0，该项直接消去；系数为1，数字1省略不写。 合并同类项步骤： 找准同类项→分组归类→系数运算→剩余非同类项直接照抄。 去括号法则： 括号前是“+”，去括号各项不变号；括号前是“-”，去括号所有项全部变号。 带系数去括号： 括号外有数，必须用乘法分配律，遍乘括号内每一项，不能漏乘。 整式加减通用步骤： 先去括号→再找同类项→最后合并同类项，化为最简整式。 整式化简求值原则： 先化简、后代入，不直接代原式计算，减少计算错误。 无关型题型原理： 整式结果与某字母无关、不含某项，即该项合并后系数为0。 重点辨析 ①只有同类项可以合并，字母不同、指数不同均不能合并。 ②、纯数字均为常数项，所有常数项互为同类项。 ③去负括号必须全员变号，不能只变第一项。 ④移动多项式中的项，必须连同项前面的正负符号一起移动。 ⑤整式加减最终结果无括号、无同类项、格式最简。 ①误判同类项：只看字母不看指数，强行合并非同类项。 ②合并系数符号出错，正负号运算混乱；忽略系数为1时1要省略。 ③去括号漏变号、只变第一项，是本节最高频扣分点。 ④括号外系数漏乘括号内某一项，分配律使用不完整。 ⑤化简求值直接代原式、负数分数代入不加括号。 ⑥移动项、重组同类项时，弄丢项前面的正负符号。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★★ 题型三 合并同类项 ★★ 题型四 去括号 ★★ 题型五 整式的加减运算 ★★★ 题型六 整式加减中的无关型问题 ★★★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型八 整式加减的应用 ★★★ 题型九 数字类规律探索 ★★★★ 题型十 图形类规律探索 ★★★★ 题型十一 带有字母的绝对值化简问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高 题型一：同类项的判断 解题思路：①依据同类项定义，看所含字母是否完全相同；②检查相同字母对应的指数分别相等；③所有常数项属于同类项；④同类项和系数大小、字母排列顺序无关。 1．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 2．以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是：________（填写序号）． 3．下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题思路：①利用同类项条件，令对应相同字母的指数相等；②列方程求出参数；③把参数代入所求代数式计算；④回代检验是否满足同类项条件。 5．若 与可以合并成一项，则的值是______． 6．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如果关于x、y的单项式与的和仍是一个单项式，那么m的值为______． 8．若单项式与是同类项，则式子的值是（  ） A． B．7 C．0 D．5 题型三：合并同类项 解题思路：①标记找出式子中全部同类项；②同类项的系数进行加减运算；③字母以及字母的指数保持不变；④非同类项直接照抄，不能合并；⑤系数为0该项消去，系数为时省略数字1。 9．化简：________ 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若，则计算的结果是________． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：去括号 解题思路：①括号前是“+”，去掉括号后括号内各项符号不变；②括号前是“-”，去掉括号，括号内每一项全部变号；③括号外面有数字因数，使用乘法分配律乘括号内每一项，杜绝漏乘。 13．去括号：________． 14．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 15．计算：______． 16．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五：整式的加减运算 解题思路：①先对式子去括号；②找出所有同类项分组；③合并同类项；④最终结果化为最简，不能留有括号，非同类项直接保留。 17．化简的结果是________． 18．下面是小岩进行整式化简的过程，下列说法正确的是（    ） 第一步 第二步 第三步 A．第一步的依据是乘法结合律 B．化简过程在第一步开始出现错误 C．化简过程在第二步开始出现错误 D．化简过程在第三步开始出现错误 19．若n为正整数，且，则____________． 20．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 题型六：整式加减中的无关型问题 解题思路：①先去括号、合并同类项，化简整式；②“与某字母无关、不含某一项”，代表该项的系数等于0；③列等式求解参数；④把求得参数回代原式检验。 21．关于x，y的多项式中不含项，则________． 22．已知关于的多项式，，若不含一次项，则的常数项是（   ） A．15 B．18 C．20 D．28 23．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 24．已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 题型七：整式的加减中的化简求值 解题思路：①先化简整式，再代入数值计算，不直接代入原式；②负数、分数代入计算时，整体加上括号；③按照有理数运算法则算出最终结果。 25．若，则多项式的值是_____． 26．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 27．若，则代数式___________． 28．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型八：整式加减的应用 解题思路：①读懂题意，用含字母的式子表示各个量；②列出整式加减算式；③化简整式；④代入对应数值，得到实际问题答案。 29．一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 30．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 31．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．用含，的代数式表示拼成的长方形的周长______________． 32．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 题型九：数字类规律探索 解题思路：①观察数字，找出前后变化关系；②用序号n表示每一项；③归纳写出通用代数式；④代入序号验证代数式是否成立。 33．按一定规律排列的代数式：，，，，，…如果，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 34．下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 35．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 36．孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（     ） A．12、24、48 B．16、32、48 C．16、36、54 D．32、36、48 题型十：图形类规律探索 解题思路：①观察图形，数出前几项对应数量；②分析图形变化，找出和序号n的关系；③提炼出对应的整式表达式；④代入序号验证规律正确性。 37．下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 38．如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 39．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为________，第n个图形中的小圆圈的个数为________． 40．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 题型十一：带有字母的绝对值化简问题 解题思路：①根据条件判断绝对值内部代数式正负；②正数的绝对值等于本身，负数绝对值等于它的相反数；③去掉绝对值符号后，再进行整式加减运算；④最后合并同类项化为最简。 41．当时，代数式的值是________． 42．有理数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．2 B． C． D． 43．如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 44．已知，x，y，z均不为0，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 解答题 1．若单项式与单项式是同类项，求的值． 2．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 3．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 4．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 5．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 6．综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $